421直線與圓的位置關(guān)系

1、 4.2.1 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有幾種？點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有幾種？ 點(diǎn)到圓心的距離為點(diǎn)到圓心的距離為d d，圓的半徑為圓的半徑為r r，則：，則：點(diǎn)在圓外 dr;點(diǎn)在圓上 d=r；點(diǎn)在圓內(nèi) dr.ABC位置關(guān)系位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合：數(shù)形結(jié)合：數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系幾何法、代數(shù)法幾何法、代數(shù)法同學(xué)們，在我們的生活中到處都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)，下面老師請(qǐng)同學(xué)們欣賞美麗的 海上日出海上日出從海上日出這種自然現(xiàn)象中可以抽象出哪些從海上日出這種自然現(xiàn)象中可以抽象出哪些基本的幾何圖形呢？基本的幾何圖形呢？今天老師和同學(xué)們一起來(lái)探究 請(qǐng)同學(xué)們利用手中的工具再現(xiàn)海上請(qǐng)同學(xué)們利用手中的工具再現(xiàn)海

2、上日出的整個(gè)情景。日出的整個(gè)情景。 在在再現(xiàn)再現(xiàn)過(guò)程中，你認(rèn)為直線與圓的過(guò)程中，你認(rèn)為直線與圓的位置關(guān)系可以分為哪幾類？位置關(guān)系可以分為哪幾類？ 你分類的依據(jù)是什么？你分類的依據(jù)是什么？(地平線)a(地平線)OOO(2)直線和圓有直線和圓有唯一個(gè)唯一個(gè)公共點(diǎn)公共點(diǎn),叫做直線和圓叫做直線和圓相切相切, 這條直線叫這條直線叫圓的切線圓的切線， 這個(gè)公共點(diǎn)叫這個(gè)公共點(diǎn)叫切點(diǎn)。切點(diǎn)。(1)直線和圓有直線和圓有兩個(gè)兩個(gè)公共點(diǎn)公共點(diǎn),叫做直線和圓叫做直線和圓相交相交，這條直線叫這條直線叫圓的割線，圓的割線， 這兩個(gè)公共點(diǎn)叫這兩個(gè)公共點(diǎn)叫交點(diǎn)。交點(diǎn)。(3)直線和圓直線和圓沒有沒有公共點(diǎn)時(shí)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和

3、圓叫做直線和圓相離。相離。一、直線與圓的位置關(guān)系（用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)區(qū)分）l lOlAOl lO相交相交相切相切相離相離上述變化過(guò)程中，除了公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)發(fā)生了變化，上述變化過(guò)程中，除了公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)發(fā)生了變化，還有什么量在改變？你能否用數(shù)量關(guān)系來(lái)判別直線還有什么量在改變？你能否用數(shù)量關(guān)系來(lái)判別直線與圓的位置關(guān)系？與圓的位置關(guān)系？ 學(xué)生狀況分析學(xué)生狀況分析 在初中，學(xué)生已經(jīng)直觀的討論過(guò)直線與圓的位置在初中，學(xué)生已經(jīng)直觀的討論過(guò)直線與圓的位置關(guān)系關(guān)系,前階段又學(xué)習(xí)了直線方程和圓的方程。前階段又學(xué)習(xí)了直線方程和圓的方程。 本節(jié)課主要以問(wèn)題為載體，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)、整理本節(jié)課主要以問(wèn)題為載體，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)、整

4、理已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生利用已有的知識(shí)，探究直線已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生利用已有的知識(shí)，探究直線與圓的位置關(guān)系的方法。通過(guò)學(xué)生參與問(wèn)題的解決，與圓的位置關(guān)系的方法。通過(guò)學(xué)生參與問(wèn)題的解決，讓學(xué)生體驗(yàn)有關(guān)的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生體驗(yàn)有關(guān)的數(shù)學(xué)思想， 培養(yǎng)培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合” 的的意識(shí)。意識(shí)。 教學(xué)任務(wù)分析教學(xué)任務(wù)分析一、地位和作用一、地位和作用 解析幾何的本質(zhì)是利用代數(shù)方法來(lái)研究幾何解析幾何的本質(zhì)是利用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題問(wèn)題,這節(jié)課我們就要用代數(shù)方法來(lái)研究直線與圓的位置關(guān)系這節(jié)課我們就要用代數(shù)方法來(lái)研究直線與圓的位置關(guān)系.這這樣一方面可以鞏固前階段所學(xué)的知識(shí)樣一方面可以鞏固前階段所學(xué)的知識(shí),另一

5、方面也顯示了用代數(shù)另一方面也顯示了用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的優(yōu)越性方法研究幾何問(wèn)題的優(yōu)越性, 用解析法研究直線與圓的位置關(guān)系用解析法研究直線與圓的位置關(guān)系是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的開始，也為后面研究直線與圓錐曲是從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的開始，也為后面研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系打好基礎(chǔ)，這節(jié)課內(nèi)容起著承前啟后的作用。線的位置關(guān)系打好基礎(chǔ)，這節(jié)課內(nèi)容起著承前啟后的作用。二、教學(xué)重點(diǎn)二、教學(xué)重點(diǎn) 能根據(jù)給定的直線與圓的方程判斷直線與圓能根據(jù)給定的直線與圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系的位置關(guān)系三、教學(xué)難點(diǎn)三、教學(xué)難點(diǎn) 靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”來(lái)解決問(wèn)題來(lái)解決問(wèn)題 四、教學(xué)目標(biāo)：四、教學(xué)目標(biāo)：1

