數(shù)形結(jié)合 建構(gòu)數(shù)學模式——由《植樹問題》一課引發(fā)的思考

1、數(shù)形結(jié)合 建構(gòu)數(shù)學模式由植樹問題一課引發(fā)的思考數(shù)學大世界籀蠡鼬數(shù)形結(jié)合建構(gòu)數(shù)學模式由植樹問題一課引發(fā)的思考.浙江省諸暨市山下湖詹家蛟小學錢少妹弗?一=呤?眾所周知,"植樹問題"一個是經(jīng)典的數(shù)奧問題,長期備受眾多專家,特級老師的青睞,曾經(jīng)無數(shù)次被搬上"舞臺"演繹出許多經(jīng)典課例.而自新課程改革實施以來,人教版教材將植樹問題以數(shù)學廣角的形式引入到四年級下冊的教科書中.現(xiàn)在植樹問題作為一個需要普通四年級學生學習的教學內(nèi)容,它與奧數(shù)課教學有什么區(qū)別?它的教學目標如何定位?教學方式又如何選擇呢?以下我將結(jié)合我的課例來談一些想法.【課堂實錄】一,創(chuàng)設情境,感知模型(出

2、示情境)為了綠化校園.學校要在一條全長20米的小路一邊種樹.每隔5米種一棵.想一想,要種多少棵樹?(3棵,4棵,5棵)師:把你的想法畫出來.(白紙,水彩筆).JL.J1.I.-J1.J.J1.1.一.I.J1.J1.一展示想法:請3棵,4棵,5棵的分別上臺擺一擺,擺好后說說你的想法.師:看看這三位同學他們用磁鐵表示樹,是怎么種的呢?請他們分別來說一說!(重點理解:每隔5米,間隔及兩端)師:比較擺的這三種情況有什么不同?生:只種一頭,兩頭都種,兩頭都不種.師:我們可以說是只種一端,兩端都種,兩端都不種.這兩端就是路的兩頭.(板書)二,探究規(guī)律.建立模型1.建立表象師:下面我們先重點來研究一下兩端

3、都種的情況.如果路長是1O米,15米,25米,3O米,每隔5米種一棵(兩端都種),各要種多少棵樹呢?先想一想,再用一條線段表示小路畫一畫,驗證一下!兩端都種路長(米)畫一畫棵數(shù)10152530反饋交流:師:咱們一起看屏幕來交流一下!先看1O米,可以種幾棵?你是怎么種的?C生:我是先種一棵,隔5米種一棵,再種一棵,可以種3棵.師:用這位同學的方法15米怎么種呢?先看一看.師:25米呢?看著屏幕用手指跟著種一種.師:30米又怎么種呢?閉上眼睛,你眼前出現(xiàn)種樹的畫面了嗎?師:誰來談磁.是怎樣的畫面?看看,是這樣嗎?那全種對的舉手!2.探究規(guī)律師:如果一條長1000米的小路.你們還畫嗎?1萬米呢?那怎

4、么辦?(列式計算)師:這些你能列出算式嗎?板書:10÷5+1=3(棵)15÷5+1=4(棵)25÷5+1=6(棵)30÷5+1=7(棵)22數(shù)學大世界2012/01shuxuedashifie師:可是這里的每個算式只能表示一種情況,要是能只用一個算式來表示所有的情況,那就了不起了!生1:A÷5+1生2:總長÷間距+1;棵數(shù)師:我發(fā)現(xiàn)大家不約而同的都先用"總長÷間距",那它求的是什么?(間隔數(shù))指著圖來說一說?(幾段就是幾個間隔,間隔的個數(shù)就叫間隔數(shù),而間隔數(shù)+1就等于棵數(shù).)師:所以我們就說在兩端都種的情

5、況下,棵數(shù)=間隔數(shù)+1.3.嘗試應用師:現(xiàn)在如果路長20米不變,每隔1O米種一棵(兩端都種),要種多少棵呢?請直接說算式,結(jié)果.生:2010+1=3(棵)師:再變一變,每隔4米種一棵(兩端都種),要種多少棵?生:20÷4+1=6(棵)三,應用模型,解決問題1.基本練習(1)學校召開秋季運動會,在筆直的跑道一旁插彩旗.跑道全長100米,每隔2米插一面(兩端都要插.需要多少面彩旗?(2)在一條長36米的走廊一邊擺花,每隔4米擺一盆(兩端都擺).一共需要多少盆花?(3)明明在屋旁的小路一邊種樹.小路全長21米,從路口開始每隔3米種一棵.至少要種多少棵樹?鐮墊I!l師:不過剛才太小兒科了,敢

