-第35講一階微分方程ppt課件

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程第七章 常微分方程本章學習要求：n了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念.n了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方 n 程、一階線性方程、伯努利Bernoulli方程和全微分n 方程.熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法.n會利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程.n知道下列高階方程的降階法： . )()(xfyn ),(yxfy ),(yyfy n了解高階線性微分方程階的結構，并知道高階常系數(shù)齊線n 性微分方程的解法.n熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法.n掌握自由項右端為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余n 弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階

2、常系數(shù)非齊線性微分方n 程的解法.第二節(jié)第二節(jié) 一階微分方程一階微分方程 )()(ddygxfxy變量可分離方程變量可分離方程 xyfxydd齊次方程齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程0)(ddyxpxy一階線性齊方程一階線性齊方程)()(ddxqyxpxy一階線性非齊方程一階線性非齊方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程 )()(ddygxfxy變量可分離方程變量可分離方程 xyfxydd齊次方程齊次方程0)(ddyxpxy一階線性齊方程一階線性齊方程)()(ddxqyxpxy一階線性非齊方程一階線性非齊方程nyxqyx

3、pxy)()(dd伯努利方程伯努利方程 )()(ddygxfxy變量可分離方程變量可分離方程 222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程一、變量可分離方程一、變量可分離方程如果一階微分方程可以化為下列形式：如果一階微分方程可以化為下列形式：xxfyygd)(d)(則稱原方程為變量可分離的方程。則稱原方程為變量可分離的方程。運用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：運用積分方法即可求得變量可分離方程的通解：xxfyygd)(d)(其中其中C 為積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)。為積分后出現(xiàn)的任意常數(shù)。 ),( 。就就是是原原方方程程的的通通解解積積分分的的結結果果Cx

4、yy 將一個方程化為變量分離方程并求出其通解的過程，將一個方程化為變量分離方程并求出其通解的過程，稱為分離變量法。稱為分離變量法。 例解解 ),( 11 002的特解。的特解。的通解，并指出過點的通解，并指出過點求方程求方程yxxy原方程即原方程即 ,1dd2xxy對上式兩邊積分，得原方程的通解對上式兩邊積分，得原方程的通解Cxy arctan )(。x，故故時時，當當00 yyxx arctan00，xyC的特解為的特解為從而，過點從而，過點 ),( 00yx arctanarctan00。xxyy 例解解 ) 1(21dd 2。求解微分方程求解微分方程yxy 01 2分離的方程分離的方程時

5、，該方程可化為變量時，該方程可化為變量當當y d1d22，xyy對上式兩邊積分，得原方程的通解對上式兩邊積分，得原方程的通解 11ln1。Cxyy經(jīng)初等運算可得到原方程的通解為經(jīng)初等運算可得到原方程的通解為 11。xxCeCey)(1CeC 1 01 2，代入原方程可知：，代入原方程可知：，得出，得出令令yy 1 也是原方程的解。也是原方程的解。y 1 0 1 ，所以，所以，對應于對應于；對應于對應于由于由于CyCy原方程的解為原方程的解為 11，xxCeCey ) (。為任意常數(shù)為任意常數(shù)C 例解解 0d) 1(d)1 ( 2的的通通解解。求求方方程程yxyxy，得，得方程兩邊同除以方程兩邊

6、同除以 )1)(1( 2yx 01d1d2。yyxx兩邊同時積分，得兩邊同時積分，得 |ln |1 |ln21| 1|ln2，Cyx |1 | 1| 2。即即Cyx故所求通解為故所求通解為 11 2。yCx 因為只因為只求通解，所求通解，所以不必再討以不必再討論了。論了。 例解解 2dd 。的所有解的所有解求方程求方程yxy原方程即原方程即。 )0( d2dyxyy兩邊積分，得兩邊積分，得 ，Cxy故通解為故通解為 )(2。Cxy 0 被被包包含含在在通通解解內(nèi)內(nèi)。也也是是方方程程的的解解，但但它它不不易易驗驗證證y 0 看，方程的奇解是積分看，方程的奇解是積分為方程的奇解，幾何上為方程的奇解

