第2章 精密機械零件受力變形與應力分析

1、 第2章 精密機械零件受力變形與應力分析 一、教學目的：通過本章的學習，達到了解精密機械中的強度、剛度、應力分析的基本概念，和掌握應力分析方法的目的。二、教學方法： 黑板教學與多媒體教學相結合三、教學手段： 課堂教學和課后輔導相結合四、學時分配： 講課學時為4學時五、重點、難點： 2.2節(jié)、2.3節(jié)與2.4節(jié)重點講解 難點：應力分析六、作業(yè)布置： 習題2-2至2-7七、輔導安排： 課后安排輔導八、教學內(nèi)容2.1 精密機械零件的強度與剛度2.1.1強度強度是構件抵抗破壞的能力，所以說強度計算是精密機械零件設計必不可少的一部分。2.1.2剛度剛度是構件抵抗變形的能力，那么構件在外力作用下引起的變形

2、不能超過工程上許可的范圍。2.1.3受力與變形先來看看力的分類;如果按力的來源分類可分為：主動力和約束反力。如果按力的作用范圍分類：可分為表面力和體積力。其中，表面力是指作用于物體表面的力，可分為分布力和集中力。分布力是指連續(xù)作用于物體表面的較大范圍內(nèi)的力。體積力是指連續(xù)分布于物體內(nèi)各點的力。如果按力與時間的關系分類：可分為靜載荷和動載荷。靜載荷是指載荷由零緩慢地增加到終值，然后保持不變或變化不明顯的載荷。動載荷是指隨時間發(fā)生顯著變化的載荷，按其變化方式又可分為交變載荷、沖擊載荷等。為建立彈性體的力學模型，可以對彈性體作下列假設: 連續(xù)性假設 均勻性假設 各向同性假設。2.2 桿件的拉伸與壓縮

3、2.2.1拉伸與壓縮時的內(nèi)力與應力截面不變的直桿受力特點是:作用在桿件兩端的兩個力，大小相等，方向相反（兩力方向相背時為拉伸，方向相對時為壓縮），并且沿著桿件的軸線作用。這種現(xiàn)象稱為軸向拉伸或壓縮。彈性桿件在外力作用下發(fā)生變形，同時桿件內(nèi)部各部分之間產(chǎn)生相互作用力，這種力稱為內(nèi)力。它隨著外力的增加而增加，達到某極限值時桿件就會發(fā)生破壞。因此，內(nèi)力與桿件的強度、剛度和穩(wěn)定性密切相關。胡克定律 由于 ；胡克定律也可以寫為如下另一種形式 材料在彈性限度內(nèi)，桿件的絕對伸長（或縮短）與外力P及桿長l成正比，與桿件橫截面面積A及材料的彈性模量E成反比。2.2.2 拉伸與壓縮時的強度計算拉（壓）桿的強度條件

4、可以用面公式表示： 上面的式中的稱為許用應力；稱為極限應力（）；s是為安全系數(shù)。強度條件在設計中可用于解決三類問題:1截面積的計算2強度校核3許用負荷的確定 來看下面例子;例 某冷鍛機的曲柄滑塊機構如右邊圖所示。鍛壓工件時，連桿接近水平位置，鍛壓力P = 3780 kN，連桿橫截面為矩形，高與寬之比h/b = 1.4，材料的許用應力（由于考慮到穩(wěn)定效應影響，此處的已相應降低），試設計截面尺寸h和b。 解答方法如下：解: 由于鍛壓時連桿位于水平，連桿所受壓力等于鍛壓力P，即軸力為由強度條件得或 因為連桿為矩形截面，所以又已知h/b = 1.4，代入上式得解得 于是可以選用b = 176 mm，h

