數(shù)形結(jié)合 建構(gòu)數(shù)學(xué)模式——由《植樹(shù)問(wèn)題》一課引發(fā)的思考

1、數(shù)形結(jié)合 建構(gòu)數(shù)學(xué)模式由植樹(shù)問(wèn)題一課引發(fā)的思考數(shù)學(xué)大世界籀蠡鼬數(shù)形結(jié)合建構(gòu)數(shù)學(xué)模式由植樹(shù)問(wèn)題一課引發(fā)的思考.浙江省諸暨市山下湖詹家蛟小學(xué)錢(qián)少妹弗?一=呤?眾所周知,"植樹(shù)問(wèn)題"一個(gè)是經(jīng)典的數(shù)奧問(wèn)題,長(zhǎng)期備受眾多專(zhuān)家,特級(jí)老師的青睞,曾經(jīng)無(wú)數(shù)次被搬上"舞臺(tái)"演繹出許多經(jīng)典課例.而自新課程改革實(shí)施以來(lái),人教版教材將植樹(shù)問(wèn)題以數(shù)學(xué)廣角的形式引入到四年級(jí)下冊(cè)的教科書(shū)中.現(xiàn)在植樹(shù)問(wèn)題作為一個(gè)需要普通四年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)內(nèi)容,它與奧數(shù)課教學(xué)有什么區(qū)別?它的教學(xué)目標(biāo)如何定位?教學(xué)方式又如何選擇呢?以下我將結(jié)合我的課例來(lái)談一些想法.【課堂實(shí)錄】一,創(chuàng)設(shè)情境,感知模型(出

2、示情境)為了綠化校園.學(xué)校要在一條全長(zhǎng)20米的小路一邊種樹(shù).每隔5米種一棵.想一想,要種多少棵樹(shù)?(3棵,4棵,5棵)師:把你的想法畫(huà)出來(lái).(白紙,水彩筆).JL.J1.I.-J1.J.J1.1.一.I.J1.J1.一展示想法:請(qǐng)3棵,4棵,5棵的分別上臺(tái)擺一擺,擺好后說(shuō)說(shuō)你的想法.師:看看這三位同學(xué)他們用磁鐵表示樹(shù),是怎么種的呢?請(qǐng)他們分別來(lái)說(shuō)一說(shuō)!(重點(diǎn)理解:每隔5米,間隔及兩端)師:比較擺的這三種情況有什么不同?生:只種一頭,兩頭都種,兩頭都不種.師:我們可以說(shuō)是只種一端,兩端都種,兩端都不種.這兩端就是路的兩頭.(板書(shū))二,探究規(guī)律.建立模型1.建立表象師:下面我們先重點(diǎn)來(lái)研究一下兩端

3、都種的情況.如果路長(zhǎng)是1O米,15米,25米,3O米,每隔5米種一棵(兩端都種),各要種多少棵樹(shù)呢?先想一想,再用一條線段表示小路畫(huà)一畫(huà),驗(yàn)證一下!兩端都種路長(zhǎng)(米)畫(huà)一畫(huà)棵數(shù)10152530反饋交流:師:咱們一起看屏幕來(lái)交流一下!先看1O米,可以種幾棵?你是怎么種的?C生:我是先種一棵,隔5米種一棵,再種一棵,可以種3棵.師:用這位同學(xué)的方法15米怎么種呢?先看一看.師:25米呢?看著屏幕用手指跟著種一種.師:30米又怎么種呢?閉上眼睛,你眼前出現(xiàn)種樹(shù)的畫(huà)面了嗎?師:誰(shuí)來(lái)談磁.是怎樣的畫(huà)面?看看,是這樣嗎?那全種對(duì)的舉手!2.探究規(guī)律師:如果一條長(zhǎng)1000米的小路.你們還畫(huà)嗎?1萬(wàn)米呢?那怎

4、么辦?(列式計(jì)算)師:這些你能列出算式嗎?板書(shū):10÷5+1=3(棵)15÷5+1=4(棵)25÷5+1=6(棵)30÷5+1=7(棵)22數(shù)學(xué)大世界2012/01shuxuedashifie師:可是這里的每個(gè)算式只能表示一種情況,要是能只用一個(gè)算式來(lái)表示所有的情況,那就了不起了!生1:A÷5+1生2:總長(zhǎng)÷間距+1;棵數(shù)師:我發(fā)現(xiàn)大家不約而同的都先用"總長(zhǎng)÷間距",那它求的是什么?(間隔數(shù))指著圖來(lái)說(shuō)一說(shuō)?(幾段就是幾個(gè)間隔,間隔的個(gè)數(shù)就叫間隔數(shù),而間隔數(shù)+1就等于棵數(shù).)師:所以我們就說(shuō)在兩端都種的情