7、，幾何上此時稱此時稱y曲線族的包絡。曲線族的包絡。 工程技術中工程技術中解決某些問題時，解決某些問題時，需要用到方程的需要用到方程的奇解。奇解。二、齊次方程二、齊次方程xyfxydd齊次方程齊次方程 d)(dxxuufu變量分離方程變量分離方程 uxy xuuxyddd)(ddufuxux代入原方程，得代入原方程，得 例解解 tandd 的的通通解解。求求方方程程xyxyxy dddd ，則則令令xuxuxyxyu于是，原方程化為于是，原方程化為 dtand，xxuu兩邊積分，得兩邊積分，得 dtand，xxuu |ln |ln |sin|ln，Cxu即即 sin，Cxu sin 。故故原原方

8、方程程的的通通解解為為Cxxyxuuxyddduxuxxyddddxxxxsincoscottan1三、可化為齊次方程的方程三、可化為齊次方程的方程XYXYdd齊次方程齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程0111cybxa0222cybxa ，yx ，令令yYxX d)(dXXZZfZ變量分離方程變量分離方程 ZXY 三、可化為齊次方程的方程三、可化為齊次方程的方程XYXYdd齊次方程齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程 d)(dXXZZfZ變量分離方程變量分離方程 例解解 0d)823

9、(d)732( 2222的的通通解解。求求yyyxxxyx d2d d2d 22，則則，令令yyvxxuyvxu于是，原方程變?yōu)橛谑牵匠套優(yōu)?732823dd，vuvuvu聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組0823 vu0732 vu解之，得解之，得 1 2。，vu 12 ，則則有有，令令vXuY 3223dd，XYXYXY ddd ，于于是是得得到到，則則令令XZZXYXYZ d2d1322，XXZZZ兩邊積分，得兩邊積分，得 |ln|ln2 | 1|ln21| 1|ln25，CXZZ即即 1) 1(25。CZXZ的的通通解解為為，代代入入上上式式，得得原原方方程程由由 1212 22yxvuXYZ

10、3) 1(22522。Cyxyx你由這個例題的解題過程想到什么了？你由這個例題的解題過程想到什么了？222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程 021時時， ccxyxybaxybafybxaybxafxy22112211dd 2121時時，kbbaa21222122)()(ddcuckufcybxacybxakfxy )()(ddygxfxy變量可分離方程變量可分離方程 xyfxydd齊次方程齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程0)(ddyxpxy一階齊線性方程一階齊線性方程)()(ddxqyxpx

11、y一階非齊線性方程一階非齊線性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程四、一階線性微分方程四、一階線性微分方程形如形如)()(xqyxpy的方程稱為一階線性微分方程。的方程稱為一階線性微分方程。 0)( 時，時，當當xq方程稱為一階齊線性方程。方程稱為一階齊線性方程。方程稱為一階非齊線性方程。方程稱為一階非齊線性方程。 0)( 時，時，當當xq習慣上，稱習慣上，稱0)(yxpy為方程為方程)()(xqyxpy所對應的齊方程。所對應的齊方程。時時，方方程程有有唯唯一一解解。、一一般般說說來來，當當函函數(shù)數(shù) )()( Cxqxp 0)( 。是一個變量可分離方程方程yxpy一階齊線性方

12、程的解一階齊線性方程的解運用分離變量法，得 d)(d，xxpyy )0(，y兩邊積分，得 d)( |ln1，Cxxpy故 d)(1。xxpCeey 1的通解為，得一階齊線性方程記CeC d)(。xxpCey 0 對應于對應于y 0。C表示一個表示一個原函數(shù)原函數(shù)，則一階齊線性方程若Cxp)( 0)(yxpy的解存在，且唯一，其通解為。xxpCeyd)( 例解解 02 的通解。的通解。求求xyy ) ,()( 2)(，Cxpxxp故該一階齊線性方程的通解為故該一階齊線性方程的通解為 2d)2(d)(。xxxxxpCeCeCey 例解解 2 0sin 2。，求解初值問題：求解初值問題：xyxyy先

13、求此一階齊線性方程的通解：先求此一階齊線性方程的通解： ) ,(sin)(，Cxxp cosdsin。xxxCeCey 2 2代代入入通通解解中中，得得將將xy) 2 (2cosCe因因為為 2，C故該初值問題的解為故該初值問題的解為 2cos。xey )()(ddygxfxy變量可分離方程變量可分離方程 xyfxydd齊次方程齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程0)(ddyxpxy一階齊線性方程一階齊線性方程)()(ddxqyxpxy一階非齊線性方程一階非齊線性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程一階非齊線性方程的解一階

