一元二次方程韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)答案

1、韋達(dá)定理與根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題一、填空題1、關(guān)于的方程，當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)正數(shù)根；當(dāng) 時(shí)，方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根；當(dāng) 時(shí)，方程有一個(gè)根為0。2、已知一元二次方程的兩根為、，則 3、如果，是方程的兩個(gè)根，那么 4、已知，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)5、設(shè)、是方程的兩個(gè)根，則 6、若方程的兩根為，則 7、已知、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則 8、已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為和，且，則 ， 。9、若方程的兩根之比是2：3，則 10、如果關(guān)于的方程的兩根差為2，那么 。11、已知方程兩根的絕對(duì)值相等，則 。12、已知方程的兩根互為相反數(shù)，則 。13、已知關(guān)于的一元二次方程兩根互為倒數(shù)，則 。14

2、、已知關(guān)于的一元二次方程。若方程的兩根互為倒數(shù)，則 ；若方程兩根之和與兩根積互為相反數(shù)，則 。15、一元二次方程的兩根為 0 和 1，則 。16、已知方程，要使方程兩根的平方和為，那么常數(shù)項(xiàng)應(yīng)改為 。17、已知方程的一個(gè)根比另一個(gè)根小4，則 ； ； 。18、已知關(guān)于的方程的兩根立方和為 0，則 19、已知關(guān)于的方程的兩根為、，且，則 。20、若方程與有一個(gè)根相同，則 。21、一元二次方程的兩根與的兩根之間的關(guān)系是 。22、請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1，兩實(shí)根之和為3的一元二次方程： 23、已知一元二次方程的兩根之和為 5，兩根之積為 6，則這個(gè)方程為 。24、若為實(shí)數(shù)且，則以為根的一元二次方程為

3、。(其中二次項(xiàng)系數(shù)為1)25、求作一個(gè)方程，使它的兩根分別是方程兩根的二倍，則所求的方程為 。二、解答題 1、已知m，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。2、設(shè)、是方程的兩個(gè)根，求 的值。3、已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且（1）求、及的值； （2）求的值4、已知、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求和的值。5、已知，且，求的值。6、設(shè)：，且，求的值。7、已知：是關(guān)于的二次方程：的兩個(gè)不等實(shí)根。(1)若為正整數(shù)時(shí)，求此方程兩個(gè)實(shí)根的平方和的值；(2)若時(shí)，求的值。8、已知關(guān)于的二次方程的一個(gè)根是，求另一個(gè)根及的值9、已知方程的一根是5，求方程的另一根及的值。10、已知是的一根，求另一根和的值。11、

4、(1)方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是 。 (2)若關(guān)于的方程的兩個(gè)根中只有一個(gè)根為0，那么應(yīng)滿足 。12、如果是方程的一個(gè)根，則 ，另一個(gè)根為 。13、已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及的值。14、已知關(guān)于的方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及的值。15、在解方程時(shí)，小張看錯(cuò)了，解得方程的根為1與3；小王看錯(cuò)了，解得方程的根為4與2。這個(gè)方程的根應(yīng)該是什么?16、已知一元二次方程。(1)為何值時(shí)，方程的一個(gè)根為零?(2)為何值時(shí) ，方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)?(3)證明：不存在實(shí)數(shù)，使方程的兩個(gè)相互為倒數(shù)。17、方程中的是什么數(shù)值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足：(1)一個(gè)根比另一個(gè)根大2；(2)一

5、個(gè)根是另一個(gè)根的3倍；(3)兩根差的平方是17。18、已知一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值：(1)兩根互為倒數(shù)；(2)兩根互為相反數(shù)；(3)有一根為零；(4)有一根為1；20、已知關(guān)于的一元二次方程的兩根之差為11，求的值。21、已知關(guān)于的二次方程有實(shí)數(shù)根，且兩根之積等于兩根之和的2倍，求的值。22、已知方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，兩根之差等于3，兩根的平方和等于29，求的值。23、已知關(guān)于的方程的兩根滿足關(guān)系式，求的值及兩個(gè)根。24、已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于6，求的值25、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，求實(shí)數(shù)的值26、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，并且滿足，求的值。

6、 27、已知：是關(guān)于的方程的兩根，求的值。28、已知關(guān)于的方程，問(wèn)：是否存在正實(shí)數(shù),使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于56，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.29、關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)根之和等于兩個(gè)實(shí)根的倒數(shù)和，求的值。 30、已知關(guān)于的一元二次方程()的兩根之比為，求證：。31、已知方程和有一個(gè)相同的根，求的值及這個(gè)相同的根。32、已知關(guān)于的一元二次方程的兩根為，且兩個(gè)關(guān)于的方程與有唯一的公共根，求的關(guān)系式。33、已知、是關(guān)于的方程的兩根、是關(guān)于的方程的兩根，求常數(shù)的值。 34、已知方程的兩實(shí)根是和，方程的兩實(shí)根是和， 求和的值。35、已知，為實(shí)數(shù)，且.求下列各式的值：(1)； (2)

