圓錐曲線焦點弦長公式極坐標參數(shù)方程

1、圓錐曲線焦點弦長公式(極坐標參數(shù)方程)圓錐曲線的焦點弦問題是高考命題的大熱點，主要是在解答題中，全國文科一般為壓軸題的第 22 題，理科和各省市一般為第21 題或者第 20 題，幾乎每一年都有考察。由于題目的綜合性很高的，運算量很大，屬于高難度題目，考試的得分率極低。本文介紹的焦點弦長 公式是圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)的通用公式，它是解決這類問題的金鑰匙，利用 這個公式使得極其復雜的問題變得簡單明了，中等學習程度的學生完全能夠得心應手！？定理 已知圓錐曲線(橢圓、雙曲線或者拋物線) 的對稱軸為坐標軸(或平行于坐標軸)， 焦點為 F，設傾斜角為:-的直線I經(jīng)過 F,且與圓錐曲線交于 A、B

2、 兩點，記圓錐曲線的離心率為 e,通徑長為 H，則推論:(1)焦點在 x 軸上，當 A、B 在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時,(2)焦點在 y 軸上，當 A、B 在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時,(1)當焦點在 x 軸上時，弦AB 的長| AB卜H11 -e2cos2|(2)當焦點在 y 軸上時，弦AB 的長| AB |二H|1 - e2sin2： |當 A、B 不在雙曲線的一支上時,|ABe2cos-1;當圓錐曲線是拋物線時,H| AB| =二2;當圓錐曲線是拋物線時,e sin a -1當 A、B 不在雙曲線的一支上時,| AB |廠cos a典題妙解下面以部分高考題為例說明上述結論在解題

3、中的妙用2 2XV2例 1( 06 湖南文第 21 題)已知橢圓 &:一1，拋物線(y-m)= 2px(p0),43且Ci、C2的公共弦 AB 過橢圓Ci的右焦點.(I)當AB x軸時，求 p, m 的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線 AB 上;4(H)若p=3且拋物線C2的焦點在直線2 2X y例 2 (07 全國I文第 22 題)已知橢圓1的左、右焦點分別為F,、F2，過F,的直32線交橢圓于 B、D 兩點，過F2的直線交橢圓于 A、C 兩點，且AC _ BD，垂足為 P.2 2 (1)設 P 點的坐標為(xo,yo),證明：+v1.一A3 2(2)求四邊形 ABCD 的面積的

4、最小值./丿/xV27C例 3 (08 全國I理第 21 題文第 22 題)雙曲線的中心為原點 0,焦點在 x 上，兩條漸近線分 另悅li、丨2，經(jīng)過右焦點 F 垂直于li的直線分別交li、丨2于 A、B 兩點已知|0A|、AB|、|0B|成等差數(shù)列，且BF與FA同向.(I)求雙曲線的離心率；(H)設 AB 被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程y金指點睛21.已知斜率為1 的直線l過橢圓-X2=1的上焦點 F 交橢圓于A、B 兩點，則4I AB 1=_22.過雙曲線X丄1的左焦點 F 作傾斜角為二的直線|交雙曲線于A、B 兩點，則36I AB 1=_3.已知橢圓x22y2-2 =0，過

5、左焦點 F 作直線I交 A、B 兩點，O 為坐標原點，求厶 AOB 的最大面積.25.（ 05 全國n文第 22 題）P、Q、M、N 四點都在橢圓x的面積的最大值和最小值軸上的焦點已知PF與FQ共線，MF與FN共線,且PF MF二0求四邊形 PQMN2乞=1 上,2F 為橢圓在 y 軸正半6. (07 重慶文第 22 題)如圖，傾斜角為:-的直線經(jīng)過拋物線y2=8x的焦點 F，且與拋物線交于 A、B 兩點.(I)求拋物線的焦點 F 的坐標及準線I的方程;(H)若為銳角，作線段 AB 的垂直平分線 m 交x軸于點 P,證明| FP| - | FP | cos2_：i為定值，并求此定值7點 M 與

