高等數(shù)學(xué)D正項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法ppt課件

1、二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂 第一節(jié)第一節(jié)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)和變號(hào)級(jí)數(shù)正項(xiàng)和變號(hào)級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第十二章 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法假設(shè),0nu1nnu定理定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .假設(shè)1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù) .單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,Zn,nnvku 都有定

2、理定理2 (比較審斂法比較審斂法)設(shè),1nnu1nnv且存在,ZN對(duì)一切,Nn 有(1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv則弱級(jí)數(shù)1nnu(2) 若弱級(jí)數(shù)1nnu則強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv證證:設(shè)對(duì)一切和令nSn則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和, 則有nnvku 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (常數(shù) k 0 ),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性, 故不妨機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv則有nn lim因此對(duì)一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu則有(2) 若弱級(jí)數(shù)1nnu,limnnS因而,limnn這說明強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv也發(fā)散 .knSnk也收斂 .發(fā)散,收

3、斂,弱級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 討論討論 p 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè), 1p因?yàn)閷?duì)一切,Zn而調(diào)和級(jí)數(shù)11nn由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 , 1p因?yàn)楫?dāng)nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級(jí)數(shù)收斂 .時(shí),1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12

4、) 假設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 調(diào)和級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在,ZN對(duì)一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 證明級(jí)數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .證證:2) 1(1) 1(1nnn,11n例例2.2.而111nn發(fā)散所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。判定級(jí)數(shù)1)0(11nnaa的斂散性 .證證:是收斂的等比級(jí)數(shù), 例例3.3.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 時(shí)，當(dāng)1annau11nnva1nnav1111nna收斂；時(shí)，當(dāng)1annnnau11limlim0根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件知1.11nna發(fā)

5、散判定級(jí)數(shù)1)1ln1(nnnn的斂散性 .證證:又因?yàn)?例例4.4.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 由于)1, 0()1ln(xxxx根據(jù)比較判別法知nn 1ln)11ln(nn1nn 1ln1lnnn)111ln(n11nnnn1ln10即111nn) 1(1nn收斂。1)1ln1(nnnn21n收斂 定理定理3. (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 ,1收斂時(shí)且nnv;1也收斂nnu(3) 當(dāng) l = ,1發(fā)散時(shí)且nnv.1也發(fā)散nnu證證: 據(jù)極限定義據(jù)極限定義, 0對(duì),ZN存在ln

6、nvu)(l設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 l 時(shí),時(shí)當(dāng)Nn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 llnnvunnnvluvl)()(, l取由定理 2 可知與1nnu1nnv同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 當(dāng)l = 時(shí),ZN存在,時(shí)當(dāng)Nn ,1nnvu即,nnvu 由定理2可知, 假設(shè)1nnv發(fā)散 , ;1也收斂則nnu(1) 當(dāng)0 l 時(shí),(2) 當(dāng)l = 0時(shí),由定理2 知1nnv收斂 , 假設(shè).1也發(fā)散則nnu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,nunv,limlvunnn是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1) 當(dāng) 時(shí),l0兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;特別取,1p

7、nnv 可得如下結(jié)論 :對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),nu,1pl0lunnlimpn,1pl0發(fā)散nu(2) 當(dāng) 且 收斂時(shí),0lnv(3) 當(dāng) 且 發(fā)散時(shí), lnv也收斂 ;nu也發(fā)散 .nu收斂nu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 比階判別法.的斂散性. nnn1lim例例5. 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)11sinnn的斂散性 .解解: nlim sin1nn11根據(jù)比較審斂法的極限形式知.1sin1發(fā)散nn例例6. 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)1211lnnn解解:nlim221limnnn1根據(jù)比較審斂法的極限形式知.11ln12收斂nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢

8、 判定級(jí)數(shù)1)0()14tan(lnnppn的斂散性 .證證:例例7.7.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 原級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)有相同的斂散性。)14tan(lnpnnuppnn1tan11tan1ln)1tan1ln()1tan1ln(ppnn)1tan(1tanppnnxxxxx)1ln(tan0pn1tan2)()1(nnOptantan1tantan)tan(判定級(jí)數(shù)2)1111(nnnn的斂散性 .證證:例例8.8.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 11nn1應(yīng)用泰勒中值定理n111) 11()(1112xxoxxxxnn)(1()(11122nonnn1)1()(111 2non

