《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)問題

1、?九章算術(shù)?中的數(shù)學(xué)問題?九章算術(shù)?是中國流傳至今最古老的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作之一。作者不詳 ,寫作的年代也無法確定。雖然它比?周髀算經(jīng)?更為完善和先進(jìn) ,但人們推定?九章算術(shù)?的年代卻比?周髀算經(jīng)?更早。這真是有點奇怪。?周禮保氏?中就說王子們必須學(xué)習(xí)“九數(shù) ,東漢末年的經(jīng)學(xué)家鄭玄作注 ,其內(nèi)容與?九章算術(shù)?的篇名幾乎完全相同。鄭玄雖然是經(jīng)學(xué)家 ,但他的算學(xué)水平絕對是一流的 ,當(dāng)時就是因為他曾幫助老師經(jīng)學(xué)大師馬融解決了一道數(shù)學(xué)難題 ,馬融才將所有的學(xué)問傳給了他。至于?九章算術(shù)?是否就是“九數(shù) ,尚須進(jìn)一步討論。?九章算術(shù)?其實就是研究九個問題的習(xí)題集。每道題有問有答有術(shù)解決方法 ,有的是一題一術(shù) ,

2、有的是多題一術(shù) ,有的那么是一題多術(shù) ,全書九章 ,涉及的都是現(xiàn)實生活中的實際應(yīng)用問題。第一章 ,講“方田 ,38個問題21種解決方法 ,主要論述了各種平面圖形的地畝面計算法及分?jǐn)?shù)的運算法那么。其中平面圖形有方田長方形田地、圭田等腰三角形田地、邪田直角梯形田地、箕田等腰梯形田地、圓田圓形田地、宛田球冠行田地、弧田弓形田地、環(huán)田圓環(huán)或環(huán)缺形田地的面積算法 ,除宛田、弧田采用近似計算法外 ,其他各種圖形的面積算法都是正確無誤的。其中分?jǐn)?shù)運算法那么包括約分術(shù)約分、合分術(shù)分?jǐn)?shù)加法、減分術(shù)分?jǐn)?shù)減法、課分術(shù)分?jǐn)?shù)比擬大小、平分術(shù)求分?jǐn)?shù)的平均值、經(jīng)分術(shù)分?jǐn)?shù)除法、乘分術(shù)分?jǐn)?shù)乘法及大廣田術(shù)帶分?jǐn)?shù)乘法。第二章 ,講

3、“粟米 ,46問33術(shù) ,主要論述了二十種谷物、米或飯的兌換比率及四項比例算法。其四項比例算法當(dāng)時稱為“今有術(shù)。前31問都是用四項比例算法計算的谷物兌換問題 ,后15問那么是以錢買物的問題 ,再后15問中共列四術(shù) ,即經(jīng)率術(shù)、經(jīng)術(shù)術(shù)、其率術(shù)和反其率術(shù) ,這四術(shù)都是四項比例算法的特殊情況。這很有點像經(jīng)濟(jì)學(xué)的雛形。第三章衰分 ,20問22術(shù) ,主要論述比例分配 ,包括質(zhì)量不一的貨物的稅收問題 ,還有算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù)方面的其他問題。所有這些都是用比例法解決的。第四章少廣 ,24問16術(shù) ,論述的是開平方、開立方的問題。第五章商功 ,28問24術(shù) ,討論立體圖形 ,如棱柱、圓柱、棱錐、圓錐、圓臺、四

