隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析

1、隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析第五章1 線性系統(tǒng)基本理論系統(tǒng)：)()(txTty線性系統(tǒng)：)()()()()()(221122112211tyatyatxTatxTatxatxaT時不變系統(tǒng)：)()(txTty線性時不變(LTI)系統(tǒng)：連續(xù)時間LTI系統(tǒng)時域分析：時域分析：)()(d)()()(thtxhtxty)j()()()()()()(ssHsXsYHXY因果系統(tǒng)：0 , 0)(tth當穩(wěn)定系統(tǒng)：tthd)(頻域分析：頻域分析：系統(tǒng)函數系統(tǒng)函數H(s)的所有極點位于的所有極點位于s平面的左半平面（不含虛軸）。平面的左半平面（不含虛軸）。離散時間LTI系統(tǒng)時域分析：時域分析：)()()()()

2、(nhnxmhmnxnym)e()()()()(e)(e)(ejjjjzzHzXzYHXY因果系統(tǒng)：0 , 0)(nnh當穩(wěn)定系統(tǒng)：頻域分析：頻域分析：nnh)(系統(tǒng)函數系統(tǒng)函數H(z)的所有極點位于的所有極點位于z平面的單位圓內。平面的單位圓內。2 隨機信號通過連續(xù)時間LTI系統(tǒng)d)()()()()(htXthtXtY)()()(HXY2.1 時域分析法X (t)Y (t)h (t)LTI系統(tǒng)系統(tǒng)輸出信號的均值函數設設輸入過程輸入過程 X (t) 的均值函數為的均值函數為 mX(t) ，則輸出過程，則輸出過程 Y (t) 的的均值函數為均值函數為)()(d)()(d)()(d)()()()(

3、thtmuuhutmuuhutXEuuhutXEtYEtmXXY當輸入過程當輸入過程 X (t) 為為均值平穩(wěn)均值平穩(wěn)時，時，輸出過程輸出過程 Y (t) 也是均值平穩(wěn)的。也是均值平穩(wěn)的。常數uuhmmXYd)(輸出信號的自相關函數設設輸入過程輸入過程 X (t) 的自相關函數為的自相關函數為 RX(t1,t2) ，則輸出過程，則輸出過程 Y (t) 的自相關函數為的自相關函數為)( , )()()(dd )()()()(21tthhRvuvhuhvuRRXXY )()(),(dd )()(),(dd )()( )()(d)()(d)()( )()(),(21212121212121ththt

4、tRvuvhuhvtutRvuvhuhvtXutXEvvhvtXuuhutXEtYtYEttRXXY 當輸入過程當輸入過程 X (t) 為為自相關平穩(wěn)自相關平穩(wěn)時，時，輸出過程輸出過程 Y (t) 也是也是自相關平穩(wěn)的。自相關平穩(wěn)的。輸出與輸入的互相關函數 )()()(hRRXXY)(),(),()(),(d)(),(d)()()( )()(),(2212112121212121thttRttRthttRuuhtutRutXuhutXEtXtYEttRXXYXXYX當輸入過程當輸入過程 X (t) 為為自相關平穩(wěn)自相關平穩(wěn)時，時，)()(d)()()(hRuuhuRRXXYX輸出過程與輸入過程

5、還是聯(lián)合平穩(wěn)的。輸出過程與輸入過程還是聯(lián)合平穩(wěn)的。輸出信號的相關函數)()()(hRRXYX)()( )()()()()()(hRhRhhRRXYYXXY )()()(hRRXXY)(XR)(h )(h)(YXR)(YR輸出信號的平穩(wěn)性與遍歷性n若若輸入過程輸入過程 X (t)是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，則LTI系統(tǒng)系統(tǒng)的輸出過程的輸出過程 Y (t) 也是平穩(wěn)的，且輸出過程也是平穩(wěn)的，且輸出過程 Y (t) 與輸入過程與輸入過程 X (t) 之間還是聯(lián)合平穩(wěn)的。之間還是聯(lián)合平穩(wěn)的。n若若輸入過程輸入過程 X (t)是遍歷的，則是遍歷的，則LTI系統(tǒng)系統(tǒng)的輸出過程的輸出過程 Y (t) 也是遍歷的，