9、n)1(1112323nonnnnnn1111)1(1112323nonnnnn11),1(12323non由比階審斂法知原級(jí)數(shù)收斂。通項(xiàng)nnnuu1lim由定理定理4 . 比值審斂法比值審斂法 ( Dalembert 判別法判別法)設(shè) nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且,lim1nnnuu那么(1) 當(dāng)1(2) 當(dāng)1證證: (1),1時(shí)當(dāng)11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收斂 ,.收斂nu時(shí), 級(jí)數(shù)收斂 ;或時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 .,ZN知存在,時(shí)當(dāng)Nn k)(由比較審斂法可知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,1時(shí)或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因而所

10、以級(jí)數(shù)發(fā)散.Nn 當(dāng)時(shí)(2) 當(dāng)nnuu11nuNu1lim1nnnuu說明說明: : 當(dāng)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如例如, p , p 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù):11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但, 1p級(jí)數(shù)收斂 ;, 1p級(jí)數(shù)發(fā)散 .從而機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例9. 討論級(jí)數(shù)討論級(jí)數(shù))0()( !1xnxnnn的斂散性 .解解: 利用達(dá)蘭貝爾比值判別法級(jí)數(shù)收斂 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 nnnuu1limnnnnxnnxn)( !)1( ! ) 1(lim1nnnx)11 (limex時(shí)，當(dāng)ex 0級(jí)數(shù)發(fā)散 ;時(shí)，當(dāng)ex 通項(xiàng)不趨于零，級(jí)數(shù)發(fā)散。

11、時(shí)，當(dāng)ex nnuu11)11 (nnennuu1則1nueu 1斷定132)1 ()1)(1)(1 (nnnaaaaa的斂散性 .解一解一:例例10.10.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 由比值法nnnuu1limnlim)1 ()1)(1)(1 (1321nnaaaaa)1 ()1)(1)(1 (32nnaaaaa11limnnaa級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí)，當(dāng)10 a01na),(n1a級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí)，當(dāng)1a1na)(n10級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí)，當(dāng)1a121)0( a級(jí)數(shù)皆收斂！，對(duì)任意0a斷定132)1 ()1)(1)(1 (nnnaaaaa的斂散性 .解二解二:例例10.10.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下

12、頁 返回 完畢 由比較法所以級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí)，當(dāng)10 ana收斂，na級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí)，當(dāng)1a即公比小于1的等比級(jí)數(shù)，所以級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí)，當(dāng)1a，原級(jí)數(shù)為n21)0( a)1 ()1)(1)(1 (32nnaaaaa)1 ()1)(1 (2nnaaaannnaaa11)1(na收斂，1)1(na)1)(1 (1nnnaaa級(jí)數(shù)皆收斂！，對(duì)任意0a對(duì)任意給定的正數(shù) ,limnnnu定理定理5. 根值審斂法根值審斂法 ( Cauchy判別法判別法)設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級(jí),limnnnu那么;,1) 1(級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng) .,1)2(級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)當(dāng) 證明提示證明提示: ,ZN存在nnu有時(shí)當(dāng),Nn 即nnnu)

13、()(分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確., )1(1111數(shù), 且機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 時(shí) , 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1例如 , p 級(jí)數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1n說明說明 :,1pnnu 但, 1p級(jí)數(shù)收斂 ;, 1p級(jí)數(shù)發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例11. 11nnn審斂：解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2ln)(lnnnnnnnnunnnnnnlnlimlimln由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂 .nennnlnlim2ln01lim2lnnnne nnnn4cos22

