數(shù)形結(jié)合 建構(gòu)數(shù)學模式——由《植樹問題》一課引發(fā)的思考

1、數(shù)形結(jié)合 建構(gòu)數(shù)學模式由植樹問題一課引發(fā)的思考數(shù)學大世界籀蠡鼬數(shù)形結(jié)合建構(gòu)數(shù)學模式由植樹問題一課引發(fā)的思考.浙江省諸暨市山下湖詹家蛟小學錢少妹弗?一=呤?眾所周知,"植樹問題"一個是經(jīng)典的數(shù)奧問題,長期備受眾多專家,特級老師的青睞,曾經(jīng)無數(shù)次被搬上"舞臺"演繹出許多經(jīng)典課例.而自新課程改革實施以來,人教版教材將植樹問題以數(shù)學廣角的形式引入到四年級下冊的教科書中.現(xiàn)在植樹問題作為一個需要普通四年級學生學習的教學內(nèi)容,它與奧數(shù)課教學有什么區(qū)別?它的教學目標如何定位?教學方式又如何選擇呢?以下我將結(jié)合我的課例來談一些想法.【課堂實錄】一,創(chuàng)設(shè)情境,感知模型(出

2、示情境)為了綠化校園.學校要在一條全長20米的小路一邊種樹.每隔5米種一棵.想一想,要種多少棵樹?(3棵,4棵,5棵)師:把你的想法畫出來.(白紙,水彩筆).JL.J1.I.-J1.J.J1.1.一.I.J1.J1.一展示想法:請3棵,4棵,5棵的分別上臺擺一擺,擺好后說說你的想法.師:看看這三位同學他們用磁鐵表示樹,是怎么種的呢?請他們分別來說一說!(重點理解:每隔5米,間隔及兩端)師:比較擺的這三種情況有什么不同?生:只種一頭,兩頭都種,兩頭都不種.師:我們可以說是只種一端,兩端都種,兩端都不種.這兩端就是路的兩頭.(板書)二,探究規(guī)律.建立模型1.建立表象師:下面我們先重點來研究一下兩端

3、都種的情況.如果路長是1O米,15米,25米,3O米,每隔5米種一棵(兩端都種),各要種多少棵樹呢?先想一想,再用一條線段表示小路畫一畫,驗證一下!兩端都種路長(米)畫一畫棵數(shù)10152530反饋交流:師:咱們一起看屏幕來交流一下!先看1O米,可以種幾棵?你是怎么種的?C生:我是先種一棵,隔5米種一棵,再種一棵,可以種3棵.師:用這位同學的方法15米怎么種呢?先看一看.師:25米呢?看著屏幕用手指跟著種一種.師:30米又怎么種呢?閉上眼睛,你眼前出現(xiàn)種樹的畫面了嗎?師:誰來談磁.是怎樣的畫面?看看,是這樣嗎?那全種對的舉手!2.探究規(guī)律師:如果一條長1000米的小路.你們還畫嗎?1萬米呢?那怎

4、么辦?(列式計算)師:這些你能列出算式嗎?板書:10÷5+1=3(棵)15÷5+1=4(棵)25÷5+1=6(棵)30÷5+1=7(棵)22數(shù)學大世界2012/01shuxuedashifie師:可是這里的每個算式只能表示一種情況,要是能只用一個算式來表示所有的情況,那就了不起了!生1:A÷5+1生2:總長÷間距+1;棵數(shù)師:我發(fā)現(xiàn)大家不約而同的都先用"總長÷間距",那它求的是什么?(間隔數(shù))指著圖來說一說?(幾段就是幾個間隔,間隔的個數(shù)就叫間隔數(shù),而間隔數(shù)+1就等于棵數(shù).)師:所以我們就說在兩端都種的情

5、況下,棵數(shù)=間隔數(shù)+1.3.嘗試應(yīng)用師:現(xiàn)在如果路長20米不變,每隔1O米種一棵(兩端都種),要種多少棵呢?請直接說算式,結(jié)果.生:2010+1=3(棵)師:再變一變,每隔4米種一棵(兩端都種),要種多少棵?生:20÷4+1=6(棵)三,應(yīng)用模型,解決問題1.基本練習(1)學校召開秋季運動會,在筆直的跑道一旁插彩旗.跑道全長100米,每隔2米插一面(兩端都要插.需要多少面彩旗?(2)在一條長36米的走廊一邊擺花,每隔4米擺一盆(兩端都擺).一共需要多少盆花?(3)明明在屋旁的小路一邊種樹.小路全長21米,從路口開始每隔3米種一棵.至少要種多少棵樹?鐮墊I!l師:不過剛才太小兒科了,敢