6、不敢接受新的挑戰(zhàn)?請拿出練習紙(二)獨立完成基本練習3小題.師:第一題幾面?幾盆?生:100÷2+1=51(面);36÷4+1=10(盆);師:第三小題要種幾棵?分別來聽聽他們是怎么想的?有不同意見嗎?生1:21÷3+1=8(棵)因為兩端都要種所以要加1.生2:21÷3-1=6(棵)因為兩端都不種,至少要6棵.生3:21÷3:7(棵)因為從路'12開始種,房子這端不用種樹,所以至少種7棵.師:誰說的更有道理?這相當于哪一種情況?(只種一端)師:再來看看線段圖,如果這一端都造了一所房子,棵數(shù)與間隔數(shù)之間有什么關系呢?(棵數(shù)=間隔數(shù))師:你

7、是怎么想的?生1:兩端都種要加1,少了一棵,就不用加了.(了不起,你是從兩端都種推出來的.)生2:一端不種,間隔數(shù)就和棵數(shù)一樣了.(課件演示)師:這頭也跟著造了,又有什么關系呢?(棵數(shù)=間隔數(shù)一1)師:結(jié)合圖說說你是怎么理解的?小結(jié):看來,我們在解決這類問題時,要先分清它屬于哪一種情況,再根據(jù)實際選擇合適的方式.2.拓展練習(1)用一根長54米的繩子剪跳繩,每6米剪一根,一共要剪幾次?(2)同學們排成兩行做操,隊伍全長8米,每兩人之間相距1米.一共有多少人?訊1l秘IIII師:請靜靜地讀題,想一想它們相當于哪一種情況,選擇合適的方法算一算.匯報:它相當于哪種情況?生I:54÷6-1=

8、8(次)(相當于只種一端)shuxlledashifie生2:8÷1+1:9(人)這相當于兩端思想.都種.四,總結(jié)延伸師:其實,像剛才那樣的植樹,插旗,排隊等問題,它們的解題策略基本一致,我們把它們統(tǒng)稱為"植樹問題".想一想,生活中還有這樣的植樹問題嗎?請舉例說一說!師:確實,只要我們細心觀察,生活中還有更多更有挑戰(zhàn)性的問題等著我們?nèi)ソ鉀Q,比如小朋友們排隊,如果排成個圈兒,棵數(shù)與間隔數(shù)之間會藏著怎樣的秘密呢?就留給大家課后去思考吧!【思考與感悟】植樹問題是人教版教材四年級下冊第117120頁例1,例2,例3的內(nèi)容.本課內(nèi)容是學生第一次在教材中接觸"植樹問

9、題",但一部分學生在興趣小組,校外培訓等活動中對"植樹問題"已經(jīng)有了不同程度的認識.因此,教學時,以教材例1中生活中的植樹問題引入,讓學生初步感知植樹問題三種常見的類型.在此基本上以兩端都種的植樹問題為重點展開研究,運用數(shù)形結(jié)合思想幫助學生在畫一畫,看一看,想一想的過程中建構(gòu)植樹問題的數(shù)學模式,溝通植樹問題三種情況之兩端都種間的聯(lián)系,形成解決植樹問題的基本解題策略體系.數(shù)學模式的建構(gòu)不應是簡單的線性的建構(gòu),而應是如同建筑模型般的三維立體的建構(gòu).那么在教學中如何建構(gòu)真正意義上的"立體"數(shù)學模式呢?在經(jīng)過數(shù)次教學實踐后,我不斷改進,不斷反思,x,t

10、llt有了更加深入地思考.策略一:量的積累世界上任何事物的變化發(fā)展,都是首先從量的積累開始的.只有當量的積累超過一定的范圍和限度才會引發(fā)質(zhì)的變化.在數(shù)學模型的建構(gòu)過程中亦是如此,一定的感性經(jīng)驗的積累是十分必要的,特別是像植樹問題此類應用規(guī)律解決問題的課型.教材中只呈現(xiàn)了一個學生利用線段圖探究規(guī)律解決問題的過程,而其背后所蘊涵的應是一個學生大量的實踐操作的過程.只有當學生擁有了足夠量的感性活動經(jīng)驗積累之后,才能對事物有所感悟,進而抓住問題的本質(zhì).鑒于此我是這樣設計的:當學生獨立嘗試畫出長1O米,15米,25米,30米各條路上種樹情況后.師生利用課件再次看線段圖,回顧種樹的過程.之后教師順勢問道:

11、"如果一條長1000米的小路,你們還畫嗎?那怎么辦呢?"學生們爭先恐后地說:"可以列式計算."學生邊回答,教師邊板書:10÷5+1=315÷5+1:425÷5+1=630÷5+1=71000÷5+1=201.至此實踐感悟,列式解答就一氣呵成了.在教師引導下學生嘗試用一個算式或一句話來表示這些情況.如生1:A÷5+1;生2:總長÷間距+1=棵數(shù).進而發(fā)現(xiàn)植樹問題在兩端都種的情況下,棵數(shù)=間隔數(shù)+1.整個學習過程中,學生不斷畫線段圖,反復看線段圖,從而積累豐富了感性活動經(jīng)驗,為數(shù)學模型的建

12、構(gòu)奠定扎實的基礎.策略二:質(zhì)的感悟量的積累成就質(zhì)的感悟,但這里所指的"量"絕不是知識的簡單疊加,更需要對知識的深化,突破,超越.因而,我們建構(gòu)數(shù)學模式時,要抓準問題的本質(zhì),逐步積累感悟數(shù)學模型本質(zhì)的東西.教材只以情境對話的形式呈現(xiàn)學生從一組簡單數(shù)據(jù)人手,利用線段圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律,解決問題的對話情境,沒有具體的問題解決的過程.而許多教師未能真正解讀教材意圖,盲目地讓學生畫線段圖,得出規(guī)律,將數(shù)學模式的建構(gòu)過程簡單歸結(jié)為利用表格發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程.如此簡單的理解數(shù)學模式的建構(gòu)是不可取.讓我們通過兩個課例中兩張不同的表格設計來解讀其中所蘊涵的不同的教學課例一:表(一)兩端都種路長(米)畫一

13、畫棵數(shù)1O15253O課例二:表(二)籀筵趣數(shù)學史世界兩端都種路長(米)間距(米)間隔個數(shù)棵數(shù)105155255305課例一借助表(一)讓學生在畫一畫,填一填的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律(兩端都種)棵數(shù)=間隔數(shù)+l,從而建構(gòu)兩端都種植樹問題的數(shù)學模型.如此設計表面看來合隋合理,然而事實卻是否定的!在教師指令性的操作下,圖表暗示作用下,學生雖能迅速歸納出數(shù)學模式,但對于數(shù)學模式的理解卻只停留于文字表面,知其然而不知其所以然.課例二中同樣是利用表格,但呈現(xiàn)的內(nèi)容,方式變活了;同樣是實踐操作,但操作對象的思維得到充分展示;同樣是建構(gòu)模式,但更關注數(shù)學模式建構(gòu)的過程.教師借助數(shù)形結(jié)合思想,充分利用線段圖將植樹問題

14、中棵數(shù)與間隔數(shù)之問內(nèi)在的"一一對應"聯(lián)系在學生頭腦中建構(gòu)起清晰的表象.從表(一)到表(二)的轉(zhuǎn)變,是從注重結(jié)論到注重過程的轉(zhuǎn)變,是從"是什么"到"為什么"的轉(zhuǎn)變,是教學思想方法的一次飛躍.策略三:形的豐滿在現(xiàn)實生活中,植樹問題披著形形色色的外衣,存在著復雜多樣的情況,如安裝路燈,走樓梯,鋸木頭,而學生常常會被這些美麗的外表所迷惑.因此,我們必須抓住它們的本質(zhì),從這些復雜的現(xiàn)象中抽象出它們最本質(zhì)的數(shù)學模式.我在設計時考慮到實際生活的紛繁復雜,在新課伊始就將植樹問題的三種不同情況(兩端都種,只種一端,兩端都不種)完整地呈現(xiàn)給學生,然后以兩端都種為基礎展開研究,充分利用線段圖幫助學生在頭腦中建構(gòu)起一個完整的植樹問題的數(shù)學模式.在練習設計時,我注重習題的靈活性,開放性,避免學生死記規(guī)律機械化操作.如在基本練習中我設計了"明明在屋旁的小路一邊種樹.小路全長21米.從路口開始每隔3米種一棵.至少要種多少棵樹?"這一習題.讓學生在解決具體問題情境的過程,發(fā)現(xiàn)并感悟植樹問題其它兩種情況下棵數(shù)與間隔數(shù)之間的聯(lián)系,并學會根據(jù)實際情況選擇合適的方式解決問題.兩端都種一只種一端一兩端都