6、點F(0,2)的距離比它到直線丨：y 3 =0的距離小 1.(1)求點 M 的軌跡方程；(2)經(jīng)過點 F 且互相垂直的兩條直線與軌跡相交于 面積A、B; C、D.求四邊形 ACBD 的最小8.已知雙曲線的左右焦點2X22Fi、F2與橢圓y =1的焦點相同，且以拋物線寸-2x的準線為其中一條準線(1)求雙曲線的方程;(2)若經(jīng)過焦點 F2且互相垂直的兩條直線與雙曲線相交于 的面積的最小值.A、B; C、D.求四邊形 ACBD參考答案:弦 AB 所在的直線I的方程為y =k（x- c）（其中k =tan:-為直線l的傾斜角），其參數(shù)方程為”x = -C +tCOSG y =tsina.代入雙曲線方

7、程并整理得：（a2si n2二一b2cos2二）”t22b2ccos: t-b4=0.由 t 的幾何意義可得:|AB屮-t21二（tit2）24tit2-4b22 . 2 . 2 2a sinb cos :-_2ab2| a2sin2b2cos2：|2b222a |1 - e cos : |2b_a2 2|1 -e cos :- |2 2 .|1 -e cos : |例 1解：（I）當AB _ x軸時，點 A、B 關于 x 軸對稱，.m -0，直線 AB 的方程為x =1.33從而點 A 的坐標為（1,）或（1,-）.22-點 A 在拋物線C2上,證明：設雙曲線方程為2x2ab 0）,通徑H2

8、b2，離心率e =-,a2b2ccos:-2 2. 2 2a sinb cos :992 p.即p.489此時拋物線C2的焦點坐標為（衛(wèi)）,該焦點不在直線 AB 上.16（n）設直線AB的傾斜角為，由（I）知.2則直線 AB 的方程為y二tan(x -1).C2的對稱軸y = m平行于x軸，焦點在 AB 上，通徑H =2-,離心率e二1,3于是有31 - cos2:)10,a bb 0).|OA|、|AB|、|OB|成等差數(shù)列，設|AB|=m,公差為 d ,則| OA |= m - d,|OB| = m d,(m-d)2m2= (m d)2.即m2_2dm d2m2m22dm d2.m ,一H

9、3m- 5md .從而|OA|,|OB F444又設直線l1的傾斜角為，則.AOB二2-.11的方程為by x.ab|AB| 4tan .而tan 2 ：二tan AOB二a|OA| 3又BD、AC 分別過橢圓的左、右焦點F1、F2，于是4、3|BD|=1_e2cos2：3一cos2|ACh4,322応1 -e cos(:-)3 - sin2：四邊形 ABCD 的面積1S|BD| |AC|1434、361 -tan2：解之得：-e1(b)V a（n）設過焦點 FCOST- -sin：2COS、5的直線 AB 的傾斜角為 則 v -21（1）2ta n2:1 tan2:通徑H2b2=2bb=b.

10、aa又設直線 AB 與雙曲線的交點為N.于是有：| MN卜=4.解得b = 3，從而=6.所求的橢圓方程為=1.361.解：a = 2,b =1,c= 3，離心率| AB | =，通徑21 - e2sin2:1 -（2r（T）C2.解：a=1, b=、3,c=2，離心率e2，通徑Ha1e2COS2廠4.=1，直線l的傾斜角直線的傾斜角:二H622當直線 AB 的斜率不存在時，AB _ x軸，這時| AB |= m = 4 p,高| OF |= P, AOB2b2當直線l的斜率不存在時，l _ x軸，這時| AB |= H = a1； 2 AOB 的面積S =22tan: x - y tan ：

