第四章—級數(shù)ppt課件

1、第4章級數(shù)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)了解冪級數(shù)的概念;會求泰勒級數(shù);會把函數(shù)在展開成冪級數(shù);知道冪級數(shù)和羅倫級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系;會求函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù).4.1 冪級數(shù)4.1.1冪級數(shù)的概念 同實變函數(shù)一樣,關(guān)于冪級數(shù)也有:1.收斂圓與收斂半徑2.級數(shù)在其收斂圓內(nèi)有如下性質(zhì):1)可以逐項求導(dǎo).2)可以逐項積分.3)在收斂圓內(nèi), 冪級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù).例1求 的收斂半徑(并討論在收斂圓周上的情形)解: 因為所以, 收斂半徑即原級數(shù)在圓內(nèi) 收斂,在圓外發(fā)散. 在圓周 上,原級數(shù)收斂, 所以原級數(shù)在收斂圓內(nèi)和收斂圓周上處處收斂.132nnz11limlim31nnCCnnnn1R1z1z23311

2、1nnznn4.1.2泰勒級數(shù) 我們經(jīng)常利用泰勒展開式的唯一性及冪級數(shù)的運算和性質(zhì)(級數(shù)在其收斂圓內(nèi)可以逐項求導(dǎo),可以逐項積分)來把函數(shù)展開成冪級數(shù),即利用間接的方法, 把函數(shù)展開成冪級數(shù).4.1.2泰勒級數(shù) 定理一 若函數(shù) 在圓盤 內(nèi)解析,那么 在該圓盤內(nèi)可展成的冪級數(shù),這種展式是唯一的,且為 (4.1.3) 或 其中 這個公式(4.1.3) 稱為 在 的泰勒展開式, 它的右端稱為 在 的泰勒級數(shù), 稱為泰勒系數(shù). zfRzz0 zf nnzzczzczzcczf0202010 nnnzzczf00 ., 2 , 1 , 0,!0nnzfcnn zf zf0z0z0,1,2,ncn 利用泰勒

3、展開式,我們可以直接通過計算系數(shù),把函數(shù)展開成冪級數(shù). (4.1.4) (4.1.5) (4.1.6) (4.1.7)!21! 4! 21cos242nzzzznn! 3! 2132nzzzzenz!121! 5! 3sin1253nzzzzznnnnzzzz11112RRR1R 1. 只要函數(shù) 在圓盤 內(nèi)解析, 就可在 展開成泰勒級數(shù); 2. 此時泰勒級數(shù), 泰勒展開式, 的冪級數(shù)為同意語; 3. 假設(shè) 在 平面內(nèi)處處解析,那么; 4. 假設(shè) 只在區(qū)域 內(nèi)解析, 為內(nèi) 的一點, 那么 在 的泰勒展開式的收斂半徑 等于 到的 邊界上各點的最短距離; 5. 假設(shè) 在 平面上除若干孤立奇點外內(nèi)處處

4、解析,那么 等于 到最近的孤立奇點的距離.0z zf zf zf zf zf zfRzz00z0z0z0z0z0zz zzRDDDRR例2把函數(shù) 展開成 的冪級數(shù) 解: 函數(shù) 在 內(nèi)處處解析, 由公式(4.1.7) 把上式兩邊逐項求導(dǎo),即得所求的展開式211z211zz1z1,11112zzzzznn. 1nzzzzznn羅倫級數(shù) 定理二 設(shè)函數(shù) 在圓環(huán)域 ,內(nèi)處處解析,那末 (4.2.1)其中 (4.2.2) zf201RzzR nnnzzczf0 , 2, 1, 0,2110ndzficcnn4.2 羅倫級數(shù) 冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有的許多性質(zhì)在收斂圓環(huán)域: 內(nèi)的羅

5、倫級數(shù)也具有. 1.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)可以逐項求導(dǎo), 2.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)可以逐項積分, 3.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù) 201RzzR求羅倫展開式的系數(shù) 羅倫展開式的系數(shù) 用公式(4.2.2)計算是很麻煩的,由羅倫級數(shù)的唯一性,我們可用別的方法,特別是代數(shù)運算,代換,求導(dǎo)和積分等方法展開,這樣往往必將便利(即間接展開法). 同一個函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)一般不同; 由羅倫級數(shù)的唯一性可知,同一個函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)一定相同. ncnc例3把函數(shù) 展開成 的級數(shù) 解: 因為所以 zezzf13z! 3! 2132nzzzzenz .0,!

6、51! 41! 31! 2! 31! 211122332313zzzzzzzzzzezzfz例4把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解: 因為所以, .222212121121213322nnzzzzzz 211zzzf10 z zzzzzf2111211,11132nzzzzz nzzzzzf321nnzzzz222212133222137248zz10 z例5把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解: 因為所以, .222212121121213322nnzzzzzz 211zzzfnnzzzz2222121332221 z zzzzzzzzf211111211121121111111111zzzzzz 21111zzzzf842111121zzzzznn21 z例5把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解: 因為所以, 21111111111zzzzzz24211211121zzzzzz 211zzzf 21111zzzzf z2 zzzzzzzzzf2111111121