等差等比數(shù)列表格

1、等差數(shù)列（、，知3求2）等比數(shù)列（、，知3求2）判斷方法（充要條件）或；，（A，B為常數(shù)）；,(C,D為常數(shù))。或；通項(xiàng)公式； ；若,則；若，則.或；若，則，若，則.前n項(xiàng)和公式當(dāng)n為比較小的正整數(shù)時可記為：Sn=a1+a2+an；、仍為等差數(shù)列，公差為。、仍為等比數(shù)列，公比為等差（比）中項(xiàng)若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且若成等比數(shù)列（a,b同號），A為與的等比中項(xiàng)，A=。數(shù)列單調(diào)性d>0時，數(shù)列遞增；若，數(shù)列遞減；若公差，則為常數(shù)列。，為常數(shù)列；，為擺動數(shù)列；且時遞增； 且時，遞減；且時，遞增;且時，遞減。既成等差又成等比的數(shù)列為非零常數(shù)列。當(dāng) 、時，滿足 的項(xiàng)數(shù)n使得

2、取最大值.當(dāng)、時，滿足的項(xiàng)數(shù)n使得取最小值.求通項(xiàng)：一、公式法 等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。二、累加法 適用于 型例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。三、累乘法 適用于型例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為四、任意數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系：若滿足由

3、推出的，則需要統(tǒng)一“合寫”；若不滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)應(yīng)分段表示。五、待定系數(shù)法例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。六、已知求，用作商法：。七、數(shù)學(xué)歸納法例6 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當(dāng)時，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時，由此可知，當(dāng)時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。數(shù)列求和的常用方法：1、 （1）公式法：等差數(shù)列求和公式： 等比數(shù)列求和公式：自然數(shù)方冪和公式： 二、錯位

4、相減法求和：這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯位相減法。例 求和：（）解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積 （設(shè)制錯位）得 （錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 要考慮當(dāng)公比x為值1時為特殊情況。三、倒序相加法求和：就是將一個數(shù)列倒過來排列，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個.例：已知函數(shù)，點(diǎn)、是函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為。在數(shù)列中,若，求數(shù)列的前項(xiàng)和，  又令倒序得：得：評析：顯然,此題用倒序相加法的條件是函數(shù)具備的特殊性質(zhì):四、分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和. 例：求數(shù)列的前n項(xiàng)和；分析：數(shù)列分別是等差數(shù)列、等比數(shù)列，求和時一般用分組結(jié)合法；解 ：因?yàn)?，所?（分組）前一個括號內(nèi)是一個等比數(shù)列的和，后一個括號內(nèi)是一個等差數(shù)列的和，因此 五、裂項(xiàng)相消法：果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)