11、 = 0, 原 點 o 到|0 xtana0+tana |tana |dsin ：.|se少|(zhì)AB| =|1-22(f)2|3.解:a = $2,b =1, c =1,左焦點F(-1,0)，離心率e = a二，通徑22b2a當直線I的斜率存在時，設直線I的傾斜角為:-，則其方程為y = tan .：s (x 1)，即=2，高| OF | = c = 1,直 線 ABH|AB|22ecos (務222,2_ 2-22 -cos :2一21 sin2:H622當直線 AB 的斜率不存在時，AB _ x軸，這時| AB |= m = 4 p,高| OF |= P, AOB4.解：焦點為F(p,0)，

12、通徑H =4p. AOB 的面積_ J2sin。1 sin2:0v ： v二，2sin：0.從而1 sinJ2sin ：.S乞竺匸二2sin a2當且僅當sin:=1，即時，“=”號成立.故AOB的最大面積為212的面積S I AB I |0F | = 2p當直線 AB 的斜率存在時，設直線的傾斜角為：，則其方程為y=tan(x-p)，即tan: x - y p tan : = 0， 原 點 O,| ptana | p | tana |dpsin：.一tan * T| sec=|H4p| AB|2F-sinGsin 由已知條件，MN 和 PQ 是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0,1)，且MN丄P

13、Q.Tt如圖，設直線 PQ 的傾斜角為：，則直線 MN 的傾斜角 W2S24p4m m4p44p=p3，是定值.線 AB AOB 的面積S|AB|2sin a24S _ 4p2m sin :1x = 24.24p sin :-p3p.4pAB 在什么位置,均有 =p3(m5.解：在橢圓a =. 2，b=1,c=1.p3為定值)-四邊形 PQMN 的面積通徑H二、2，離心率.于是有| MN | =H22応1 -e2sin2()|PQ| =22sin :*y(2) *兩條互相垂直的直線與拋物線均有兩個交點，-它們的斜率都存在.如圖，設直線 AB 的傾斜角為 ,1S |MN | |PQ|12 2 2

14、 22 22 2-cos ：2_sin :1628 sin 2：故四邊形 PQMN 面積的最小值和最大值分別為6. (I)解：2p =8, p =4, 拋物線的焦點F 的坐標為(0,2),準線I的方程為x = -2.(n)證明：作AC _ I于 C，F(xiàn)D_AC于H8則|AB|22,|EF |=|FP |cos，|AD |=| AF |cos.| AF HI AC AD | p =| AF | co4.14|EFF|AF|TAEF|AF|7|AB|=K4.2sin :_ 4cosI-.2 ，從而| FP | = | EF |二4cos。sin a-| FP |-| FP |cos2 =|FP |

15、（1-cos2： ）4r-sin a2sin 8.故| FP | - | FP | cos2為定值，此定值為 8.7.解：(1)根據(jù)題意，點 M與點F (0,2)的距離與它到直線I : y = -2的距離相等,點 M 的軌跡是拋物線，點F(0,2)是它的焦點，直線I : y二-2是它的準線.所求的點 M 的軌跡方程是x2=8y.DAFP*xm則直線 CD 的傾斜角為90 拋物線的通徑H -2p-8，于是有：H8H8IAB|2-_ 2-,ICDr2222,2 I一20、 2cos ： cos ：cos (90: ) sin :.四邊形 ACBD 的面積1S |AB| |CD|1 8 8=-*-2 - 22 cos ： sin :_ 128sin22：當且僅當sin22取得最大值 1 時，Smin=128，這時2-90，二=45.四邊形 ACBD 的最小面積為 128.28.解：(1)在橢圓y2=1中，a=V5,b=1,c二a2- b2= 2，1 其焦點為h(-2,0)、5F2(2,0).在拋物線y2=-2x 中,P J其準線方程為X呼韋在雙曲線中,22,ca =1,b = c2- a2= 3.所求的雙曲線的方程為21.3(2)：兩條互相垂直的直線與雙曲線均有