最近九年北京高考數(shù)學(xué)(理)壓軸題(含答案)

1、1(d匕京17)設(shè)引和5是兩個(gè)等差數(shù)列，記o=max bi Win,b2-a2n,，bn -ann(n=1,2,3,)，其中maxK2，,xs表示xx2，,xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù).(I )若an=n, bn=2 n 1 ,求ci,C2,C3的值，并證明g是等差數(shù)列；(n )證明：或者對(duì)任意正數(shù)M,存在正整數(shù) m,當(dāng)n沏時(shí)，% M ;或者存在正n整數(shù)m,使得Cm,Cm+1,Cm+2,是等差數(shù)列.2 (北京 16)設(shè)數(shù)列A： ai , a2，aN (N>2)。如果對(duì)小于n(2w nw N)的每個(gè)正整數(shù)k都有ak v an ,則稱n是數(shù)列A的一個(gè)G時(shí)刻”。記G (A)是數(shù)列A的所有“G時(shí)刻”組

2、成 的集合。(I)對(duì)數(shù)列A: -2 , 2, -1 , 1, 3,寫出G (A)的所有元素；(II)證明：若數(shù)列A中存在an使彳導(dǎo)an > a1，則G (A)；(III)證明：若數(shù)列 A滿足an- an 1 <1 (n=2,3,N)，則G (A)的元素個(gè)數(shù)不小于 aN - a1。3 (北京 15 ) 已知數(shù)列 an 滿足：a1 N* , aW36 ,且 2an , an W18，an 1c cc n n 1, 2, .2an 36, an 18 * 記集合M an |n N .(I )若© 6 ,寫出集合M的所有元素；(n)若集合 M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有

3、元素都是3的倍數(shù)； (出)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.4 (北京 14)對(duì)于數(shù)又W列 P(&,bi),(a2,b2),L，心)，記Ti(P) & bi,Tk(P) bk maxTk i(P),ai a? L aj(2 k n),其中maxTk i (P), ai a? L aj 表示 Tk i(P)和 a a2 L ak 兩個(gè)數(shù)中最大的 數(shù)， 對(duì)于數(shù)對(duì)序列P(2,5),(4,1),求Ti(P),T2(P)的值.(2)記m為a,b,c,d四個(gè)數(shù)中最小值，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)(a,b),(c,d)組成的數(shù)對(duì)序列g(shù)P(a,b),(c,d)和P'(a,b),(c,d)，試分別對(duì) m

4、a和m d的兩種情況比較T2(P)和T2(P')的大小.(3)在由5個(gè)數(shù)對(duì)(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列P使T5(P)最小，并寫出T5(P)的值.(只需寫出結(jié)論).5 (北京13)已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An ,第n項(xiàng)之后的各項(xiàng)an 1 , an 2 , L L的最小值記為Bn, dn An Bn(1)若an為2, 1,4, 3, 2, 1, 4,3, LL,是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意n N* , an 4 an)寫出 d1，d2, d3, d4的值。(2)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)

5、，證明：dn d ( n 1,2,3,L )的充分必要條件為a0是公差為d的等差數(shù)列。(3)證明：若a 2, dn d (n 1,2,3,L)則an的項(xiàng)只能是1或2,且有無(wú)窮多項(xiàng)為1.6 (4b京12)設(shè)A是由mxn個(gè)實(shí)數(shù)組成的 m行n列的數(shù)表，滿足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于1,且所有數(shù)的和為零，記S(m, n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。對(duì)于A S(m,n),記n(A)為A的第i行各數(shù)之和 (K i < m), Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(1 <j< n)：記 K(A)為 I ri(A) I , I R2(A) I ,； I Rm(A) I , I C(A) I , I C

6、2(A) I , I Cn(A) I 中的最小值。(1)對(duì)如下數(shù)表A,求K (A)的值；11-0.80.1-0.3-1(2)設(shè)數(shù)表ACS (2,3)形如11CAB-1求K (A)的最大值;(3)給定正整數(shù)t,對(duì)于所有的 ACS (2,2t+1 ),求K (A)的最大值。7 (北京 11)若數(shù)列 An :a10,L ,an( n 2)滿足 ak 1 ak 1(k 1,2,L ,n 1),則稱An為E數(shù)列，記S(An) a1 a2 Lan。(i)寫出一個(gè)滿足 a1 a5 0,且S(A) 0的E數(shù)列A ；(n)若a1 12,n 2000,證明E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是 烝 2011 ；8 （北