5、況下,棵數(shù)=間隔數(shù)+1.3.嘗試應(yīng)用師:現(xiàn)在如果路長(zhǎng)20米不變,每隔1O米種一棵(兩端都種),要種多少棵呢?請(qǐng)直接說(shuō)算式,結(jié)果.生:2010+1=3(棵)師:再變一變,每隔4米種一棵(兩端都種),要種多少棵?生:20÷4+1=6(棵)三,應(yīng)用模型,解決問(wèn)題1.基本練習(xí)(1)學(xué)校召開(kāi)秋季運(yùn)動(dòng)會(huì),在筆直的跑道一旁插彩旗.跑道全長(zhǎng)100米,每隔2米插一面(兩端都要插.需要多少面彩旗?(2)在一條長(zhǎng)36米的走廊一邊擺花,每隔4米擺一盆(兩端都擺).一共需要多少盆花?(3)明明在屋旁的小路一邊種樹(shù).小路全長(zhǎng)21米,從路口開(kāi)始每隔3米種一棵.至少要種多少棵樹(shù)?鐮墊I!l師:不過(guò)剛才太小兒科了,敢

6、不敢接受新的挑戰(zhàn)?請(qǐng)拿出練習(xí)紙(二)獨(dú)立完成基本練習(xí)3小題.師:第一題幾面?幾盆?生:100÷2+1=51(面);36÷4+1=10(盆);師:第三小題要種幾棵?分別來(lái)聽(tīng)聽(tīng)他們是怎么想的?有不同意見(jiàn)嗎?生1:21÷3+1=8(棵)因?yàn)閮啥硕家N所以要加1.生2:21÷3-1=6(棵)因?yàn)閮啥硕疾环N,至少要6棵.生3:21÷3:7(棵)因?yàn)閺穆?#39;12開(kāi)始種,房子這端不用種樹(shù),所以至少種7棵.師:誰(shuí)說(shuō)的更有道理?這相當(dāng)于哪一種情況?(只種一端)師:再來(lái)看看線段圖,如果這一端都造了一所房子,棵數(shù)與間隔數(shù)之間有什么關(guān)系呢?(棵數(shù)=間隔數(shù))師:你

7、是怎么想的?生1:兩端都種要加1,少了一棵,就不用加了.(了不起,你是從兩端都種推出來(lái)的.)生2:一端不種,間隔數(shù)就和棵數(shù)一樣了.(課件演示)師:這頭也跟著造了,又有什么關(guān)系呢?(棵數(shù)=間隔數(shù)一1)師:結(jié)合圖說(shuō)說(shuō)你是怎么理解的?小結(jié):看來(lái),我們?cè)诮鉀Q這類(lèi)問(wèn)題時(shí),要先分清它屬于哪一種情況,再根據(jù)實(shí)際選擇合適的方式.2.拓展練習(xí)(1)用一根長(zhǎng)54米的繩子剪跳繩,每6米剪一根,一共要剪幾次?(2)同學(xué)們排成兩行做操,隊(duì)伍全長(zhǎng)8米,每?jī)扇酥g相距1米.一共有多少人?訊1l秘IIII師:請(qǐng)靜靜地讀題,想一想它們相當(dāng)于哪一種情況,選擇合適的方法算一算.匯報(bào):它相當(dāng)于哪種情況?生I:54÷6-1=

8、8(次)(相當(dāng)于只種一端)shuxlledashifie生2:8÷1+1:9(人)這相當(dāng)于兩端思想.都種.四,總結(jié)延伸師:其實(shí),像剛才那樣的植樹(shù),插旗,排隊(duì)等問(wèn)題,它們的解題策略基本一致,我們把它們統(tǒng)稱(chēng)為"植樹(shù)問(wèn)題".想一想,生活中還有這樣的植樹(shù)問(wèn)題嗎?請(qǐng)舉例說(shuō)一說(shuō)!師:確實(shí),只要我們細(xì)心觀察,生活中還有更多更有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題等著我們?nèi)ソ鉀Q,比如小朋友們排隊(duì),如果排成個(gè)圈兒,棵數(shù)與間隔數(shù)之間會(huì)藏著怎樣的秘密呢?就留給大家課后去思考吧!【思考與感悟】植樹(shù)問(wèn)題是人教版教材四年級(jí)下冊(cè)第117120頁(yè)例1,例2,例3的內(nèi)容.本課內(nèi)容是學(xué)生第一次在教材中接觸"植樹(shù)問(wèn)

