二重積分概念ppt課件

1、多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分 重 積 分 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) 一、引例一、引例 二、二重積分的定義與可積性二、二重積分的定義與可積性 四、曲頂柱體體積的計(jì)算四、曲頂柱體體積的計(jì)算 二重積分的概念與性質(zhì) 解法解法: 類似定積分處置問題的思想類似定積分處置問題的思想:一、引例一、引例1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂詡?cè)面：以 D 的邊境為準(zhǔn)線的邊境為準(zhǔn)線 , 母線平行于母線平行于 z 軸的柱軸的柱面面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求 極限 D),(yxf

2、z D),(yxfz 1)“大化小用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)2)“常代變?cè)诿總€(gè)k, ),(kk3)“近似和nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk那么中任取一點(diǎn)小曲頂柱體k),(kk4)“取極限的直徑為定義kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk2. 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量 有一個(gè)平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,),(Cyx計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為),(),(常數(shù)若yx設(shè)D 的面積為 , 那么M假設(shè)),(

3、yx非常數(shù) , 仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限 處置.1)“大化小用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個(gè)小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .Dyx2)“常代變中任取一點(diǎn)k在每個(gè)),(kk3)“近似和nkkMM1nkkkk1),(4)“取極限)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk那么第 k 小塊的質(zhì)量yx兩個(gè)問題的共性：(1) 處置問題的步驟一樣(2) 所求量的構(gòu)造式一樣“大化小, 常代變, 近似和,取極限nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 二、二重積分的定義及可積性二

4、、二重積分的定義及可積性定義定義:),(yxf設(shè)將區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小區(qū)域),2,1(nkk任取一點(diǎn),),(kkk假設(shè)存在一個(gè)常數(shù) I , 使nkkkkfI10),(limDyxfd),(稱為積分變量yx,Dyxfd),(記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , 在D上的二重積分.可積可積 , ),(yxfI為稱),(yxf則稱積分和積分區(qū)域被積函數(shù)面積元素積分表達(dá)式DyxfVd),(引例1中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例2中平面薄板的質(zhì)量:假如 在D上可積,),(yxf也常d,ddyx二重積分記作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 這時(shí)分區(qū)域D , 因而面積元素可用平行坐標(biāo)軸的

5、直線來劃 記作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(二重積分存在定理二重積分存在定理:假設(shè)函數(shù)),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在則Dyxf),(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù), 那么假設(shè)有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重積分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重積分不存在 . 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)Dyxfkd),(. 1( k 為常數(shù))Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyx

6、fyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 為D 的面積, 那么 ),(2121無公共內(nèi)點(diǎn)DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(特別, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(那么Dyxfd),(Dyxd),(5. 假設(shè)在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(那么有7.(二重積分的中值定理),(yxf設(shè)函數(shù),),(D),(),(fdyxfD證證: 由性質(zhì)由性質(zhì)6 可知可知,MyxfmDd),(1由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)D),(Dyxffd),(1

7、),(),(d),(fyxfD在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,那么至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因而例例1. 比較以下積分的大小比較以下積分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 積分域積分域 D 的邊境為圓周的邊境為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與 x 軸交于點(diǎn) (1,0) ,.1相切與直線 yx而域 D 位, 1 yx從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方, 故在 D 上 1y2xo1D例例2. 判斷積分判斷積分yxyxyxdd1432222的正負(fù)號(hào).解解: 分積分域?yàn)榉址e分域?yàn)?321DDD那么原式 =yxyxDdd113

8、22yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜測(cè)結(jié)果為負(fù) 但不好估計(jì) .舍去此項(xiàng)例例3. 估計(jì)以下積分之值估計(jì)以下積分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面積為的面積為200)210(2由于yx22coscos1001積分性質(zhì)5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyoxyoD8. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfD 位于 x 軸上方的部分為D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),

9、(Dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在閉區(qū)域上連續(xù), 域D 關(guān)于x 軸對(duì)稱,那么那么有類似結(jié)果.在第一象限部分, 那么有1:,221 yxDD 為圓域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0 xbad 四、曲頂柱體體積的計(jì)算四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲頂柱體體積為DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的)(2xy)(1xyzx

10、yoab0 xDydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為那么其體積可按如下兩次積分計(jì)算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd例例4. 求兩個(gè)底圓半徑為求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積的直角圓柱面所圍的體積.xyzRRo解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222Ryx利用對(duì)稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為那么所求體積為yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd802

11、2222Ryx222RzxD內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 二重積分的定義Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重積分的性質(zhì) (與定積分性質(zhì)類似)3. 曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法被積函數(shù)一樣, 且非負(fù), 考慮與練習(xí)考慮與練習(xí)yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它們的積分域范圍可知312III11xyo1. 比較以下積分值的大小關(guān)系比較以下積分值的大小關(guān)系:2. 設(shè)設(shè)D 是第二象限的一個(gè)有界閉域是第二象限的一個(gè)有界閉域 , 且且 0 y 1, 那么那么,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小順序?yàn)?

12、( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D3. 計(jì)算計(jì)算.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind2200024. 證明證明:, 2d)cossin(122Dyx其中D 為.10, 10yx解解: 利用題中利用題中 x , y 位置的對(duì)稱性位置的對(duì)稱性, 有有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面積為 1 , 故結(jié)論成立 .yox1D10.40.5I備用題備用題1. 估計(jì)估計(jì) 的值, 其中 D 為22d216DIxyxy01, 0. 2xy解解: 被積函數(shù)被積函數(shù)21