5、 = 246 mm。 再來看看另一個例子：例 某工地自制懸臂起重機如下面圖所示。撐桿AB為空心鋼管，外徑為105 mm，內(nèi)徑為95 mm。鋼索1和2互相平行，且設鋼索可作為相當于直徑d = 25 mm的圓桿計算。材料的許用應力為。試確定起重機的許可吊重。確定懸臂起重機的許可吊重解決問題方法請看下面：首先，畫滑輪A的受力圖，如上圖(b)所示，假設撐桿AB受壓，軸力為N；鋼索1受拉，拉力為F1。選取坐標軸x和y，如圖2-4(b)所示。（1）求外力（內(nèi)力），若不計摩擦力，則鋼索2的拉力F2與吊重P相等。以F2= P代入第1式，并解以上方程組，求得N和F1為(壓力)求得的N及F1皆為正號，表示假設撐桿

6、AB受壓、鋼索1受拉是正確的。（2）根據(jù)AB桿的強度條件確定許可吊重由強度條件可得撐桿AB允許的最大軸力為代入第1式得相應的吊重為同理，鋼索1允許的最大拉力是代入第2式得相應的吊重為2.3 機械零件的剪切2.3.1 剪切時的內(nèi)力與應力 聯(lián)接螺栓的剪切變形 聯(lián)接件銷釘?shù)募羟凶冃握埧瓷蠄D，我們以鉚釘聯(lián)接為例，分析剪切時的內(nèi)力及應力。鉚釘受力簡圖如下圖所示。圖中的兩個力P各代表兩塊被聯(lián)接板傳給鉚釘?shù)姆植剂Φ暮狭?。兩力P大小相等、方向相反，不作用于同一直線上。力P力圖在兩塊被聯(lián)接板相貼合的平面上切斷鉚釘。鉚釘受剪計算簡圖 如果忽略鉚釘頭處的反力偶在鉚釘桿上引起的垂直應力，假想用截面在I-I處將鉚釘桿截

7、分為二，取下部分為分離體。根據(jù)平衡條件，知截面上有一與力P大小相等、方向相反的力Q存在（圖2-7(c)），此力即為截面上內(nèi)力的合力，其方向平行于截面。于是在該截面上所引起的并切于該截面上的應力即為剪應力。通常認為剪應力沿受剪面均勻分布。剪應力的大小可以用下式求出 式中 A受剪面面積。由上式算得的應力實際是平均剪切應力，與真實的情況并不完全一致，故稱其為名義剪切應力。為了使聯(lián)接件不被剪斷，應使其工作時的剪切應力小于或等于材料的許用剪切應力，故剪切強度條件為 2.3.2剪切的強度計算 以下面例子介紹剪切的強度計算。例 電瓶車掛鉤由插銷聯(lián)接（見下圖）。插銷材料為20鋼，直徑d = 20 mm。掛鉤及

8、被聯(lián)接的板件的厚度分別為l = 8 mm和1.5 l = 12 mm，牽引力P = 15 kN。試校核插銷的剪切強度。 校核插銷的剪切強度解: 插銷受力如上圖(b)所示。根據(jù)受力情況，插銷中段相對于上下兩段，沿m-m和n-n兩個面向左錯動。所以，有兩個剪切面，稱為雙剪切。由平衡方程容易求得插銷橫截面上的名義切應力為故插銷滿足強度要求，安全。 再來看看另外一個例子。例 如下圖所示的螺栓聯(lián)接件承受負荷830 N，已知螺栓材料的許用剪應力 MPa，求螺栓所需要直徑d。 螺栓受剪切計算簡圖解: 由于螺栓有兩個受剪面，故剪切力為Q = P/2 = 415 N。根據(jù)剪切強度的條件螺栓的直徑為 (mm)2.

