隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析

1、隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)的分析第五章1 線性系統(tǒng)基本理論系統(tǒng)：)()(txTty線性系統(tǒng)：)()()()()()(221122112211tyatyatxTatxTatxatxaT時不變系統(tǒng)：)()(txTty線性時不變(LTI)系統(tǒng)：連續(xù)時間LTI系統(tǒng)時域分析：時域分析：)()(d)()()(thtxhtxty)j()()()()()()(ssHsXsYHXY因果系統(tǒng)：0 , 0)(tth當(dāng)穩(wěn)定系統(tǒng)：tthd)(頻域分析：頻域分析：系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)的所有極點(diǎn)位于的所有極點(diǎn)位于s平面的左半平面（不含虛軸）。平面的左半平面（不含虛軸）。離散時間LTI系統(tǒng)時域分析：時域分析：)()()()()

2、(nhnxmhmnxnym)e()()()()(e)(e)(ejjjjzzHzXzYHXY因果系統(tǒng)：0 , 0)(nnh當(dāng)穩(wěn)定系統(tǒng)：頻域分析：頻域分析：nnh)(系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有極點(diǎn)位于的所有極點(diǎn)位于z平面的單位圓內(nèi)。平面的單位圓內(nèi)。2 隨機(jī)信號通過連續(xù)時間LTI系統(tǒng)d)()()()()(htXthtXtY)()()(HXY2.1 時域分析法X (t)Y (t)h (t)LTI系統(tǒng)系統(tǒng)輸出信號的均值函數(shù)設(shè)設(shè)輸入過程輸入過程 X (t) 的均值函數(shù)為的均值函數(shù)為 mX(t) ，則輸出過程，則輸出過程 Y (t) 的的均值函數(shù)為均值函數(shù)為)()(d)()(d)()(d)()()()(

3、thtmuuhutmuuhutXEuuhutXEtYEtmXXY當(dāng)輸入過程當(dāng)輸入過程 X (t) 為為均值平穩(wěn)均值平穩(wěn)時，時，輸出過程輸出過程 Y (t) 也是均值平穩(wěn)的。也是均值平穩(wěn)的。常數(shù)uuhmmXYd)(輸出信號的自相關(guān)函數(shù)設(shè)設(shè)輸入過程輸入過程 X (t) 的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為 RX(t1,t2) ，則輸出過程，則輸出過程 Y (t) 的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為)( , )()()(dd )()()()(21tthhRvuvhuhvuRRXXY )()(),(dd )()(),(dd )()( )()(d)()(d)()( )()(),(21212121212121ththt

4、tRvuvhuhvtutRvuvhuhvtXutXEvvhvtXuuhutXEtYtYEttRXXY 當(dāng)輸入過程當(dāng)輸入過程 X (t) 為為自相關(guān)平穩(wěn)自相關(guān)平穩(wěn)時，時，輸出過程輸出過程 Y (t) 也是也是自相關(guān)平穩(wěn)的。自相關(guān)平穩(wěn)的。輸出與輸入的互相關(guān)函數(shù) )()()(hRRXXY)(),(),()(),(d)(),(d)()()( )()(),(2212112121212121thttRttRthttRuuhtutRutXuhutXEtXtYEttRXXYXXYX當(dāng)輸入過程當(dāng)輸入過程 X (t) 為為自相關(guān)平穩(wěn)自相關(guān)平穩(wěn)時，時，)()(d)()()(hRuuhuRRXXYX輸出過程與輸入過程

5、還是聯(lián)合平穩(wěn)的。輸出過程與輸入過程還是聯(lián)合平穩(wěn)的。輸出信號的相關(guān)函數(shù))()()(hRRXYX)()( )()()()()()(hRhRhhRRXYYXXY )()()(hRRXXY)(XR)(h )(h)(YXR)(YR輸出信號的平穩(wěn)性與遍歷性n若若輸入過程輸入過程 X (t)是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，則LTI系統(tǒng)系統(tǒng)的輸出過程的輸出過程 Y (t) 也是平穩(wěn)的，且輸出過程也是平穩(wěn)的，且輸出過程 Y (t) 與輸入過程與輸入過程 X (t) 之間還是聯(lián)合平穩(wěn)的。之間還是聯(lián)合平穩(wěn)的。n若若輸入過程輸入過程 X (t)是遍歷的，則是遍歷的，則LTI系統(tǒng)系統(tǒng)的輸出過程的輸出過程 Y (t) 也是遍歷的，