9、題",但一部分學(xué)生在興趣小組,校外培訓(xùn)等活動(dòng)中對(duì)"植樹(shù)問(wèn)題"已經(jīng)有了不同程度的認(rèn)識(shí).因此,教學(xué)時(shí),以教材例1中生活中的植樹(shù)問(wèn)題引入,讓學(xué)生初步感知植樹(shù)問(wèn)題三種常見(jiàn)的類(lèi)型.在此基本上以?xún)啥硕挤N的植樹(shù)問(wèn)題為重點(diǎn)展開(kāi)研究,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生在畫(huà)一畫(huà),看一看,想一想的過(guò)程中建構(gòu)植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模式,溝通植樹(shù)問(wèn)題三種情況之兩端都種間的聯(lián)系,形成解決植樹(shù)問(wèn)題的基本解題策略體系.數(shù)學(xué)模式的建構(gòu)不應(yīng)是簡(jiǎn)單的線性的建構(gòu),而應(yīng)是如同建筑模型般的三維立體的建構(gòu).那么在教學(xué)中如何建構(gòu)真正意義上的"立體"數(shù)學(xué)模式呢?在經(jīng)過(guò)數(shù)次教學(xué)實(shí)踐后,我不斷改進(jìn),不斷反思,x,t

10、llt有了更加深入地思考.策略一:量的積累世界上任何事物的變化發(fā)展,都是首先從量的積累開(kāi)始的.只有當(dāng)量的積累超過(guò)一定的范圍和限度才會(huì)引發(fā)質(zhì)的變化.在數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過(guò)程中亦是如此,一定的感性經(jīng)驗(yàn)的積累是十分必要的,特別是像植樹(shù)問(wèn)題此類(lèi)應(yīng)用規(guī)律解決問(wèn)題的課型.教材中只呈現(xiàn)了一個(gè)學(xué)生利用線段圖探究規(guī)律解決問(wèn)題的過(guò)程,而其背后所蘊(yùn)涵的應(yīng)是一個(gè)學(xué)生大量的實(shí)踐操作的過(guò)程.只有當(dāng)學(xué)生擁有了足夠量的感性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累之后,才能對(duì)事物有所感悟,進(jìn)而抓住問(wèn)題的本質(zhì).鑒于此我是這樣設(shè)計(jì)的:當(dāng)學(xué)生獨(dú)立嘗試畫(huà)出長(zhǎng)1O米,15米,25米,30米各條路上種樹(shù)情況后.師生利用課件再次看線段圖,回顧種樹(shù)的過(guò)程.之后教師順勢(shì)問(wèn)道:

11、"如果一條長(zhǎng)1000米的小路,你們還畫(huà)嗎?那怎么辦呢?"學(xué)生們爭(zhēng)先恐后地說(shuō):"可以列式計(jì)算."學(xué)生邊回答,教師邊板書(shū):10÷5+1=315÷5+1:425÷5+1=630÷5+1=71000÷5+1=201.至此實(shí)踐感悟,列式解答就一氣呵成了.在教師引導(dǎo)下學(xué)生嘗試用一個(gè)算式或一句話來(lái)表示這些情況.如生1:A÷5+1;生2:總長(zhǎng)÷間距+1=棵數(shù).進(jìn)而發(fā)現(xiàn)植樹(shù)問(wèn)題在兩端都種的情況下,棵數(shù)=間隔數(shù)+1.整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)生不斷畫(huà)線段圖,反復(fù)看線段圖,從而積累豐富了感性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),為數(shù)學(xué)模型的建