7、京10）已知集合SnX|X（Xi,X2，Xn）,X10,1,i1,2,n（ n2）對(duì)于 A (a1，a2,an,),B (匕也,bn,)Sn,定義A與B的差為A B(|ai b! |,|a2 b2|,|an b n|);A與B之間的距離為d(A,B)1al bi|i 1(I)證明： A, B,C Sn,有 A B Sn,且 d(A C,B C) d(A,B)；(n)證明： A, B,C Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)(ID)設(shè)P Sn, P中有m(m > 2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為一(P).d證明：一(P)dmn< 2(m

8、1)9 (北京09)已知數(shù)集Aai,a2,L an 1 a a? L an,n 2 具有性質(zhì) P；對(duì)任一,aj _,一息的i, j 1 i j n , aiaj與 兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A.ai(I)分別判斷數(shù)集1,3,4與1,2,3,6是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由;(n)證明：a11 且a1比 L an a .1 111101n ,aa2 L an(出)證明：當(dāng)n5時(shí)，a1，a2 ,a3, a4, a5成等比數(shù)列.一1(北京17)【解析】(1)易知a11 ,a22 ,a33 且 b 1 ,b23,b35 .Ci bi ai 0 ,c2maxh2a1 , b22a2 max1,11 ,c3maxb

9、13a1 , b23a2,b3 3a3 max2,3,42.下面我們證明，對(duì)n N*且n>2,都有Cn bi ai n .當(dāng)k N*且2< k < n時(shí)，bk ak nb1a1n 2k i nkin2k 2 n k ik i 2 nk 10且 2 n< 0, 1 bk aknbi ai n < 0 b ain > bk ak n.因此，對(duì)n N* 且 n > 2 , Cn biain1 n ,則 Cn i Cn1 .又C G 1 ,故Cn i Cn1對(duì)n N*均成立，從而 Cn為等差數(shù)列.(2)設(shè)數(shù)列an與bn的公差分別為da,db,下面我們考慮Cn的

10、取值.Xbi ai n , b2 a2 n ,，bn an n ,考慮其中任意項(xiàng)bi ai n ( i N*且1&in),biai nb1i 1dba i 1 da n(b1a1n) (i1)(dbdan)下面我們分da 0, da 0, da 0三種情況進(jìn)行討論.(1)若 da 0,則 n a n bi a n i 1 db若 db w 0 ,則 b ai n b ai n i 1 db < 0則對(duì)于給定的正整數(shù) n而言，Cn bi ai n此時(shí)Cn 1 Cna ,故Cn為等差數(shù)列.若 db 0 ,則 bi a nbn an n i n db < 0則對(duì)于給定的正整數(shù) n

11、而言，Cn bn an n bn ai n .此時(shí)Cn 1 Cn db ai ,故Cn為等差數(shù)列.此時(shí)取m 1 ,則g , C2, C3, L是等差數(shù)列，命題成立.(2)若da 0,則此時(shí) da n db為一個(gè)關(guān)于n的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函 數(shù).故必存在m N* ,使得當(dāng)n>m時(shí)，da n db 0則當(dāng) n>m 時(shí)，bi ai nbi ai n i 1 da n db < 0 ( i n ,1 < i < n ).因此，當(dāng) n > m時(shí)，Cn bi ai n .此時(shí)Cni Cnai,故Cn從第m項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列，命題成立.(3)若 da0,則此時(shí)da n

12、db為一個(gè)關(guān)于n的一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函故必存在s N ,使得當(dāng)n>s時(shí)，dadb 0則當(dāng)n > s時(shí)，,IJ /*ai nbnan n i n da n db < 0 （ i N ,1 < i < n ）因此，當(dāng)n>s時(shí)，此時(shí) cn bn an n n n令 da A 0, daCnbn an n .bnanda n da ainaidb B, bdbCdb卜面證明cn An B C對(duì)任意正數(shù) nncnM .nM ,存在正整數(shù)m ,使得當(dāng)n>m時(shí),1 ( x表示不大于x的最大整數(shù)) M B - -1 B A B M ,ACnM B> An B

13、> Am B A JnA此時(shí)命題成立.若C 0,則取m當(dāng)n > m時(shí)，CnIM C B> An B C > Am B C A J1 B C > MnA此時(shí)命題也成立.因此，對(duì)任意正數(shù) M ,存在正整數(shù) m ,使得當(dāng)n> m時(shí)， M .n綜合以上三種情況，命題得證.2 （北京16） 解：（I ）根據(jù)題干可得，a1= - 2, a2=2 , a3= - 1, a4=1 , a5=3 , av a2滿足條件，2滿足條件，a2>a3不滿足條件，3不滿足條件,因此5滿足條件，因此G (A)a2>a4不滿足條件，4不滿足條件，a1, a2, a3, a4,均