6、且輸出過程也是遍歷的，且輸出過程 Y (t) 與輸入過程與輸入過程 X (t) 之間還是聯(lián)合遍歷的。之間還是聯(lián)合遍歷的。)()()()()()(tXtYRtYtXRYXXY例1 （h(t) 的估計的估計）n設(shè)線性系統(tǒng)輸入一個白噪聲過程設(shè)線性系統(tǒng)輸入一個白噪聲過程 X (t)，其自相關(guān)函，其自相關(guān)函數(shù)為數(shù)為 RX ( ) = N0 ( ) ，則，則)(d)()()(00hNuuhuNRYX)(1)(0YXRNh通過測量互相關(guān)函數(shù)，可以估計線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。通過測量互相關(guān)函數(shù)，可以估計線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。)()(1)(0tXtYNh假定假定過程過程 X (t) 和和 Y (t) 是各態(tài)歷

7、經(jīng)的，是各態(tài)歷經(jīng)的，2.2 頻域分析法)0()(d)(0HmHmhmmXXXY設(shè)設(shè)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為H( )，當(dāng)輸入平穩(wěn)過程，當(dāng)輸入平穩(wěn)過程 X(t) 具有具有譜密度譜密度 GX( ) 時，則輸出平穩(wěn)過程時，則輸出平穩(wěn)過程 Y(t) 具有具有)()()(2XYGHG)()( )()()()( )()()()( 2XXYXYGHHHGGhhRR譜密度：譜密度：均值：均值：互譜密度：互譜密度：)()()()()()(HGGHGGXXYXYX)()()()()(HGHGGYXXYY例2 如圖有兩個如圖有兩個LTI系統(tǒng)系統(tǒng)H1( )和和H2( )，若輸入同一個若輸入同一個均值為零的

8、平穩(wěn)過程均值為零的平穩(wěn)過程 X(t) ，它們的輸出分別為，它們的輸出分別為 Y1(t) 和和Y2(t)。如何設(shè)計。如何設(shè)計H1( )和和H2( )才能使才能使Y1(t) 和和Y2(t)互不相關(guān)？互不相關(guān)？解X (t)Y1(t)H1( )H2( )Y2(t)互不相關(guān)互不相關(guān) 協(xié)方差為零協(xié)方差為零d)()()()()(htXthtXtY0d)(11hmmXY0d)(22hmmXY )()()(dd )()()( )()()(21212121 hhRvuvhuhvuRtYtYERXXYY)()()()(2121HHGGXYY, 0)( 21時當(dāng)YYG0)(21YYR0)(21YYC當(dāng)兩個當(dāng)兩個LTI

9、系統(tǒng)的系統(tǒng)的幅頻特性幅頻特性互不重疊時互不重疊時，則，則它們的輸出它們的輸出Y1(t) 和和Y2(t) 互不相關(guān)?；ゲ幌嚓P(guān)。2.3 白噪聲通過線性系統(tǒng)的分析de)()(j0HNRY設(shè)設(shè)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為H( )，當(dāng)輸入白噪聲，當(dāng)輸入白噪聲 X(t) 具有譜具有譜密度密度 GX( ) = N0 時，則輸出過程時，則輸出過程 Y(t) 具有具有202)()()()(HNGHGXY譜密度：譜密度：自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：平均功率：平均功率：d)()0()(02HNRtYEPY當(dāng)白噪聲輸入當(dāng)白噪聲輸入LTI系統(tǒng)時系統(tǒng)時，輸出隨機(jī)信號的功率譜密度主要由輸出隨機(jī)信號的功率譜密度主要由系

10、統(tǒng)的幅頻特性系統(tǒng)的幅頻特性 H ( ) 決定，不再保持為常數(shù)。決定，不再保持為常數(shù)。(1) 白噪聲通過理想低通系統(tǒng)de)()(j0HNRY設(shè)設(shè)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為H( )，當(dāng)輸入白噪聲，當(dāng)輸入白噪聲 X(t) 具有譜具有譜密度密度 GX( ) = N0 時，則輸出過程時，則輸出過程 Y(t) 具有具有202)()()()(HNGHGXY譜密度：譜密度：自相關(guān)函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：平均功率：平均功率：d)()0()(02HNRtYEPY當(dāng)白噪聲輸入當(dāng)白噪聲輸入LTI系統(tǒng)時系統(tǒng)時，輸出隨機(jī)信號的功率譜密度主要由輸出隨機(jī)信號的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性系統(tǒng)的幅頻特性 H ( ) 決

