數(shù)形結(jié)合的思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

1、數(shù)形結(jié)合的思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透         09-12-11 16:22:00     作者：劉耀琴    編輯：studa090420論文關(guān)鍵詞：思維滲透數(shù)學(xué)思想方法思維能力契合點(diǎn)創(chuàng)新意識(shí) 論文摘要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過(guò)思維來(lái)實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，數(shù)形結(jié)合的思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)容體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型

2、（主要是方程、不等式或函數(shù)模型），（2）建立幾何模型（或函數(shù)圖象）解決有關(guān)方程和函數(shù)的問(wèn)題。（3）與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問(wèn)題。（4）以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問(wèn)題。采用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)。如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無(wú)法入手的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。推行素質(zhì)教育，培養(yǎng)面向新世紀(jì)的合格人才，使學(xué)生具有創(chuàng)新意識(shí)，在創(chuàng)造中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，教育應(yīng)更多的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略。數(shù)學(xué)家喬治.波利亞所說(shuō)：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過(guò)它而找到正確的道路”。隨著課程改革的深入，“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)變的過(guò)程中，對(duì)學(xué)生的考察，不

3、僅考查基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能，更為重視考查能力的培養(yǎng)。如基本知識(shí)概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)和探索過(guò)程中所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法；要求學(xué)生會(huì)觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會(huì)闡述自己的思想和觀點(diǎn)。從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想觀念層次上的數(shù)學(xué)教育。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過(guò)思維來(lái)實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)?！皵?shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”，數(shù)形結(jié)合的思想，就是研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，它是指把代數(shù)的精確刻劃與幾何的形象直觀相統(tǒng)一，將抽象思維與形象直觀

4、相結(jié)合的一種思想方法。數(shù)形結(jié)合的思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)容體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型（主要是方程、不等式或函數(shù)模型），（2）建立幾何模型（或函數(shù)圖象）解決有關(guān)方程和函數(shù)的問(wèn)題。（3）與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問(wèn)題。（4）以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問(wèn)題。采用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)。如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無(wú)法入手的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。數(shù)形結(jié)合的思想方法，不象一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過(guò)幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，

5、不斷的豐富自身的內(nèi)涵。教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的的主動(dòng)應(yīng)用。一、  滲透數(shù)形結(jié)合的思想，養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的意識(shí)每個(gè)學(xué)生在日常生活中都具有一定的圖形知識(shí)，如繩子和繩子上的結(jié)、刻度尺與它上面的刻度，溫度計(jì)與其上面的溫度，我們每天走過(guò)的路線可以看作是一條直線，教室里每個(gè)學(xué)生的坐位等等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)與數(shù)軸，一對(duì)有序?qū)崝?shù)與平面直角坐標(biāo)系，一元一次不等式的解集與一次函數(shù)的圖象，二

6、元一次方程組的解與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系等，都是滲透數(shù)形結(jié)合思想的很好機(jī)會(huì)。如：直線是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)也有無(wú)數(shù)個(gè)，因?yàn)樗鼈兊倪@個(gè)共性所以用直線上無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)來(lái)表示實(shí)數(shù)，這時(shí)就把一條直線規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度，把這條直線就叫做數(shù)軸。建立了數(shù)與直線上的點(diǎn)的結(jié)合。即：數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，每個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到表示它的點(diǎn)，建立了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此讓學(xué)生理解了相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義。建立數(shù)軸后及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)軸來(lái)進(jìn)行有理數(shù)的比較大小，學(xué)生通過(guò)觀察、分析、歸納總結(jié)得出結(jié)論：通常規(guī)定右邊為正方向時(shí)，在數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)，右邊的總大于左邊的，正數(shù)

7、大于零，零大于負(fù)數(shù)。讓學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用。為下面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想奠定基礎(chǔ)。例：根據(jù)所給圖形在下列橫線上填上合適數(shù)字，并說(shuō)明理由：-1-,-3-,-6-,-10-,-15-,-21-,-28-,-36- - -在講解通過(guò)形來(lái)說(shuō)明數(shù)的找規(guī)律問(wèn)題中應(yīng)該從形中找數(shù)。如第一個(gè)圖形有一個(gè)小正方形，第二個(gè)圖形有三個(gè)小正方形，第三個(gè)圖形有六個(gè)小正方形，那么第四個(gè)圖形將有幾個(gè)小正方形呢？從前三個(gè)中尋找規(guī)律，第二個(gè)比第一個(gè)多兩個(gè)小正方形，第三個(gè)比第二個(gè)多三個(gè)小正方形，那么第四個(gè)就比第三個(gè)多四個(gè)小正方形，第四個(gè)圖形就有十個(gè)小正方形，第五個(gè)比第四個(gè)多五個(gè)小正方形，那么第五個(gè)就有十五個(gè)小正方形

8、，依次類推，第六個(gè)圖形就有二十一個(gè)小正方形，第七個(gè)圖形就有二十八個(gè)小正方形，第八個(gè)圖形就有三十六個(gè)小正方形。那么上面的橫線上分別填上10、15、21、28、36，第n個(gè)圖形就應(yīng)該有1+2+3+4+5+6+n= 個(gè)小正方形。這也體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。例2:小明的父母出去散步，從家走了20分到一個(gè)離家900米的報(bào)亭，母親隨即按原速返回。父親看了10分報(bào)紙后，用了15分返回家。你能在下面的平面直角坐標(biāo)系中畫出表示父親和母親離家的時(shí)間和距離之間的關(guān)系嗎？結(jié)合探索規(guī)律和生活中的實(shí)際問(wèn)題，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。并能在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)候注意一些基本原

