數(shù)值計(jì)算法方法實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書

1、數(shù)值計(jì)算法方法實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書實(shí)驗(yàn)一 插值法3實(shí)驗(yàn)二 曲線擬合的最小二乘法6實(shí)驗(yàn)三 矩陣的特征值和特征向量9實(shí)驗(yàn)四 數(shù)值積分12實(shí)驗(yàn)一 插值法一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握拉格朗日插值、牛頓插值、分段低次插值和樣條插值的方法。2對(duì)四種插值結(jié)果進(jìn)行初步分析。二、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容插值問題的提法是： 給定函數(shù)在中互異個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值或求函數(shù)使其在處與相等。稱為的插值函數(shù)，為插值區(qū)間，為插直節(jié)點(diǎn)，為被插函數(shù)。1 拉格朗日插值插值基函數(shù)：為次多項(xiàng)式插值基函數(shù)的性質(zhì)：（1） （2）（2）為插值節(jié)點(diǎn)唯一確定的次多項(xiàng)式。（3）拉格朗日插值所包含基函數(shù)個(gè)數(shù)與插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。 2 牛頓插值線性插值可用插商形式表示為由差商的定義知 將上式

2、依次代入得： 取 所以 且 3 分段低次插值給定函數(shù)在中互異個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，若要求的近似函數(shù)，可求一分段函數(shù)，使其在每一小區(qū)間上為線性插值函數(shù)，即 稱為分段線性插值，即用折線代替曲線。4 樣條插值區(qū)間的一個(gè)劃分 上函數(shù)滿足：（1）在為次多項(xiàng)式。（2）及其階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間連續(xù)，則為區(qū)間上對(duì)應(yīng)于劃分的次多項(xiàng)式樣條，為樣條節(jié)點(diǎn)，為內(nèi)點(diǎn)，稱為外點(diǎn)。三、實(shí)驗(yàn)任務(wù)1 已知函數(shù)滿足： 0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5 0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206（1） 用分段線性插值；（2） 分段二次插值；（3） 拉格朗日插值。2 已知 x

3、2 4 6 8 y 1 3 5 7 構(gòu)造差商表，求牛頓差值函數(shù)。四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告 實(shí)驗(yàn)報(bào)告應(yīng)包括以下內(nèi)容： （1）題目；（2）寫出算法設(shè)計(jì)思想； （3）程序清單；（4）運(yùn)行的結(jié)果；（5）所得圖形；（6）四種插值的比較；（7）對(duì)運(yùn)行情況所作的分析以及本次調(diào)試程序所取的經(jīng)驗(yàn)。如果程序未通過，應(yīng)分析其原因。實(shí)驗(yàn)二 曲線擬合的最小二乘法一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?了解最小二乘法的定義。2掌握求解最小二乘法的方法。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1多項(xiàng)式擬合 設(shè)已知點(diǎn) 。求次多項(xiàng)式來擬合函數(shù) 設(shè)，求使 最小 所以 即 得線性方程組： 2指數(shù)擬合對(duì)已知點(diǎn)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)，若近似于一條指數(shù)曲線，則考慮用指數(shù)函數(shù)來擬合數(shù)據(jù)，即求使 最小，由于是非線

4、性方程，求解復(fù)雜。 又因?yàn)?所以為直線可用一次多項(xiàng)式擬合求出。 3線性最小二乘法的一般形式 設(shè)已知點(diǎn)。取線性無關(guān)基函數(shù) 構(gòu)造 使 為加權(quán)系數(shù) 求駐點(diǎn) 即 令 三、實(shí)驗(yàn)任務(wù)1試用最小二乘法求形如的多項(xiàng)式，使以下列數(shù)據(jù)擬合 x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.4 49.1 73.3 97.52用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使其與數(shù)據(jù) x 1 2 3 4 y 2.5 3.4 4.1 4.4 相擬合。（計(jì)算取4位小數(shù)）。四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告 實(shí)驗(yàn)報(bào)告應(yīng)包括以下內(nèi)容： （1）題目；（2）寫出算法設(shè)計(jì)思想； （3）程序清單；（4）運(yùn)行的結(jié)果；（5）所得圖形；（6）對(duì)運(yùn)行情況所作的分析以及本次調(diào)試