6、.知識(shí)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo) 能通過(guò)點(diǎn)到直線的距離公式和方程組的解判斷直線能通過(guò)點(diǎn)到直線的距離公式和方程組的解判斷直線與圓的位置關(guān)系與圓的位置關(guān)系.能夠解決直線和圓的相關(guān)的問(wèn)題能夠解決直線和圓的相關(guān)的問(wèn)題. 2.能力目標(biāo)能力目標(biāo) 3.情感目標(biāo)：情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和自主性，體驗(yàn)獲取知激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和自主性，體驗(yàn)獲取知識(shí)的樂(lè)趣；識(shí)的樂(lè)趣； 1 1、平面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？平面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？在初中，我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系？在初中，我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系？（1 1）（2 2）（3）想一想，平面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？想一想，平

7、面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？在初中，我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系？在初中，我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系？平面幾何中，直線與圓有三種位置關(guān)系：平面幾何中，直線與圓有三種位置關(guān)系：（1 1）直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相交；）直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相交；（1 1）（2 2）直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相切；）直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相切；（2 2）（3 3）直線和圓沒有公共點(diǎn)，直線與圓相離）直線和圓沒有公共點(diǎn)，直線與圓相離（3）Cldrdr 相交Cldr 相切Cldr 相離2、現(xiàn)在，如何用直線方程和圓的方程判斷它們、現(xiàn)在，如何用直線方程和圓的方程判斷它們之間的位置

8、關(guān)系？之間的位置關(guān)系？先看以下問(wèn)題，看看你能否從問(wèn)題中總結(jié)來(lái)先看以下問(wèn)題，看看你能否從問(wèn)題中總結(jié)來(lái)已知直線已知直線 與圓與圓 ，判斷它們的位置關(guān)系。判斷它們的位置關(guān)系。3450 xy221xy已知圓的圓心是已知圓的圓心是O(0,0),半徑是半徑是r=1,圓心到直線的距離圓心到直線的距離223 04 05134dr 所以，此直線與圓相切所以，此直線與圓相切xyop已知直線已知直線 與圓與圓 ，判斷它們的位置關(guān)系。判斷它們的位置關(guān)系。3450 xy221xy建立方程組建立方程組2234501xyxy由由可知可知3544yx ，代入，代入中中得得2235()144xx ，化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)得2253090

9、 xx35x ，方程組有唯一一個(gè)解，方程組有唯一一個(gè)解3545xy即此直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)即此直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)3 4()5, 5，從而直線與圓相切，從而直線與圓相切判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法： 代數(shù)法代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的情況根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的情況來(lái)判斷來(lái)判斷如果有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓相交；有一如果有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓相切；無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓相切；無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓相離相離幾何法幾何法：根據(jù)圓心到直線的距離根據(jù)圓心到直線的距離d與圓的半徑與圓的半徑r的

10、關(guān)系的關(guān)系來(lái)判斷來(lái)判斷如果如果d r ，直線與圓相離，直線與圓相離 回顧我們前面提出的問(wèn)題：如何用直線和回顧我們前面提出的問(wèn)題：如何用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？的切線方程上一點(diǎn)寫出過(guò)圓)6, 2(10.222Myx的值和切線方程。相切，求與圓、已知直線myxmxy44322相切的直線方程。且與圓求斜率為0422. 422yyx練習(xí)練習(xí) 解法一解法一：圓圓 可化為可化為22240 xyy. 5) 1(22 yx其圓心其圓心C的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（0，1），半徑長(zhǎng)為），半徑長(zhǎng)為 ，點(diǎn)，點(diǎn)C （0，1）到）到直線直線 l 的距離的距離522|3 0 1 6|

11、55510231dr 所以，直線所以，直線 l 與圓相交與圓相交分析分析：依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系，依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系（幾何法）判斷直線與圓的位置關(guān)系（幾何法）； 例例1、如圖，已知直線、如圖，已知直線l： 和圓心為和圓心為C的的圓圓 ，判斷直線，判斷直線 l 與圓的位置關(guān)系；與圓的位置關(guān)系； 063 yx04222yyx解法二：解法二：12121230 xxyy所以，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，直線所以，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，直線 l 與圓與圓相交。相交。分析分析 :根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的情況來(lái)判斷（代數(shù)法）根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解

12、的情況來(lái)判斷（代數(shù)法） 例例1、如圖，已知直線、如圖，已知直線l： 和圓心為和圓心為C的的圓圓 ，判斷直線，判斷直線 l 與圓的位置關(guān)系；與圓的位置關(guān)系； 063 yx04222yyx121,2xx2( 3)4 1 210 22360240 xyxyy建立方程組代入代入，由可得 36yx 0232 xx消去y, 得12) 1(20) 1(0222mmmd例例2 設(shè)直線設(shè)直線 和圓和圓 相切，相切，求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)m的值。的值。 02 ymx122 yx 解法一：已知圓的圓心為解法一：已知圓的圓心為O( 0, 0), 半徑半徑r =1,則則O到已知直線的距離到已知直線的距離由已知得由已知得 d=r

