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1、求函數(shù)值域的12種方法函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要的基本概念之一,它與代數(shù)式、方程、不等式、三角函數(shù)、微積分等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系,應(yīng)用十分廣泛。函數(shù)的基礎(chǔ)性強(qiáng)、概念多,其中函數(shù)的定義域、值域、奇偶性等是難點(diǎn)之一,是高考的常見(jiàn)的題型。下面就函數(shù)的值域的求法,舉例說(shuō)如下。一觀察法 通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y=3+(23x)的值域。點(diǎn)撥:根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì),先求出(23x)的值域。解:由算術(shù)平方根的性質(zhì),知(23x)0,故3+(23x)3。函數(shù)的知域?yàn)?點(diǎn)評(píng):算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性,即:(1)被開方數(shù)的非負(fù)性,(2)值的非負(fù)性。本題通過(guò)直接觀察算術(shù)平方根
2、的性質(zhì)而獲解,這種方法對(duì)于一類函數(shù)的值域的求法,簡(jiǎn)捷明了,不失為一種巧法。練習(xí):求函數(shù)y=x(0x5)的值域。(答案:值域?yàn)椋?,1,2,3,4,5)二反函數(shù)法 當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí),則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。點(diǎn)撥:先求出原函數(shù)的反函數(shù),再求出其定義域。解:顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為:x=(12y)/(y1),其定義域?yàn)閥1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)閥y1,yR。點(diǎn)評(píng):利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想,是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。練習(xí):求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x
3、10-x)的值域。(答案:函數(shù)的值域?yàn)閥y<1或y>1)三配方法 當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí),可以利用配方法求函數(shù)值域例3:求函數(shù)y=(x2+x+2)的值域。點(diǎn)撥:將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù),利用二次函數(shù)的最值求。解:由x2+x+20,可知函數(shù)的定義域?yàn)閤1,2。此時(shí)x2+x+2=(x1/2)29/40,9/40x2+x+23/2,函數(shù)的值域是0,3/2點(diǎn)評(píng):求函數(shù)的值域不但要重視對(duì)應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。練習(xí):求函數(shù)y=2x5154x的值域.(答案:值域?yàn)閥y3)四判別式法 若可化為關(guān)于某變量的二
4、次方程的分式函數(shù)或無(wú)理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。例4求函數(shù)y=(2x22x+3)/(x2x+1)的值域。點(diǎn)撥:將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程,應(yīng)用二次方程根的判別式,從而確定出原函數(shù)的值域。解:將上式化為(y2)x2(y2)x+(y-3)=0()當(dāng)y2時(shí),由=(y2)24(y2)x+(y3)0,解得:2x10/3當(dāng)y=2時(shí),方程()無(wú)解。函數(shù)的值域?yàn)?y10/3。點(diǎn)評(píng):把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)=0,由于方程有實(shí)數(shù)解,故其判別式為非負(fù)數(shù),可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±(cx2+dx+e)的函數(shù)。練習(xí):求函數(shù)y
5、=1/(2x23x+1)的值域。(答案:值域?yàn)閥8或y>0)。五最值法 對(duì)于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0,且滿足x+y=1,求函數(shù)z=xy+3x的值域。點(diǎn)撥:根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍,將目標(biāo)函數(shù)消元、配方,可求出函數(shù)的值域。解:3x2+x+10,上述分式不等式與不等式2x2-x-30同解,解之得1x3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1x3/2),z=-(x-2)2+4
6、且x-1,3/2,函數(shù)z在區(qū)間-1,3/2上連續(xù),故只需比較邊界的大小。當(dāng)x=-1時(shí),z=5;當(dāng)x=3/2時(shí),z=15/4。函數(shù)z的值域?yàn)閦5z15/4。點(diǎn)評(píng):本題是將函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)開區(qū)間,若存在最值,也可通過(guò)求出最值而獲得函數(shù)的值域。練習(xí):若x為實(shí)數(shù),則函數(shù)y=x2+3x-5的值域?yàn)椋ǎ〢(,)B7,C0,)D5,)(答案:D)。六圖象法 通過(guò)觀察函數(shù)的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。例6求函數(shù)y=x+1+(x-2)2 的值域。點(diǎn)撥:根據(jù)絕對(duì)值的意義,去掉符號(hào)后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),作出其圖象。解:原函數(shù)化為 2x+1(x1)y= 3 (-1<x2)2x-1(x&