14、小于a5 =2, 5.(n )因?yàn)榇嬖赼n > a1,設(shè)數(shù)列A中第一個(gè)大于 a1的項(xiàng)為ak,則ak>a1辦i,其中244- 1,所以 kCG (A), G (A)名；（出）設(shè)A數(shù)列的所有 G時(shí)亥為iiVi2Lvik,對(duì)于第一個(gè) G時(shí)刻”ii,有a- >ai冶(i=2, 3, L, ii-1),則1 «自-a<3. - - a- _ 尸1 11L對(duì)于第二個(gè) G時(shí)刻”ii,有立一 > a.咕(i=2, 3, L, ii- 1),則a - a - Wa, _ a- _ 】司2 - -n 1才 JL n 1 m 1 匚1* IIj類似的a - - a -得， a

15、 a 局.1! 1； % ”于是，k> ( a - - a .) + ( 0“7L&二 )+L+ (a- a； ) + (a； a1) =a-工111 11對(duì)于aN ,右N CG (A),則&.=a n .若 N?G (A),則 aNW亙，11.L, aN,中存在G時(shí)刻”與只有k個(gè)G時(shí)刻”矛盾.3 (北京 i5 )解：(i ) ai M 6,i2,24 .6,a2 i2,a3 24,a4 2 24 36 i2,（n）因?yàn)榧?m存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè) ak是3的倍數(shù)。2an , an w i8，由an in i, 2, 24 36, an i8當(dāng)n k時(shí)，an

16、都是3的倍數(shù)。如果k i ,則集合M的所有元素都是3的倍數(shù)。如果k i ,因?yàn)閍k 2ak i或ak 2ak i 36 , 所以2ak i是3的倍數(shù)，于是ak i是3的倍數(shù)。類似可得，ak 2,ak 3,L ai都是3的倍數(shù)。綜上，若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則M的所有元素都是3的倍數(shù)。2a , an < i8,（出）若 ai 36,由 % in i, 2,2縱 36,， i8，可歸納證明an 36 n i, 2, M 36 .因?yàn)閍i是正整數(shù)，由a?2&,& 182al 36同 18所以a2是2的倍數(shù)。從而當(dāng)n 3時(shí)，4時(shí)4的倍數(shù)。如果ai是3的倍數(shù)，由（n）知對(duì)所

17、有正整數(shù)n , an是3的倍數(shù)。因此當(dāng)n 3時(shí)，an12,24,36 .這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過(guò) 5.如果ai不是3的倍數(shù)，由（n）知對(duì)所有正整數(shù)n , an不是3的倍數(shù)。因此當(dāng)n 3時(shí)，an4,8,16,20,28,32 .這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過(guò) 8.當(dāng) ai 1 時(shí)，M 1,2,4,8,16,20,28,32 由 8 個(gè)元素。綜上可知：集合 M的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.4 （北京 14）解：（I） T1（P） 2 5 7T2(P') max c d b,c a bT1（P） 1 max T1（P）,2 41 max 7,6 =8(H) T2(P) max a b d,a c d當(dāng) m=

18、a 時(shí)，t2(P')= max c db, c a b = c d b因?yàn)?c d b cbd,Sacdc b d ,所以 T2(P) WT2(P')當(dāng) m=d 時(shí)，T2(P')max c d b,c a bcab因?yàn)?a b d < c a b,且 a c dc a b 所以 Tz(P)&T2(P')。所以無(wú)論 m=a還是m=d , Tz( P) & Tz(P')都成立。(m)數(shù)對(duì)序列 P: (4,6), (11,11), (16,11), (11,8), (5,2)的 T5(P)值最小,T1(P)=10, Tz(P)=26, T

19、3(P)=42, T，P)=50, Ts(P)=525 (北京 13)解：(1) d1 2 1 1 , d2 2 1 1, d3 4 1 3, d4 4 1 3(2)充分性：若an是公差為d的等差數(shù)列，則an a1 (n 1)d于是 An an a (n 1)d , Bn an 1 a nddn An Bn d必要性：若dn d (n 1,2,3,L )，假設(shè)ak是第一個(gè)使得an烝10的項(xiàng)，則dk Ak Bk aki Bk aki ak 0, Bk ak 1 ak 0,與 dn d 0矛盾因此an是不減的數(shù)列進(jìn)而，dnAn Bn an an 1 d ,即烝 i Hn d因此是公差為d的等差數(shù)列