9、4 機械零件的扭轉2.4.1 軸類零件的扭轉內(nèi)力和應力桿件的這種變形稱為扭轉。桿件變形的特點是:桿的任意兩個橫截面圍繞軸線作相對轉動。請大家看下面的示意圖，我們現(xiàn)在現(xiàn)在以受兩外扭矩m作用的圓軸為例，分析扭轉時的內(nèi)力和應力。 圓軸受扭簡圖首先利用截面法，在1-1處假想用截面將軸截分為二，取左段為分離體。根據(jù)平衡條件，知截面上存在一個與外扭矩m大小相等、方向相反的力偶矩，這個力偶矩就是桿件受扭轉時橫截面的內(nèi)力，稱為扭矩，用符號Mn表示。由于應力可通過應變表現(xiàn)出來，故為了導出應力計算公式，可先找出應變的規(guī)律。如從圓軸上取兩個相距為dx的橫截面m-m和n-n，圓軸扭轉時，該兩截面的相對轉動角為dj,如

10、下圖(a)所示。O1O2DA和O1O2CB為兩個過軸線的縱截面。將上述四個截面所圍成的楔形單元體截取出來，如下圖(b)所示。根據(jù)平面假設，截面n-n如同剛性平面一樣，相對于截面m-m繞軸線旋轉了角，截面上的半徑O2C和O2D也轉過了同樣的角度，到達和的位置，矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅?，直角改變量即為圓軸表面處的切應變。由圖可見，在距軸線為任意半徑處，用與ABCD平行的截面所截取的矩形EFGH變形為，相應的切應變?yōu)?，因為是小變形，很小，由幾何關系可得 上式中的為扭轉角沿軸線x的變化率，是x的函數(shù)，對具體給定的截面而言，它是常量，因此，切應變沿圓軸半徑成線性變化，離軸線越遠，切應變越大。圓軸表面處

11、切應變最大，并可看出，切應變發(fā)生在與半徑垂直的平面內(nèi)，同一半徑上的所有各點應變均一樣。這就是圓軸扭轉時的變形規(guī)律，它是平面假設的必然結果。切應力分布規(guī)律根據(jù)實驗，在彈性范圍內(nèi)，剪應力與剪應變之間的關系，也符合胡克定律，即 將上式代入前面那個式，得到 在截面上距圓心處取微面積dA（見下圖），其上的微內(nèi)力為，因與半徑垂直，該微內(nèi)力對圓心的矩為，截面上所有微力矩的合力矩，即微力矩在整個橫截面上的積分，應該是截面上的扭矩Mn，即 截面上剪切應力分布 橫截面內(nèi)力與應力的靜力學關系令于是，可以得到 式中 橫截面上距軸心為處的切應力； 圓軸橫截面上的扭矩； 橫截面上所求切應力的點到軸心的距離； 橫截面的極慣

12、性矩。上式即為圓軸扭轉時橫截面上切應力的計算公式，最大切應力發(fā)生在距軸心最遠的圓截面的邊緣，即 令于是 稱為圓軸的抗扭截面模量，與極慣性矩一樣，也是僅與截面形狀、尺寸有關的幾何量。2.4.2 軸類零件的扭轉強度和剛度計算1扭轉強度條件圓軸扭轉時，要保證其正常工作，必須使最大剪切應力不超過許用剪切應力，即扭轉強度條件為 圓軸的極慣性矩 ，在空心軸的情況下，式中，D為空心軸的外徑，d為空心軸的內(nèi)徑。 見下圖，請看下面例子：例 由無縫鋼管制成的汽車傳動軸AB，外徑D = 90 mm，壁厚t = 2.5 mm，材料為45鋼。使用時的最大扭矩為。如材料的，試校核AB軸的扭轉強度。校核AB軸的扭轉強度解法

13、如下: 由AB軸的截面積尺寸，計算抗扭截面模量軸的最大切應力為所以AB軸滿足強度條件，是安全的。2扭轉剛度條件機械設備中，對受扭圓軸不僅有強度要求，對扭轉變形也有所限制。工程上，對受扭圓軸的剛度要求，通常是限制軸的單位長度扭轉角的最大值，所謂單位長度扭轉角度就是 則軸的扭轉剛度條件為工程上習慣采用°/m（度/米）為單位長度扭轉角的單位。結合單位長度扭轉角度的式子，上述剛度條件可表示成式中 軸的最大單位長度扭轉角，°/m； Tmax軸的最大扭矩（絕對值）； 軸的抗扭剛度； 單位長度許用扭轉角。請看下圖，設有A，B兩個凸緣的圓軸，在扭轉外力偶矩m作用下發(fā)生了變形。這時，把一個薄