6、不敢接受新的挑戰(zhàn)?請拿出練習紙(二)獨立完成基本練習3小題.師:第一題幾面?幾盆?生:100÷2+1=51(面);36÷4+1=10(盆);師:第三小題要種幾棵?分別來聽聽他們是怎么想的?有不同意見嗎?生1:21÷3+1=8(棵)因為兩端都要種所以要加1.生2:21÷3-1=6(棵)因為兩端都不種,至少要6棵.生3:21÷3:7(棵)因為從路'12開始種,房子這端不用種樹,所以至少種7棵.師:誰說的更有道理?這相當于哪一種情況?(只種一端)師:再來看看線段圖,如果這一端都造了一所房子,棵數(shù)與間隔數(shù)之間有什么關(guān)系呢?(棵數(shù)=間隔數(shù))師:你

7、是怎么想的?生1:兩端都種要加1,少了一棵,就不用加了.(了不起,你是從兩端都種推出來的.)生2:一端不種,間隔數(shù)就和棵數(shù)一樣了.(課件演示)師:這頭也跟著造了,又有什么關(guān)系呢?(棵數(shù)=間隔數(shù)一1)師:結(jié)合圖說說你是怎么理解的?小結(jié):看來,我們在解決這類問題時,要先分清它屬于哪一種情況,再根據(jù)實際選擇合適的方式.2.拓展練習(1)用一根長54米的繩子剪跳繩,每6米剪一根,一共要剪幾次?(2)同學們排成兩行做操,隊伍全長8米,每兩人之間相距1米.一共有多少人?訊1l秘IIII師:請靜靜地讀題,想一想它們相當于哪一種情況,選擇合適的方法算一算.匯報:它相當于哪種情況?生I:54÷6-1=

8、8(次)(相當于只種一端)shuxlledashifie生2:8÷1+1:9(人)這相當于兩端思想.都種.四,總結(jié)延伸師:其實,像剛才那樣的植樹,插旗,排隊等問題,它們的解題策略基本一致,我們把它們統(tǒng)稱為"植樹問題".想一想,生活中還有這樣的植樹問題嗎?請舉例說一說!師:確實,只要我們細心觀察,生活中還有更多更有挑戰(zhàn)性的問題等著我們?nèi)ソ鉀Q,比如小朋友們排隊,如果排成個圈兒,棵數(shù)與間隔數(shù)之間會藏著怎樣的秘密呢?就留給大家課后去思考吧!【思考與感悟】植樹問題是人教版教材四年級下冊第117120頁例1,例2,例3的內(nèi)容.本課內(nèi)容是學生第一次在教材中接觸"植樹問

9、題",但一部分學生在興趣小組,校外培訓(xùn)等活動中對"植樹問題"已經(jīng)有了不同程度的認識.因此,教學時,以教材例1中生活中的植樹問題引入,讓學生初步感知植樹問題三種常見的類型.在此基本上以兩端都種的植樹問題為重點展開研究,運用數(shù)形結(jié)合思想幫助學生在畫一畫,看一看,想一想的過程中建構(gòu)植樹問題的數(shù)學模式,溝通植樹問題三種情況之兩端都種間的聯(lián)系,形成解決植樹問題的基本解題策略體系.數(shù)學模式的建構(gòu)不應(yīng)是簡單的線性的建構(gòu),而應(yīng)是如同建筑模型般的三維立體的建構(gòu).那么在教學中如何建構(gòu)真正意義上的"立體"數(shù)學模式呢?在經(jīng)過數(shù)次教學實踐后,我不斷改進,不斷反思,x,t

10、llt有了更加深入地思考.策略一:量的積累世界上任何事物的變化發(fā)展,都是首先從量的積累開始的.只有當量的積累超過一定的范圍和限度才會引發(fā)質(zhì)的變化.在數(shù)學模型的建構(gòu)過程中亦是如此,一定的感性經(jīng)驗的積累是十分必要的,特別是像植樹問題此類應(yīng)用規(guī)律解決問題的課型.教材中只呈現(xiàn)了一個學生利用線段圖探究規(guī)律解決問題的過程,而其背后所蘊涵的應(yīng)是一個學生大量的實踐操作的過程.只有當學生擁有了足夠量的感性活動經(jīng)驗積累之后,才能對事物有所感悟,進而抓住問題的本質(zhì).鑒于此我是這樣設(shè)計的:當學生獨立嘗試畫出長1O米,15米,25米,30米各條路上種樹情況后.師生利用課件再次看線段圖,回顧種樹的過程.之后教師順勢問道:

11、"如果一條長1000米的小路,你們還畫嗎?那怎么辦呢?"學生們爭先恐后地說:"可以列式計算."學生邊回答,教師邊板書:10÷5+1=315÷5+1:425÷5+1=630÷5+1=71000÷5+1=201.至此實踐感悟,列式解答就一氣呵成了.在教師引導(dǎo)下學生嘗試用一個算式或一句話來表示這些情況.如生1:A÷5+1;生2:總長÷間距+1=棵數(shù).進而發(fā)現(xiàn)植樹問題在兩端都種的情況下,棵數(shù)=間隔數(shù)+1.整個學習過程中,學生不斷畫線段圖,反復(fù)看線段圖,從而積累豐富了感性活動經(jīng)驗,為數(shù)學模型的建

12、構(gòu)奠定扎實的基礎(chǔ).策略二:質(zhì)的感悟量的積累成就質(zhì)的感悟,但這里所指的"量"絕不是知識的簡單疊加,更需要對知識的深化,突破,超越.因而,我們建構(gòu)數(shù)學模式時,要抓準問題的本質(zhì),逐步積累感悟數(shù)學模型本質(zhì)的東西.教材只以情境對話的形式呈現(xiàn)學生從一組簡單數(shù)據(jù)人手,利用線段圖發(fā)現(xiàn)規(guī)律,解決問題的對話情境,沒有具體的問題解決的過程.而許多教師未能真正解讀教材意圖,盲目地讓學生畫線段圖,得出規(guī)律,將數(shù)學模式的建構(gòu)過程簡單歸結(jié)為利用表格發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程.如此簡單的理解數(shù)學模式的建構(gòu)是不可取.讓我們通過兩個課例中兩張不同的表格設(shè)計來解讀其中所蘊涵的不同的教學課例一:表(一)兩端都種路長(米)畫一

13、畫棵數(shù)1O15253O課例二:表(二)籀筵趣數(shù)學史世界兩端都種路長(米)間距(米)間隔個數(shù)棵數(shù)105155255305課例一借助表(一)讓學生在畫一畫,填一填的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律(兩端都種)棵數(shù)=間隔數(shù)+l,從而建構(gòu)兩端都種植樹問題的數(shù)學模型.如此設(shè)計表面看來合隋合理,然而事實卻是否定的!在教師指令性的操作下,圖表暗示作用下,學生雖能迅速歸納出數(shù)學模式,但對于數(shù)學模式的理解卻只停留于文字表面,知其然而不知其所以然.課例二中同樣是利用表格,但呈現(xiàn)的內(nèi)容,方式變活了;同樣是實踐操作,但操作對象的思維得到充分展示;同樣是建構(gòu)模式,但更關(guān)注數(shù)學模式建構(gòu)的過程.教師借助數(shù)形結(jié)合思想,充分利用線段圖將植樹問題

14、中棵數(shù)與間隔數(shù)之問內(nèi)在的"一一對應(yīng)"聯(lián)系在學生頭腦中建構(gòu)起清晰的表象.從表(一)到表(二)的轉(zhuǎn)變,是從注重結(jié)論到注重過程的轉(zhuǎn)變,是從"是什么"到"為什么"的轉(zhuǎn)變,是教學思想方法的一次飛躍.策略三:形的豐滿在現(xiàn)實生活中,植樹問題披著形形色色的外衣,存在著復(fù)雜多樣的情況,如安裝路燈,走樓梯,鋸木頭,而學生常常會被這些美麗的外表所迷惑.因此,我們必須抓住它們的本質(zhì),從這些復(fù)雜的現(xiàn)象中抽象出它們最本質(zhì)的數(shù)學模式.我在設(shè)計時考慮到實際生活的紛繁復(fù)雜,在新課伊始就將植樹問題的三種不同情況(兩端都種,只種一端,兩端都不種)完整地呈現(xiàn)給學生,然后以兩端都種為基礎(chǔ)展開研究,充分利用線段圖幫助學生在頭腦中建構(gòu)起一個完整的植樹問題的數(shù)學模式.在練習設(shè)計時,我注重習題的靈活性,開放性,避免學生死記規(guī)律機械化操作.如在基本練習中我設(shè)計了"明明在屋旁的小路一邊種樹.小路全長21米.從路口開始每隔3米種一棵.至少要種多少棵樹?"這一習題.讓學生在解決具體問題情境的過程,發(fā)現(xiàn)并感悟植樹問題其它兩種情況下棵數(shù)與間隔數(shù)之間的聯(lián)系,并學會根據(jù)實際情況選擇合適的方式解決問題.兩端都種一只種一端一兩端都