12、構(gòu)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ).策略二:質(zhì)的感悟量的積累成就質(zhì)的感悟,但這里所指的"量"絕不是知識(shí)的簡(jiǎn)單疊加,更需要對(duì)知識(shí)的深化,突破,超越.因而,我們建構(gòu)數(shù)學(xué)模式時(shí),要抓準(zhǔn)問(wèn)題的本質(zhì),逐步積累感悟數(shù)學(xué)模型本質(zhì)的東西.教材只以情境對(duì)話的形式呈現(xiàn)學(xué)生從一組簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)人手,利用線段圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律,解決問(wèn)題的對(duì)話情境,沒(méi)有具體的問(wèn)題解決的過(guò)程.而許多教師未能真正解讀教材意圖,盲目地讓學(xué)生畫(huà)線段圖,得出規(guī)律,將數(shù)學(xué)模式的建構(gòu)過(guò)程簡(jiǎn)單歸結(jié)為利用表格發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程.如此簡(jiǎn)單的理解數(shù)學(xué)模式的建構(gòu)是不可取.讓我們通過(guò)兩個(gè)課例中兩張不同的表格設(shè)計(jì)來(lái)解讀其中所蘊(yùn)涵的不同的教學(xué)課例一:表(一)兩端都種路長(zhǎng)(米)畫(huà)一

13、畫(huà)棵數(shù)1O15253O課例二:表(二)籀筵趣數(shù)學(xué)史世界兩端都種路長(zhǎng)(米)間距(米)間隔個(gè)數(shù)棵數(shù)105155255305課例一借助表(一)讓學(xué)生在畫(huà)一畫(huà),填一填的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律(兩端都種)棵數(shù)=間隔數(shù)+l,從而建構(gòu)兩端都種植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.如此設(shè)計(jì)表面看來(lái)合隋合理,然而事實(shí)卻是否定的!在教師指令性的操作下,圖表暗示作用下,學(xué)生雖能迅速歸納出數(shù)學(xué)模式,但對(duì)于數(shù)學(xué)模式的理解卻只停留于文字表面,知其然而不知其所以然.課例二中同樣是利用表格,但呈現(xiàn)的內(nèi)容,方式變活了;同樣是實(shí)踐操作,但操作對(duì)象的思維得到充分展示;同樣是建構(gòu)模式,但更關(guān)注數(shù)學(xué)模式建構(gòu)的過(guò)程.教師借助數(shù)形結(jié)合思想,充分利用線段圖將植樹(shù)問(wèn)題

14、中棵數(shù)與間隔數(shù)之問(wèn)內(nèi)在的"一一對(duì)應(yīng)"聯(lián)系在學(xué)生頭腦中建構(gòu)起清晰的表象.從表(一)到表(二)的轉(zhuǎn)變,是從注重結(jié)論到注重過(guò)程的轉(zhuǎn)變,是從"是什么"到"為什么"的轉(zhuǎn)變,是教學(xué)思想方法的一次飛躍.策略三:形的豐滿在現(xiàn)實(shí)生活中,植樹(shù)問(wèn)題披著形形色色的外衣,存在著復(fù)雜多樣的情況,如安裝路燈,走樓梯,鋸木頭,而學(xué)生常常會(huì)被這些美麗的外表所迷惑.因此,我們必須抓住它們的本質(zhì),從這些復(fù)雜的現(xiàn)象中抽象出它們最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模式.我在設(shè)計(jì)時(shí)考慮到實(shí)際生活的紛繁復(fù)雜,在新課伊始就將植樹(shù)問(wèn)題的三種不同情況(兩端都種,只種一端,兩端都不種)完整地呈現(xiàn)給學(xué)生,然后以?xún)啥硕挤N為基礎(chǔ)展開(kāi)研究,充分利用線段圖幫助學(xué)生在頭腦中建構(gòu)起一個(gè)完整的植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模式.在練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí),我注重習(xí)題的靈活性,開(kāi)放性,避免學(xué)生死記規(guī)律機(jī)械化操作.如在基本練習(xí)中我設(shè)計(jì)了"明明在屋旁的小路一邊種樹(shù).小路全長(zhǎng)21米.從路口開(kāi)始每隔3米種一棵.至少要種多少棵樹(shù)?"這一習(xí)題.讓學(xué)生在解決具體問(wèn)題情境的過(guò)程,發(fā)現(xiàn)并感悟植樹(shù)問(wèn)題其它兩種情況下棵數(shù)與間隔數(shù)之間的聯(lián)系,并學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的方式解決問(wèn)題.兩端都種一只種一端一兩端都