4、面體、楔形的體積測量和計算 ,所考慮的有墻、城墻、堤防、水道和河流。第六章均輸 ,28問28術(shù) ,主要討論如何按照人口多少、路途遠(yuǎn)近、谷物貴賤平均繳納、運輸賦稅或攤派徭役的問題。第七章盈缺乏 ,20問17術(shù) ,主要論述盈虧問題的解法。第八章方程 ,18問19術(shù) ,研究聯(lián)立線性方程 ,還用到正數(shù)和負(fù)數(shù)。研究中國古代科學(xué)技術(shù)史的專家英國李約瑟認(rèn)為 ,這是在人類文明中最早出現(xiàn)負(fù)量的概念。不過這跟我們現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的負(fù)數(shù)在理念上還是有差異的 ,這時的負(fù)數(shù)是借助于經(jīng)濟(jì)上的虧欠形成的 ,正負(fù)數(shù)的運算也可能是由于需要產(chǎn)生的 ,而不是現(xiàn)代數(shù)理論上的負(fù)數(shù)。本章最后涉及的四個方程和五個未知數(shù)的問題 ,是不定方程的前身

5、。第九章勾股 ,24問22術(shù) ,這里用代數(shù)方法深入細(xì)致地論述了?周髀算經(jīng)?中已經(jīng)提到過的直角三角形的性質(zhì)。九章合計共246問202術(shù)。涉及到社會生產(chǎn)生活的方方面面。也正像一般學(xué)者所研究的那樣 ,這些數(shù)學(xué)知識雖然有的方面非常興旺 ,但其所面對的問題都是現(xiàn)實生活中的實際問題 ,因此很多都是在解決具體的問題中到達(dá)非常精微的地步 ,但卻沒有一套知識系列 ,將數(shù)學(xué)的各種知識系統(tǒng)化。這是中國古代數(shù)學(xué)的一大特征。另外一個特征就是 ,比擬擅長運用代數(shù)來解決問題 ,即使是幾何問題 ,通常也是轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題 ,前面所提到的關(guān)于直角三角形的討論 ,也只不過是一個媒介 ,最終還是會引到代數(shù)上來。雖然我們不能說?周髀算

6、經(jīng)?和?九章算術(shù)?準(zhǔn)確地反映了先秦時代的數(shù)學(xué)水平 ,但基于此 ,我們似乎可以逆想 ,西周時代的數(shù)學(xué)知識的狀況如何。而西周的那些“國子們 ,所面對的數(shù)學(xué)知識面也就不難想象了。要練說 ,得練看?？磁c說是統(tǒng)一的 ,看不準(zhǔn)就難以說得好。練看 ,就是訓(xùn)練幼兒的觀察能力 ,擴(kuò)大幼兒的認(rèn)知范圍 ,讓幼兒在觀察事物、觀察生活、觀察自然的活動中 ,積累詞匯、理解詞義、開展語言。在運用觀察法組織活動時 ,我著眼觀察于觀察對象的選擇 ,著力于觀察過程的指導(dǎo) ,著重于幼兒觀察能力和語言表達(dá)能力的提高。其實 ,那個時期經(jīng)常用到數(shù)學(xué)運算的可能還不是丈量土地 ,修建工程之類的事情 ,而是占卜中需要用數(shù)學(xué)來計算重卦和蓍草的數(shù)

7、目 ,尤其是后者 ,是一套比擬繁瑣的程序中 ,需要相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)能力。凡祭祀、出行、婚喪、訪友、行軍打仗等等都會事先占卜 ,以求吉兇 ,可見這類事情要比測量土地、征收賦稅之類的事情頻繁多了。語文課本中的文章都是精選的比擬優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對提高學(xué)生的水平會大有裨益?，F(xiàn)在,不少語文教師在分析課文時,把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果教師費力,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的為難局面的關(guān)鍵就是對文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見,如果有目的、有方案地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀課文,或細(xì)讀、默讀、跳讀,或聽讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學(xué)生便可以在讀中自然領(lǐng)悟文章的思想內(nèi)容和寫作技巧,可以在讀中自然加強(qiáng)語感,增強(qiáng)語言的感受力。久而久之,這種思想內(nèi)容、寫作技巧和語感就會自然滲透到學(xué)生的語言意識之中,就會在寫作中自覺不自覺地加以運用、創(chuàng)造和開展。據(jù)前文所述 ,那個時期的數(shù)學(xué)似乎很復(fù)雜 ,但實際上似乎又沒有這么復(fù)雜 ,因為他