7、。36、已知、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且,，求、的值。37、關(guān)于的方程有兩個(gè)乘積為1的實(shí)根，有大于0且小于2的根，求的整數(shù)值。38、已知關(guān)于的方程兩根相等，方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍。求證：方程一定有實(shí)數(shù)根。39、已知關(guān)于的一元二次方程(1)求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程兩根為、，且滿足，求的值40、關(guān)于的方程，其中、分別是一個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)。(1)求證：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(2)若方程兩實(shí)根之差的絕對(duì)值是8，等腰三角形的面積是12，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)。41、已知關(guān)于的方程。(1)證明：不論取何值，這個(gè)方程總有兩

8、個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)為何值時(shí)，方程的兩根之差的平方等于16?42、已知方程的兩根之比為，方程的兩根相等()。求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程恒有實(shí)數(shù)根。43、如果關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么的最小值是多少? 44、已知方程的兩根為、，且，又知根的判別式，求的值。45、求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是和。46、已知方程，不解方程，求作一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程的兩個(gè)根的負(fù)倒數(shù)。47、已知方程的兩個(gè)根分別為、，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一個(gè)一元二次方程 ，使它的兩個(gè)根分別是： (1)、 (2)、48、已知兩數(shù)之和為7，兩數(shù)之積為12，求這兩個(gè)數(shù)。49、已知兩數(shù)的和等于6，這

9、兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。50、一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)的和為6cm，面積為，求這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng) 。51、已知關(guān)于的方程的兩個(gè)根是斜邊長(zhǎng)為5的直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)，求這個(gè)直角三角形的面積。52、試確定使的根同時(shí)為整數(shù)的整數(shù)的值。53、已知一元二次方程，且是腰長(zhǎng)為 7 的等腰三角形的底邊長(zhǎng)，求：當(dāng)取何整數(shù)時(shí)，方程有兩個(gè)整數(shù)根。54、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根和()，在數(shù)軸上，表示的點(diǎn)在表示的點(diǎn)的右邊，且相距，求的值。答案一、填空題1、 ; ; 2、 63、 104、 105、 -16、 -2 ; -87、 38、 89、 010、 011、 ()12、 -1 () ; ()

10、13、 114、 -215、 -4; 0; 016、 317、 3或018、 互為倒數(shù)二、解答題1、 原式2、3、（1） 解之 （2） ；原式4、， 解之或() 5、6、7、，且 （1）時(shí)，； 時(shí)，； （2），即 ，化簡(jiǎn)得，解得8、 （1）； （2）；9、 1 10、 所以原方程為，解得16、（1）方程的一個(gè)根為0，即，此時(shí)；（2）方程的兩根互為相反數(shù)，即，此時(shí)；（3）方程的兩根互為倒數(shù)，即，此時(shí)，原方程為，（）17、 （1） ； （2） ； （3）18、（1）方程的兩根互為倒數(shù)，即，此時(shí)，（2）方程的兩根互為相反數(shù)，即，此時(shí)；（3）方程的一個(gè)根為0，即，此時(shí)；（4）方程的一個(gè)根為1，此時(shí)；解

11、得；19、20、 ，解之21、，由題意可得 即，解得或（舍）22、不相等的兩正根，則 ，由題意解得23、即當(dāng)時(shí)，解得;當(dāng)時(shí)，解得24、 ，化簡(jiǎn)得，所以或（舍）25、 ， ，解得或（舍）26、 ， 解得或（舍）27、 ，則有、 原式28、 ，化簡(jiǎn)得，或（舍）29、 即當(dāng)時(shí)，解得（舍）;當(dāng)時(shí)，解得（舍）;綜上所述，30、 不妨設(shè)，則有， 得， 即31、 方法一：-得：，即 代入中得：，解得、當(dāng)時(shí)，方程的解為; 方程的解為，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程的解為; 方程的解為，符合題意；綜上所述，當(dāng)時(shí)相同根為； 當(dāng)時(shí)相同根為；方法二：-得：，即 代入中得：，化簡(jiǎn)為，解得 或 當(dāng)時(shí)由，相同根為； 當(dāng)時(shí)相同根為；3

12、2、-得：，由題意得，所以 代入中化簡(jiǎn)得：，即， 33、34、35、，兩邊同除得，所以是同一方程的兩根。 、 （1）； （2）36、因?yàn)?、，兩式相加得：即，整理得，解得（舍?7、方程有兩個(gè)乘積為1的實(shí)根，解得（舍）當(dāng)時(shí)，方程化為即解得（不符合題意，舍去）所以，解得； 又是整數(shù)，38、方程有兩根相等，方程中不妨設(shè)，則有， 得，即綜上，；此時(shí)原方程化為，所以該方程一定有實(shí)數(shù)根。39、（1），所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2），解得40、（1），所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2），解得，所以三角形周長(zhǎng)41、（1），所以該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； （2），解得42、方程不妨設(shè)，則有， 得，即方程中有兩根相等，即綜上，；此時(shí)原方程化為，所以該方程一定有實(shí)數(shù)根。43、，即原式當(dāng)時(shí)，原式最小，為236-541844、因?yàn)?，即，代入原方程又因?yàn)?，即綜上，45、，所求方程為（答案不唯一）46、，則有，所求方程為（答案不唯一）47、（1）（答案不唯