11、定，不再保持為常數(shù)。決定，不再保持為常數(shù)。例3 如圖如圖RC電路，若輸入白噪聲電壓電路，若輸入白噪聲電壓 X (t) ，其相關(guān)，其相關(guān)函數(shù)為函數(shù)為 RX ( ) = N0 ( ) ，求輸出電壓，求輸出電壓 Y (t) 的相的相關(guān)函數(shù)和平均功率。關(guān)函數(shù)和平均功率。解RCiH1 , )(其中)()(tuetht0)(FT)(NRGXX02222)()()(NGHGXYeNGRYY2)(IFT)(02)0(0NRPYX (t)Y (t)RC常用線性電路的傳遞函數(shù)和沖激響應(yīng)常用線性電路的傳遞函數(shù)和沖激響應(yīng)電路電路H( )h(t)(e1)(/tuRCtRCt j1jRCRC j11RCRC)(e1/tu

12、RCRCtRCRLRL jLRR jjLRL)(e)(/tuLRtLtR)(e/tuLRLtR線性系統(tǒng)輸出過程的概率分布n若線性系統(tǒng)輸入為高斯過程，則輸出也是高斯過程。若線性系統(tǒng)輸入為高斯過程，則輸出也是高斯過程。n若線性系統(tǒng)輸入為非高斯過程，其等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大若線性系統(tǒng)輸入為非高斯過程，其等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬，則輸出近似為高斯過程。于系統(tǒng)帶寬，則輸出近似為高斯過程。n白噪聲通過有限帶寬的線性系統(tǒng)，輸出為高斯過程。白噪聲通過有限帶寬的線性系統(tǒng)，輸出為高斯過程。n寬帶噪聲通過窄帶系統(tǒng)，輸出近似為高斯過程。寬帶噪聲通過窄帶系統(tǒng)，輸出近似為高斯過程。3 隨機(jī)序列通過離散時間LTI系統(tǒng)mmhmn

13、XnhnXnY)()()()()()()()()(e)()(jzHzXzYHXY3.1 時域分析法X (n)Y (n)h (n)LTI系統(tǒng)系統(tǒng)輸出序列的均值與相關(guān)函數(shù))()()(mhmRmRXYX)()( )()()()()()(mhmRmhmRmhmhmRmRXYYXXY )()()(mhmRmRXXYkXYkhmm)(當(dāng)輸入當(dāng)輸入 X (n) 為為平穩(wěn)平穩(wěn)序列時，序列時，3.2 頻域分析法)0()(e)(0jHmHmkhmmXXkXY譜密度：譜密度：均值：均值：互譜密度：互譜密度：)(e)()()(e)()(jjHGGHGGXXYXYX)(e)()(e)()()(e)(jj2jHGHGGH

14、GYXXYXYZ變換分析法) 1 ()()(1HmzHmkhmmXzXkXY)/1 ()()()()()()()(zHzGzmRzGzHzGzmRzGXmmXYXYXmmYXYX)/1 ()()()()/1 ()()()()(zHzGzHzGzHzHzGzmRzGYXXYXmmYY3.3 ARMA模型qkkpkkknXbknYanY01)()()(離散時間離散時間LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng): :若輸入若輸入X(n)為白噪聲，方差為為白噪聲，方差為 2 ，22)()()(0XXXGmmRm，則輸出過程則輸出過程Y(n)稱為自回歸滑動平均（稱為自回歸滑動平均（ARMA）過程。）過程。ARMA：Auto-

15、Regressive Moving Average（1） AR模型一階AR模型: AR(1)X(n) Y(n) a z 1)() 1()(nXnaYnY輸入輸入X(n)為白噪聲，為白噪聲，方差為方差為 222)()()(0XXXGmmRmjj1e11)(e)()(11)(aHnuanhazzHn22222j1)(cos21)()(e)(0aamRaaGHGmmYXYYp階AR模型: AR(p)()()(1nXknYanYpkkX(n) Y(n) a1 z 1a2 ap z 1z 1 pkkkzazH111)(pkkkaH1jje11)(e21j2e1)(pkkkYaG)()()(zXzHzY（

16、2） MA模型一階MA模型: MA(1) 1()()(10nXbnXbnY輸入輸入X(n)為白噪聲，方差為為白噪聲，方差為 2)()()( , 022mmRGmXXXj10j10110e)(e) 1()()()(bbHnbnbnhzbbzH)1() 1()()()()cos2()()(e)(0102120210212022jmmbbmbbmRbbbbGHGmYXYYX(n) z 1 b0Y(n) b1q階MA模型: MA(q)qkknXkhnY0)()()(qkkzkhzH0)()(qkkkhH0jje)()(eqlkklXYqlkklXYlhkhGHGzlhkhzGzHzHzG0,)(j22j0,2e)()()()(e)()()()()/1 ()()()()()(zXzHzY X(n) z 1 h(0)Y(n) h(1)h(2)h(q)h(q 1)z 1z 1MA(