5、程序所取的經(jīng)驗(yàn)。如果程序未通過，應(yīng)分析其原因。實(shí)驗(yàn)三 矩陣的特征值和特征向量一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握乘冪法、反冪法、雅可比方法和QR方法。2分析、比較四中求解矩陣特征值和特征向量的方法。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1乘冪法 設(shè)階實(shí)矩陣有完備的特征向量系，既有個(gè)線性無關(guān)的特征向量。設(shè)是矩陣的個(gè)線性無關(guān)的特征向量，且，其中是的特征值。假設(shè)，先討論是實(shí)數(shù)且是單根的情形，此時(shí)有。設(shè)是任意的一個(gè)非零向量，則可以唯一地表示為： 令 則有 ， 設(shè)，由于得 ， 于是 所以只要充分大，就有 因此可以將作為與相應(yīng)的特征向量的近似。由于 所以，其中表示的第個(gè)分量。 用這種方法計(jì)算矩陣的按模最大的特征值與相應(yīng)的特征向量的方法就是乘冪法。2

6、反冪法 設(shè)有階非奇異矩陣，其特征值與相應(yīng)的特征向量分別是和，由定義。因?yàn)榭赡?，特征值軍部為令，所以：。這說明一定是的特征值，它所對(duì)應(yīng)的特征向量仍是。如果的特征值為如下情況： 則一定是的主特征值。所以，對(duì)采用乘冪法即可求得，從而得到按模最小的特征值，具體計(jì)算步驟為： 第一步：任?。?第二步：計(jì)算；第三步：如果從某時(shí)以后有（常數(shù)）；而就是與對(duì)應(yīng)的特征向量。 由于這里采用的是對(duì)采用乘冪法，故稱為反冪法。3 雅可比方法雅可比方法的基本思想是通過一次正交變幻，將中一對(duì)非零的對(duì)角元素化成零，并且使得非對(duì)角元素的平房和減小。反復(fù)進(jìn)行上述過程，使得變換后的矩陣的非對(duì)角元素的平方和趨于零，從而使該矩陣近似為對(duì)角

7、矩陣，得到全部的特征值和特征向量。4 QR方法 因?yàn)槿我环瞧娈惥仃嚩伎梢苑纸獬梢粋€(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積，而且當(dāng)R的對(duì)角元符號(hào)取定時(shí)，分解是唯一的?；綫R方法的基本思想是利用矩陣的QR分解，通過迭代格式 將化成相似的上三角陣（或分塊上三角矩陣），從而求出矩陣的全部特征值和特征向量。三、實(shí)驗(yàn)任務(wù) 1用乘冪法求矩陣 的按模最大的特征值及相應(yīng)的特征向量，取，要求至少迭代6次。 2用反冪法計(jì)算矩陣 相應(yīng)于特征值1.2679的特征向量。四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告 實(shí)驗(yàn)報(bào)告應(yīng)包括以下內(nèi)容： （1）題目；（2）寫出算法設(shè)計(jì)思想； （3）程序清單；（4）運(yùn)行的結(jié)果；（5）所得圖形；（6）對(duì)運(yùn)行情況所作的分析以

8、及本次調(diào)試程序所取的經(jīng)驗(yàn)。如果程序未通過，應(yīng)分析其原因。實(shí)驗(yàn)四 數(shù)值積分一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1掌握幾種數(shù)值積分方法。 2掌握幾種數(shù)值求導(dǎo)方法。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1 牛頓-科特斯求積公式在區(qū)間上取個(gè)等距節(jié)點(diǎn) ，其中，做次拉格朗日插值多項(xiàng)式，因?yàn)樗?記 截去第二項(xiàng) 顯然與無關(guān)，只與節(jié)點(diǎn)有關(guān)。令，則當(dāng)時(shí)，于是而 從而得 記 則 故求積公式為 上式稱為牛頓-科特斯公式，稱為科特斯系數(shù)。2 復(fù)化求積公式（1） 復(fù)化梯形公式將區(qū)間等分成個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上用梯形公式 相加后得復(fù)化梯形公式 其中。右端記為。當(dāng)時(shí)， 即收斂于。（2） 復(fù)化辛浦生公式將區(qū)間等分成個(gè)子區(qū)間，每個(gè)子區(qū)間的中點(diǎn)為，子區(qū)間長(zhǎng)度為，在每個(gè)區(qū)間上用辛浦生公式 相加后得復(fù)化辛浦生公式 其中。（3） 復(fù)化柯特斯求積公式 其中，。3 龍貝格求積算法將式 用與作線性組合會(huì)得到比更精確的值，且通過直接驗(yàn)證可得 再由式 用與作線性組合，又會(huì)得到比更精確的值，通常記為，即 上式稱為龍貝格求積公式。4 高斯型求積公式把具有個(gè)節(jié)點(diǎn)的具有次代數(shù)精度的插值型求積公式 稱為高斯型求積公式，節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)，稱為高斯系數(shù)。三、實(shí)驗(yàn)任務(wù)1 用梯形公式和辛浦生公式計(jì)算積分，并估計(jì)誤差。（計(jì)算取5位小數(shù)