6、且輸出過程也是遍歷的，且輸出過程 Y (t) 與輸入過程與輸入過程 X (t) 之間還是聯(lián)合遍歷的。之間還是聯(lián)合遍歷的。)()()()()()(tXtYRtYtXRYXXY例1 （h(t) 的估計的估計）n設線性系統(tǒng)輸入一個白噪聲過程設線性系統(tǒng)輸入一個白噪聲過程 X (t)，其自相關函，其自相關函數為數為 RX ( ) = N0 ( ) ，則，則)(d)()()(00hNuuhuNRYX)(1)(0YXRNh通過測量互相關函數，可以估計線性系統(tǒng)的單位脈沖響應。通過測量互相關函數，可以估計線性系統(tǒng)的單位脈沖響應。)()(1)(0tXtYNh假定假定過程過程 X (t) 和和 Y (t) 是各態(tài)歷

7、經的，是各態(tài)歷經的，2.2 頻域分析法)0()(d)(0HmHmhmmXXXY設設LTI系統(tǒng)的頻率響應為系統(tǒng)的頻率響應為H( )，當輸入平穩(wěn)過程，當輸入平穩(wěn)過程 X(t) 具有具有譜密度譜密度 GX( ) 時，則輸出平穩(wěn)過程時，則輸出平穩(wěn)過程 Y(t) 具有具有)()()(2XYGHG)()( )()()()( )()()()( 2XXYXYGHHHGGhhRR譜密度：譜密度：均值：均值：互譜密度：互譜密度：)()()()()()(HGGHGGXXYXYX)()()()()(HGHGGYXXYY例2 如圖有兩個如圖有兩個LTI系統(tǒng)系統(tǒng)H1( )和和H2( )，若輸入同一個若輸入同一個均值為零的

8、平穩(wěn)過程均值為零的平穩(wěn)過程 X(t) ，它們的輸出分別為，它們的輸出分別為 Y1(t) 和和Y2(t)。如何設計。如何設計H1( )和和H2( )才能使才能使Y1(t) 和和Y2(t)互不相關？互不相關？解X (t)Y1(t)H1( )H2( )Y2(t)互不相關互不相關 協(xié)方差為零協(xié)方差為零d)()()()()(htXthtXtY0d)(11hmmXY0d)(22hmmXY )()()(dd )()()( )()()(21212121 hhRvuvhuhvuRtYtYERXXYY)()()()(2121HHGGXYY, 0)( 21時當YYG0)(21YYR0)(21YYC當兩個當兩個LTI

9、系統(tǒng)的系統(tǒng)的幅頻特性幅頻特性互不重疊時互不重疊時，則，則它們的輸出它們的輸出Y1(t) 和和Y2(t) 互不相關。互不相關。2.3 白噪聲通過線性系統(tǒng)的分析de)()(j0HNRY設設LTI系統(tǒng)的頻率響應為系統(tǒng)的頻率響應為H( )，當輸入白噪聲，當輸入白噪聲 X(t) 具有譜具有譜密度密度 GX( ) = N0 時，則輸出過程時，則輸出過程 Y(t) 具有具有202)()()()(HNGHGXY譜密度：譜密度：自相關函數：自相關函數：平均功率：平均功率：d)()0()(02HNRtYEPY當白噪聲輸入當白噪聲輸入LTI系統(tǒng)時系統(tǒng)時，輸出隨機信號的功率譜密度主要由輸出隨機信號的功率譜密度主要由系

10、統(tǒng)的幅頻特性系統(tǒng)的幅頻特性 H ( ) 決定，不再保持為常數。決定，不再保持為常數。(1) 白噪聲通過理想低通系統(tǒng)de)()(j0HNRY設設LTI系統(tǒng)的頻率響應為系統(tǒng)的頻率響應為H( )，當輸入白噪聲，當輸入白噪聲 X(t) 具有譜具有譜密度密度 GX( ) = N0 時，則輸出過程時，則輸出過程 Y(t) 具有具有202)()()()(HNGHGXY譜密度：譜密度：自相關函數：自相關函數：平均功率：平均功率：d)()0()(02HNRtYEPY當白噪聲輸入當白噪聲輸入LTI系統(tǒng)時系統(tǒng)時，輸出隨機信號的功率譜密度主要由輸出隨機信號的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性系統(tǒng)的幅頻特性 H ( ) 決