14、2由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂 .nn2nnn4cos22221nnnnn而).(21n定理定理6. 積分審斂法：積分審斂法： 設(shè) 在區(qū)間證明提示證明提示: 單調(diào)減，機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )(xf, 1 上非負(fù)且), 2 , 1()(nnfan則級(jí)數(shù)na收斂的充要條件是1d)(xxf收斂。, 1kkx當(dāng)有)2()(1kaxfakk)2(d)(11kaxxfakkkk故對(duì)k求和，得有界nSnknaS1)(那么111d)(nnnSxxfaS.d)(1收斂xxf有界nxxf1d)(廣義積分例例12. 判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù)1)2(ln1nqqnn的斂散性。解解: : 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

15、完畢 ，是單調(diào)遞減非負(fù)的函數(shù)xxxfqln1)(, 0ln, 1maxxxexqq時(shí)，當(dāng), 1q若2dln1xxxq21ln)1 (1xqq ;1 收斂q, 1q若2dln1xxx2lnlnx.發(fā)散.1 發(fā)散q1)2(ln1nqqnn原級(jí)數(shù) ;1 收斂q.1 發(fā)散q二二 、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)nnuuuu1321) 1(稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù) .定理定理6 . ( Leibnitz 判別法判別法 ) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù); ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 , 且其和 ,1uS 其余項(xiàng)滿足.1nnur,2, 1

16、,0nun設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 證證: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是單調(diào)遞增有界數(shù)列,2nS12limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故級(jí)數(shù)收斂于S, 且,1uS :的余項(xiàng)nSnu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級(jí)

17、數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 判定級(jí)數(shù)1)ln1sin(nnn的斂散性 .解解:例例14.14.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 單調(diào)遞增，在2, 0sinx因而據(jù)萊布尼茨判別法知：為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，)ln1sin(nn由于nnln1sin) 1(單調(diào)遞減，而nln1的增加而單調(diào)遞減，隨著nnln1sin0ln1sinlimnn收斂；1)ln1sin(nnn注意：注意：, 1ln1ln1sinlimnnn,ln

18、1發(fā)散而nnln1sin發(fā)散發(fā)散.設(shè)),11ln() 1(nunn則級(jí)數(shù)（ ）。例例15.15.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 （A）都收斂；與121nnnnuu提示：提示：nunn1lim2而（B）都發(fā)散；與121nnnnuu（C）發(fā)散；而收斂，121nnnnuu（D）收斂；而發(fā)散，121nnnnuu原級(jí)數(shù)收斂；nnn1)11 (lnlim2. 1C據(jù)萊布尼茨判別法，三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂 定義定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu假設(shè)若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱原級(jí)111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnn

19、n1nnu收斂 ,1nnu數(shù)1nnu為條件收斂 ;均為絕對(duì)收斂.例如例如 ：絕對(duì)收斂 ；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 本身收斂乎？定理定理7. 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 .證證: 設(shè)設(shè)1nnunv),2,1(n根據(jù)比較審斂法顯然,0nv1nnv收斂,收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂，證畢。)(21nnuu 且nv,nu收斂 , 令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例16. 證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而141nn收

20、斂 ,14sinnnn收斂因而14sinnnn絕對(duì)收斂 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因而12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 .) 1()2(12nnnen1其和分別為 絕對(duì)收斂比條件收斂具有更好的性質(zhì):*定理定理8. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和. 說明說明: 證明見參考書證明見參考書, 這里從略這里從略.*定理定理9. ( 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法法 ).S則對(duì)

21、所有乘積 jivu1nnw按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)1nnv1nnu與都絕對(duì)收斂,S其和為但需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例17 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)nnnnn111) 1(31211) 1(重排次序后變?yōu)榘l(fā)散的級(jí)數(shù) .解解: 將級(jí)數(shù)重排次序?yàn)闄C(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 下面我們將證明是發(fā)散的，21311nnn21141341將相鄰三項(xiàng)加括弧，6111191417151機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )21311 ()21141341(nnn的通項(xiàng)：nnn21141341nnn214141nn2142n1)211 ( 正項(xiàng)、發(fā)散21311nnn21141341發(fā)散發(fā)散)417151()6111191(內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)1nnu設(shè)Leibniz判別法:01