14、壁圓筒與軸的凸緣焊接在一起，然后解除m。設軸和圓筒的抗扭剛度分別是和，試求軸內(nèi)和圓筒內(nèi)的扭矩。扭轉剪切問題解: 由于圓筒與凸緣焊接在一起，外加扭轉力偶矩m解除后，圓軸必然力圖恢復其扭轉變形，而圓筒則阻抗其恢復。這就使得在軸內(nèi)和筒內(nèi)分別出現(xiàn)扭矩和。設想用橫截面把軸與圓筒切開，因這時已無外力偶矩，平衡方程是焊接前軸在m作用下的扭轉角為這就是凸緣B的水平直徑相對于A轉過的角度。在圓筒與軸相焊接并解除m后，因受圓筒的阻抗，軸的上述變形不能完全恢復，最后協(xié)調(diào)的位置為aa。這時圓軸余留的扭轉角為，而圓筒的扭轉角度為。顯然由扭轉角的公式得到2.5 梁類零件的平面彎曲2.5.1梁類零件的類型平面彎曲特點 見上

15、圖（a）在機械結構中最常遇到的彎曲形式是平面彎曲，它的特點是:桿件是直桿或曲率不大的桿，其截面至少有一個對稱軸線。見上圖2-19(b)，外力或外力偶矩作用在桿件的縱對稱面內(nèi)。桿件變形后，它的軸線在縱對稱面內(nèi)成一條平面曲線。工程上對于受力后產(chǎn)生彎曲變形的桿，一般稱為梁。截面大小不變，軸線為直線的梁稱為等直梁。下面主要討論等直梁的平面彎曲。請看下面圖，根據(jù)梁的支承情況，梁的基本類型有三種。1簡支梁它的特點是一端為固定的鉸鏈支座，另一端是活動的鉸鏈支座。2懸臂梁它的特點是一端固定，一端自由。3外伸梁它的特點也是用一個固定鉸鏈支座和一個活動鉸鏈支座支承的，不過梁的一端或兩端是外伸的。 梁的基本類型2.

16、5.2 梁類零件彎曲時的內(nèi)力與應力1彎曲時的內(nèi)力我們以吊車橫梁為例分析梁彎曲時的內(nèi)力如下圖(a)所示。見下圖(b)梁的約束可看作一端是固定鉸鏈支座，另一端是活動鉸鏈支座。如梁的跨度為l= 5 m，負荷為P = 9800 N，距梁左端支承點A的距離為a = 3 m。畫出支反力后，得到吊車橫梁如下面圖(c)表示的計算簡圖。吊車橫梁計算簡圖首先根據(jù)平衡方程式求出支反力。由， 知；由， 知； 得由， 知； 得將P，a，l的數(shù)值代入后解得RA = 3920 N；RB = 5880 N。然后運用截面法，求梁任意橫截面上的內(nèi)力。如果求距左端支撐點A的距離為x(x<a)處的內(nèi)力，則在該處假想用截面m-m

17、將梁垂直于軸線截面一分為二（見下圖），取左段為分離體。根據(jù)平衡條件，由，知橫截面上沒有垂直于橫截面的軸力；由，知橫截面上有與RA大小相等、方向相反的內(nèi)力Q，這個力平行于截面，其作用是使梁各截面相互滑移，故其性質為剪力。由，知橫截面上存在以截面形心為矩心的力矩M = RAx，方向是順時針。要平衡這個力矩，則在橫截面上必有與上述力矩大小相等、方向相反即逆時針方向的力偶矩存在。這個力偶矩就是存在于梁內(nèi)部使之產(chǎn)生彎曲的內(nèi)力，稱為彎矩。為了便于分析彎矩的變化規(guī)律，規(guī)定凡外力使梁凸向下的彎矩為正；反之，為負（見下圖）。 吊車橫梁內(nèi)力分析 彎矩的正負號一般來說，梁不同橫截面上的內(nèi)力是不相等的。假如材料質地均