9、則，如是知形確定數(shù)還是知數(shù)確定形，在探索規(guī)律的過(guò)程中應(yīng)該遵循由特殊到一般的思路進(jìn)行，從而歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論。二、學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)解決問(wèn)題的靈活性，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂數(shù)形結(jié)合就是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，根據(jù)對(duì)象的屬性，將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。數(shù)形結(jié)合的結(jié)合思想主要體現(xiàn)在以下幾種：（1）用方程、不等式或函數(shù)解決有關(guān)幾何量的問(wèn)題; (2)用幾何圖形或函數(shù)圖象解決有關(guān)方程或函數(shù)的問(wèn)題；（3）解決一些與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問(wèn)題；（4）以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問(wèn)題。例1：一個(gè)角的補(bǔ)角是這個(gè)角余角

10、的3倍，求這個(gè)角的度數(shù)。解：設(shè)這個(gè)角為X0，則它的余角為（900-x0）,它的補(bǔ)角為（1800-x0）根據(jù)題意得：1800-x0=3（900-x0）解這個(gè)方程得：x0=450所以這個(gè)角為450例2：一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯如圖所示，它的長(zhǎng)為8m,寬為5m。如果地毯中央長(zhǎng)方形圖案的面積為18m2,那么花邊有多寬? SHAPE  * MERGEFORMAT 如果設(shè)花邊的寬為xm,那么地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)_ (8-2x)_m,寬為_(_5-2x)_m.根據(jù)題意，可得方程_(8-2x)(5-2x)=18_。解這個(gè)方程得出x的值這就是用方程的方法來(lái)解決有關(guān)幾何圖形的問(wèn)題例4

11、：A、B 兩地相距150千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B 兩地相向而行。假設(shè)他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時(shí)間t(時(shí))的一次函數(shù).1 時(shí)后乙距A地120千米,  2 時(shí)后甲距A地 40千米. 問(wèn) 經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇 ?                        分析可以分別作出兩人s 與t 之間的關(guān)系圖象，找出交點(diǎn)的橫

12、坐標(biāo)就行了。     09-12-11 16:22:00     作者：劉耀琴    編輯：studa090420  例5：下圖中 L1 ，L2 分別表示 B 離岸起兩船相對(duì)于海岸的距離與追趕時(shí)間之間的關(guān)系。 SHAPE  * MERGEFORMAT 根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：當(dāng)時(shí)間t等于多少分鐘時(shí)，我邊防快艇B能夠追趕上A。 SHAPE  * MERGEFORMAT  分析：可先根據(jù)圖象給出的信息，確定L1,L2的函數(shù)表達(dá)式，然

13、后把兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式組成方程組，解這個(gè)方程組就得到了兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為所得結(jié)論。解：由圖象知：直線L2過(guò)點(diǎn)（0，6）和點(diǎn)（10，8）直線L2過(guò)點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（10，6）設(shè)直線L1的表達(dá)式為s=k1t;直線L2的表達(dá)式為s=k2t+b所以    10k1=6      k1=           s= t       10k2+b=8  &

14、#160;         b=6       10k2+6=8   10k2=2    k2=   b=6s= t+6s= t                      

15、0;   t=15             解這個(gè)方程組得：S= t+6                         s=9所以，當(dāng)時(shí)間t等于15分鐘時(shí)，我邊防快艇B能夠追趕上A  。  由以上的

16、幾個(gè)例子，我們可以看出數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用往往能使一些錯(cuò)綜復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，結(jié)合其它數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時(shí)間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會(huì)使學(xué)生在認(rèn)識(shí)層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效。參考文獻(xiàn)：1 全日制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）。北京師范大學(xué)出版社2 初中生學(xué)習(xí)法與能力培養(yǎng)任勇3 2008年陜西中考全程指導(dǎo)中考命題研究組     09-1

17、2-11 16:22:00     作者：劉耀琴    編輯：studa090420  例5：下圖中 L1 ，L2 分別表示 B 離岸起兩船相對(duì)于海岸的距離與追趕時(shí)間之間的關(guān)系。 SHAPE  * MERGEFORMAT 根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：當(dāng)時(shí)間t等于多少分鐘時(shí)，我邊防快艇B能夠追趕上A。 SHAPE  * MERGEFORMAT  分析：可先根據(jù)圖象給出的信息，確定L1,L2的函數(shù)表達(dá)式，然后把兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式組成方程組，解這個(gè)方程組就得到了兩條直線的交點(diǎn)坐

18、標(biāo)，即為所得結(jié)論。解：由圖象知：直線L2過(guò)點(diǎn)（0，6）和點(diǎn)（10，8）直線L2過(guò)點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（10，6）設(shè)直線L1的表達(dá)式為s=k1t;直線L2的表達(dá)式為s=k2t+b所以    10k1=6      k1=           s= t       10k2+b=8            b=6       10k2+6=8   10k2=2    k2=   b=6s= t+6s= t