13、, 即即解得解得 m=1122m3O(0,2)xy例例2 設(shè)直線設(shè)直線 和圓和圓 相切，相切，求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)m的值。的值。 02 ymx122 yxO2xy解法二：把直線方程與圓的方程聯(lián)立得解法二：把直線方程與圓的方程聯(lián)立得把代入中得2221ymxxy034)1 (22mxxm22164 3 (1)0mm 由直線和圓相切可得：由直線和圓相切可得：233mm 22:(2):40Cxl axya例3、設(shè)有圓+(y-4) =9與直線(1)證明：無(wú)論證明：無(wú)論a為何實(shí)數(shù)，直線為何實(shí)數(shù)，直線l與圓與圓C恒相交恒相交(2)試求直線試求直線l被圓被圓C截得弦長(zhǎng)的最大值截得弦長(zhǎng)的最大值 22222(2,4),3

14、2441110131CraaadaaaaaarlCa 解：（1）如圖設(shè)圓心到l的距離為d圓心半徑又與 恒相交C(2,4)xyAB0dD22222max,122 92 8116ABaABrdaaAB(2)作直線l與圓C相交與A、B兩點(diǎn)，CDAB,垂足為D，連結(jié)BC,令弦長(zhǎng)為則當(dāng)a=0時(shí)，(1)證明：無(wú)論證明：無(wú)論a為何實(shí)數(shù)，直線為何實(shí)數(shù)，直線l與圓與圓C恒相交恒相交(2)試求直線試求直線l被圓被圓C截得弦長(zhǎng)的最大值截得弦長(zhǎng)的最大值另解：（另解：（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)閘：y=a(x-1)+4 過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)N（1，4）N與圓心與圓心C（2，4）相距為）相距為1顯然顯然N在圓在圓C內(nèi)部，故直線內(nèi)部，故直線l

15、與圓與圓C恒相交恒相交（2） a為斜率，當(dāng)為斜率，當(dāng)a=0時(shí)，時(shí)，l過(guò)圓心，弦過(guò)圓心，弦AB的最大值為直徑的長(zhǎng)，等于的最大值為直徑的長(zhǎng)，等于622:(2):40Cxl axya例3、設(shè)有圓+(y-4) =9與直線C(2,4)xyAB0N練習(xí)：練習(xí)：1、判斷直線、判斷直線4320 xy22(3)(5)36xy與圓與圓的位置關(guān)系。的位置關(guān)系。2、以、以C(1,3)為圓心，為圓心， 為半徑的圓與直線為半徑的圓與直線 相切，求實(shí)數(shù)相切，求實(shí)數(shù)m的值的值165370 xmy 例例2. 已知圓的方程是已知圓的方程是 ，求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn) 的切線的方程。的切線的方程。222ryx),(00yxM

16、),(00yxMyxO.200ryyxx,22020ryx),(0000 xxyxyy .1kOM 所求的切線方程是所求的切線方程是因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上在圓上, ,所以所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M 的切線方程是的切線方程是解解: :當(dāng)當(dāng)M M 不在坐標(biāo)軸上時(shí)不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)切線的斜率為設(shè)切線的斜率為k,k,則則k =k = y0,0 xkOM=.00yxk當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上時(shí)，可以驗(yàn)證，上面方程同樣適用在坐標(biāo)軸上時(shí)，可以驗(yàn)證，上面方程同樣適用.整理得整理得.202000yxyyxx把直線方程代入圓的方程把直線方程代入圓的方程得到一元得到一元 二次方程二次方程求 出求 出 的 值的 值00,0, ,直

17、線與圓相交直線與圓相切直線與圓相離確定圓的圓心坐標(biāo)和半徑確定圓的圓心坐標(biāo)和半徑r計(jì)算圓心到直線的距離計(jì)算圓心到直線的距離d判斷判斷 d與圓半徑與圓半徑r的大小關(guān)系的大小關(guān)系 r, r, r,ddd直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交歸納小節(jié) 直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法 幾何方法代數(shù)方法作業(yè)作業(yè)3.已知已知 C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，過(guò)，過(guò)P作作 C的切線，的切線，求切線方程求切線方程 。 22433502342020 xyCCxyyx1、已知直線與圓心在原點(diǎn)的圓 相切，求圓 的方程。、判斷直線與圓x的位置關(guān)系。 1、新的課標(biāo)把直線和圓的位置關(guān)系作為獨(dú)立的章節(jié)，、新的課標(biāo)把直線和圓的位置關(guān)系作為獨(dú)立的章節(jié)， 說(shuō)明新課標(biāo)對(duì)這節(jié)內(nèi)容要求有所提高。說(shuō)明新課標(biāo)對(duì)這節(jié)內(nèi)容要