18、勻，而且是等截面的，梁的破壞將發(fā)生在內(nèi)力最大的截面上，此截面稱為危險截面。危險截面是根據(jù)彎矩在不同截面上的變化規(guī)律來確定的。根據(jù)前面的敘述可知，截面上彎矩的大小，等于截面一側所有外力以該截面形心為矩心的力矩的代數(shù)和，這樣就可以直接寫出任意截面的彎矩方程。OC段的彎矩方程為CB段的彎矩方程為由以上兩式可知，彎矩M是截面位置x的一次函數(shù)。故在集中力作用下彎矩M呈直線變化。根據(jù)彎矩方程畫出的圖形稱為彎矩圖。對于彎矩方程M = RAx當x = 0時，M = 0當x= 3 m時，對于彎矩方程當x = 3 m時，當x = l = 5 m時，取xOM坐標系，在x軸上的O，C，B點分別沿M軸方向量取上述求得的

19、M值，得O，D，B點。將各頂點連以直線，即得到彎矩圖。從上述彎矩圖中看出，兩端支承處彎矩為零，集中負荷作用處彎矩最大，且彎矩圖有轉折。由于桿件是等截面的，所以在集中負荷作用處的橫截面，即為危險截面，其最大彎矩Mmax= 11 760 ()。2彎曲時的應力取一矩形截面純彎曲梁段進行研究。加載前，在梁表面畫上縱橫直線，如圖2-25(a)所示。梁受彎變形后，可觀察到如下現(xiàn)象: 橫向直線變形后仍為直線，只是各橫向線間存在相對轉動，但仍與變形后的縱向線正交。 縱向線都變?yōu)榛【€，位于中間位置的縱向線長度不變，靠底面的縱向線伸長，而靠頂面的縱向線卻縮短。根據(jù)上述現(xiàn)象，可作出如下假設: 平面假設:梁變形后的橫

20、截面仍保持平面，且與變形后的梁軸線正交。 縱向纖維無擠壓假設:縱向纖維的變形只是簡單的拉伸或壓縮變形。根據(jù)平面假設，純彎曲梁段變形后各橫截面仍與各縱向線正交，即梁的縱向、橫向截面上無切應變，故也無切應力。彎曲后，存在縱向纖維的伸長區(qū)和縮短區(qū)，由于變形的連續(xù)性，從伸長區(qū)到縮短區(qū)，中間必有一層纖維既不伸長也不縮短，這層纖維稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸?？傊?，梁在純彎曲時各橫截面仍保持為平面并繞中性軸作相對轉動，各縱向纖維處于拉壓受力狀態(tài)。在梁上取出兩個橫截面m-m和n-n之間的微段，設其彎曲長度為dx，彎曲后狀態(tài)如圖下圖所示。以截面對稱軸為y軸，以中性軸為z軸?，F(xiàn)在先求距中性軸高度為

21、y處某點K的縱向線應變。設該微段中性層纖維彎曲后的曲率半徑為，微段兩端截面相對轉角為，則K點所在縱向纖維彎曲后的長度為變形前的長度為dx，由于中性層上的纖維彎曲變形后無變化，則 根據(jù)單向受力狀態(tài)的胡克定律，當應力不超過材料的比例極限時，橫截面上距中性軸y處的正應力 彎曲的微小段那么我們可以知道:橫截面上任一點的正應力與該點到中性軸的距離y成正比。由于中性軸的位置及中性層的曲率半徑尚待確定，上式仍不能計算正應力的大小，還要用梁段的靜力學關系才能解決。在下圖所示梁段的左側橫截面坐標為（y,z）處取一微面積dA，其上只有正應力，則橫截面上法向內(nèi)力元素構成了空間平衡力系，因此，只可能組成三個內(nèi)力分量，左側橫截面由于研究的是純彎曲狀態(tài)，故由靜力學關系可知軸力N和彎矩My均為零，在橫截面上只有Mz存在。于是 于是得 要滿足上式，由于不等于零，故必有。由截面的幾何性質可知，當z軸