7、gt;2)它的圖象如圖所示。顯然函數(shù)值y3,所以,函數(shù)值域3,。點(diǎn)評(píng):分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點(diǎn)。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問(wèn)題的重要方法。求函數(shù)值域的方法較多,還適應(yīng)通過(guò)不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。七單調(diào)法 利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。例1求函數(shù)y=4x1-3x(x1/3)的值域。點(diǎn)撥:由已知的函數(shù)是復(fù)合函數(shù),即g(x)= 1-3x,y=f(x)+g(x),其定義域?yàn)閤1/3,在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性,從而確定函數(shù)的值域。解:設(shè)f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù),從而y=
8、f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定義域?yàn)閤1/3上也為增函數(shù),而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函數(shù)值域?yàn)閥|y4/3。點(diǎn)評(píng):利用單調(diào)性求函數(shù)的值域,是在函數(shù)給定的區(qū)間上,或求出函數(shù)隱含的區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的增減性,求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí):求函數(shù)y=3+4-x的值域。(答案:y|y3)八換元法 以新變量代替函數(shù)式中的某些量,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式,進(jìn)而求出值域。例2求函數(shù)y=x-3+2x+1的值域。點(diǎn)撥:通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的最值,確定原函數(shù)的值域。解:設(shè)t=2x+1(t0),則x=1/2
9、(t2-1)。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2-4=-7/2.所以,原函數(shù)的值域?yàn)閥|y7/2。點(diǎn)評(píng):將無(wú)理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),通過(guò)求出二次函數(shù)的最值,從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí):求函數(shù)y=x-1 x的值域。(答案:y|y3/4九構(gòu)造法 根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,賦予幾何圖形,數(shù)形結(jié)合。例3求函數(shù)y=x2+4x+5+x2-4x+8的值域。點(diǎn)撥:將原函數(shù)變形,構(gòu)造平面圖形,由幾何知識(shí),確定出函數(shù)的值域。解:原函數(shù)變形為f(x)=(x+2)2+1+(2-x)2+22作一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為3的矩形ABCD
10、,再切割成12個(gè)單位正方形。設(shè)HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=(2-x)2+22 ,KC=(x+2)2+1 。由三角形三邊關(guān)系知,AK+KCAC=5。當(dāng)A、K、C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。原函數(shù)的知域?yàn)閥|y5。點(diǎn)評(píng):對(duì)于形如函數(shù)y=x2+a ±(c-x)2+b(a,b,c均為正數(shù)),均可通過(guò)構(gòu)造幾何圖形,由幾何的性質(zhì),直觀明了、方便簡(jiǎn)捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。練習(xí):求函數(shù)y=x2+9 +(5-x)2+4的值域。(答案:y|y52)十比例法 對(duì)于一類含條件的函數(shù)的值域的求法,可將條件轉(zhuǎn)化為比例式,代入目標(biāo)函數(shù),進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。例4已知x,yR,且3x-4y-5=0,求函
11、數(shù)z=x2+y2的值域。點(diǎn)撥:將條件方程3x-4y-5=0轉(zhuǎn)化為比例式,設(shè)置參數(shù),代入原函數(shù)。解:由3x-4y-5=0變形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數(shù))x=3+4k,y=1+3k,z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。當(dāng)k=3/5時(shí),x=3/5,y=4/5時(shí),zmin=1。函數(shù)的值域?yàn)閦|z1.點(diǎn)評(píng):本題是多元函數(shù)關(guān)系,一般含有約束條件,將條件轉(zhuǎn)化為比例式,通過(guò)設(shè)參數(shù),可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式,這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法,具有一定的創(chuàng)新意識(shí)。練習(xí):已知x,yR,且滿足4x-y=0,求函數(shù)f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:f(x,y)|f(x,y)1)十一利用多項(xiàng)式的除法 例5求函數(shù)y=(3x+2)/(x+1)的值域。點(diǎn)撥:將原分式函數(shù),利用長(zhǎng)除法轉(zhuǎn)化為一個(gè)整式與一個(gè)分式之和。解:y=(3x+2)/(x+1)=31/(x+1)。1/(x+1)0,故y3。函數(shù)y的值域?yàn)閥3的一切實(shí)數(shù)。點(diǎn)評(píng):對(duì)于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。練習(xí):求函數(shù)y=(x2-1)/(x-1)(x1)的值域。(答案:y2)十二不等式法 例6求函數(shù)Y=3x/(3x+1)的值域。點(diǎn)撥:先求出原函數(shù)的反函數(shù),根據(jù)自變量的取值范圍,構(gòu)造不等式。解:易求得原函數(shù)的反函數(shù)為y=log3x/(1-x
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