14、非齊線性方程的解比較兩個方程：比較兩個方程： )()(。xqyxpy 0)(，yxpy我想：它們的解的形式應該差不多。但差了一點我想：它們的解的形式應該差不多。但差了一點 什么東西呢？什么東西呢？xxpCeyd)(xxpexCyd)()()()(xqyxpy )( )( d)(可可微微，則則，且且待待定定函函數(shù)數(shù)令令xCexCyxxp )()()()(d)(d)(d)(，xxpxxpxxpexCxpexCexCy怎么辦？怎么辦？ 得得的表達式代入方程中，的表達式代入方程中，及及將將yy )()()()()()(d)(d)(d)(，xqxpexCexCxpexCxxpxxpxxp故故 )()(d

15、)(，xqexCxxp即即 )()(d)(，xxpexqxC上式兩邊積分，求出待定函數(shù)CxexqxCxxpd)()(d)( ) (。為任意常數(shù)C )( d)(方程的通解為中，得一階非齊線性代入xxpexCy ) d)( (d)(d)(。Cxexqeyxxpxxp 以上的推導過程稱為以上的推導過程稱為“常數(shù)變易法常數(shù)變易法”。這種方。這種方法經(jīng)常用來由齊次問題推出相應的非齊次問題、由法經(jīng)常用來由齊次問題推出相應的非齊次問題、由線性問題推出相應的非線性問題。線性問題推出相應的非線性問題。0)(yxpyxxpCeyd)() d)( (d)(d)(Cxexqeyxxpxxp)()(xqyxpy 例解解

16、 cos2 2的的通通解解。求求方方程程xexyyx cos)( 2)( 2，因為因為xexqxxpx所以，方程的通解為所以，方程的通解為) dcos (d)2(d)2(2Cxxeeeyxxxxx) Cd cos (222xexeexxx) Cdcos (2xxex ) sin (2。Cxex 例解解 dd 3的通解。的通解。求方程求方程yxyxy不是線性方程不是線性方程原方程可以改寫為原方程可以改寫為 1dd2，yxyyx這是一個以這是一個以 y 為自變量的一階非齊線性方程，其中為自變量的一階非齊線性方程，其中 )( 1)(2，yyqyyp故原方程的通解為故原方程的通解為) d (d)1(2

17、d)1(Cyeyexyyyy 213。Cyy )()(ddygxfxy變量可分離方程變量可分離方程 xyfxydd齊次方程齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程0)(ddyxpxy一階齊線性方程一階齊線性方程)()(ddxqyxpxy一階非齊線性方程一階非齊線性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程五、伯努利方程五、伯努利方程形如形如) 1 , 0 ( )()(nyxqyxpyn的方程稱為伯努利方程。的方程稱為伯努利方程。 dd)1 (dd 1，則則令令xyynxuyunn代入伯努利方程后，可將其化為一階線性微分方程代入伯努利

18、方程后，可將其化為一階線性微分方程)()()1 (ddxquxpnxu于是，原方程的通解為于是，原方程的通解為 ) )()1 ( (d)()1(d)()1(。Cexqneuxxpnxxpnny1 例解解 0 0 4 。，的通解，其中的通解，其中求方程求方程xyyxyxy )( 4)( 21 的的伯伯努努利利方方程程。，這這是是xxqxxpn 211，則則原原方方程程可可化化為為令令yyu 22dd，xuxxu故故) d 2 (d)2(d)2(Cxexeuxxxx |ln212，Cxx從而，原方程的通解為從而，原方程的通解為 |ln2124。Cxxy 0原方程的奇解。原方程的奇解。為為易驗證：易驗證： y )()(ddygxfxy變量可分離方程變量可分離方程 xyfxydd齊次方程齊次方程222111ddcybxacybxafxy可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程0)(ddyxpxy一階齊線性方程一階齊線性方程)()(ddxqyxpxy一階非齊線性方程一階非齊線性方程nyxqyxpxy)()(dd伯努利方程伯努利方程 )()(ddygxfxy變量可分離方程變量可分離方程 xyfxydd齊次方程