11、定，不再保持為常數。決定，不再保持為常數。例3 如圖如圖RC電路，若輸入白噪聲電壓電路，若輸入白噪聲電壓 X (t) ，其相關，其相關函數為函數為 RX ( ) = N0 ( ) ，求輸出電壓，求輸出電壓 Y (t) 的相的相關函數和平均功率。關函數和平均功率。解RCiH1 , )(其中)()(tuetht0)(FT)(NRGXX02222)()()(NGHGXYeNGRYY2)(IFT)(02)0(0NRPYX (t)Y (t)RC常用線性電路的傳遞函數和沖激響應常用線性電路的傳遞函數和沖激響應電路電路H( )h(t)(e1)(/tuRCtRCt j1jRCRC j11RCRC)(e1/tu

12、RCRCtRCRLRL jLRR jjLRL)(e)(/tuLRtLtR)(e/tuLRLtR線性系統(tǒng)輸出過程的概率分布n若線性系統(tǒng)輸入為高斯過程，則輸出也是高斯過程。若線性系統(tǒng)輸入為高斯過程，則輸出也是高斯過程。n若線性系統(tǒng)輸入為非高斯過程，其等效噪聲帶寬遠大若線性系統(tǒng)輸入為非高斯過程，其等效噪聲帶寬遠大于系統(tǒng)帶寬，則輸出近似為高斯過程。于系統(tǒng)帶寬，則輸出近似為高斯過程。n白噪聲通過有限帶寬的線性系統(tǒng)，輸出為高斯過程。白噪聲通過有限帶寬的線性系統(tǒng)，輸出為高斯過程。n寬帶噪聲通過窄帶系統(tǒng)，輸出近似為高斯過程。寬帶噪聲通過窄帶系統(tǒng)，輸出近似為高斯過程。3 隨機序列通過離散時間LTI系統(tǒng)mmhmn

13、XnhnXnY)()()()()()()()()(e)()(jzHzXzYHXY3.1 時域分析法X (n)Y (n)h (n)LTI系統(tǒng)系統(tǒng)輸出序列的均值與相關函數)()()(mhmRmRXYX)()( )()()()()()(mhmRmhmRmhmhmRmRXYYXXY )()()(mhmRmRXXYkXYkhmm)(當輸入當輸入 X (n) 為為平穩(wěn)平穩(wěn)序列時，序列時，3.2 頻域分析法)0()(e)(0jHmHmkhmmXXkXY譜密度：譜密度：均值：均值：互譜密度：互譜密度：)(e)()()(e)()(jjHGGHGGXXYXYX)(e)()(e)()()(e)(jj2jHGHGGH

14、GYXXYXYZ變換分析法) 1 ()()(1HmzHmkhmmXzXkXY)/1 ()()()()()()()(zHzGzmRzGzHzGzmRzGXmmXYXYXmmYXYX)/1 ()()()()/1 ()()()()(zHzGzHzGzHzHzGzmRzGYXXYXmmYY3.3 ARMA模型qkkpkkknXbknYanY01)()()(離散時間離散時間LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng): :若輸入若輸入X(n)為白噪聲，方差為為白噪聲，方差為 2 ，22)()()(0XXXGmmRm，則輸出過程則輸出過程Y(n)稱為自回歸滑動平均（稱為自回歸滑動平均（ARMA）過程。）過程。ARMA：Auto-

15、Regressive Moving Average（1） AR模型一階AR模型: AR(1)X(n) Y(n) a z 1)() 1()(nXnaYnY輸入輸入X(n)為白噪聲，為白噪聲，方差為方差為 222)()()(0XXXGmmRmjj1e11)(e)()(11)(aHnuanhazzHn22222j1)(cos21)()(e)(0aamRaaGHGmmYXYYp階AR模型: AR(p)()()(1nXknYanYpkkX(n) Y(n) a1 z 1a2 ap z 1z 1 pkkkzazH111)(pkkkaH1jje11)(e21j2e1)(pkkkYaG)()()(zXzHzY（

16、2） MA模型一階MA模型: MA(1) 1()()(10nXbnXbnY輸入輸入X(n)為白噪聲，方差為為白噪聲，方差為 2)()()( , 022mmRGmXXXj10j10110e)(e) 1()()()(bbHnbnbnhzbbzH)1() 1()()()()cos2()()(e)(0102120210212022jmmbbmbbmRbbbbGHGmYXYYX(n) z 1 b0Y(n) b1q階MA模型: MA(q)qkknXkhnY0)()()(qkkzkhzH0)()(qkkkhH0jje)()(eqlkklXYqlkklXYlhkhGHGzlhkhzGzHzHzG0,)(j22j0,2e)()()()(e)()()()()/1 ()()()()()(zXzHzY X(n) z 1 h(0)Y(n) h(1)h(2)h(q)h(q 1)z 1z 1MA(