20、。(3)首先，an中的項(xiàng)不能是0,否則di ai 0 2 ,矛盾其次，an中的項(xiàng)不能超過(guò)2,用反證法證明如下：若an中有超過(guò)2的項(xiàng)，設(shè)ak是第一個(gè)大于2的項(xiàng)，中一定存在某項(xiàng)為i,否則與di i矛盾。當(dāng)n k時(shí)，an 2,否則與dk i矛盾；因此存在最大的i在2到k i之間，使得aii ,此時(shí)diAiBi2Bi2 2 0綜上，an中沒(méi)有超過(guò)2的項(xiàng)所以an中的項(xiàng)只能是i或2下面證明i有無(wú)數(shù)個(gè)，用反證法證明如下：若ak為最后一個(gè)i,則dk Ak Bk 2 2 0,矛盾因此i有無(wú)數(shù)個(gè)6 (北京 i2)解：(i)由題意可知 ri A i.2,2 A i.2, Ci A i.i, q A 0.7,C3 A

21、 i.8 k A 0.7(2)先用反證法證明 kAWi：若 k A i ,則 1cl A | |a i| a i i , /.a 0同理可知b 0, . a b 0由題目所有數(shù)和為0即a b c i c i a b i與題目條件矛盾，k A <1 .易知當(dāng)a b 0時(shí),k A 1存在，k A的最大值為1"白，,士， 2t(3) k A的最大值為一 t首先構(gòu)造滿足k(A)1.22t 1t 2的 A "j(i 1,2,j1,2,，2t 1)：a1,1a1,2ai,t1,al,t 1ai,t 2a1,2t ia2,1a2,2a2,tt2 tt(t 2)1一 , a2,t 1

22、a2,t 2a2,2t 1經(jīng)計(jì)算知,A中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1,所有元素之和為0,且|n(A)l g(A)|2t 1t 2|C1(A)| |C2(A)| . |Ct(A)|t2t 1 2t1 |Ct 1(A)| |Ct 2(A)| . |c2t 1(A)| 12t 1t 22t 1 口 4 小下面證明是最大值.若不然t 22t 1k(A) x .t 2則存在一個(gè)數(shù)表A S(2,2t 1),使得由k(A)的定義知A的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于x,而兩個(gè)絕對(duì)值不超過(guò)1的數(shù)的和，其絕對(duì)值不超過(guò)2,故A的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間x,2中.由于x 1.x 1 ,故A的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與

23、列和的符號(hào)相同，且絕對(duì)值均不小于設(shè)A中有g(shù)列的列和為正，有h列的列和為負(fù)，由對(duì)稱性不妨設(shè)g h ,則 g t,h t 1.另外，由對(duì)稱性不妨設(shè) A的第一行行和為正，第二行行和為負(fù).考慮A的第一行，由前面結(jié)論知A的第一行有不超過(guò)t個(gè)正數(shù)和不少于t 1個(gè)負(fù)數(shù)，每 個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò) 1 (即每個(gè)正數(shù)均不超過(guò) 1),每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值不小于 x 1 (即每 個(gè)負(fù)數(shù)均不超過(guò)1 x).因此1rl(A)| r1(A) t 1 (t 1)(1 x) 2t 1 (t 1)x x 2t 1 (t 2)x x,故A的第一行行和的絕對(duì)值小于x,與假設(shè)矛盾.因此k A的0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。7 (北京 11

24、)解：(I ) 0, 1, 2, 1,(答案不唯一，0, 1, 0, 1, 0也是一個(gè)滿足條件的 E的數(shù)列A5)(n )必要性：因?yàn)?E數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以 ak 1 ak 1(k1,2,1999).所以A5是首項(xiàng)為12,公差為1的等差數(shù)列.所以 a2000=12+ (2000 1 ) M=2011.充分性，由于 a2000a1000<1,a2。一a©。司a2 a1 W所以 a2000aW9999 ,即 a2000、1+1999.又因?yàn)?a1=12 , a2000=201 1,所以 a2000=a 1+1999.故 an1an10(k1,2,1999)，即 An是遞增數(shù)列.

25、綜上，結(jié)論得證。(出)令Ckak1ak 10(k1,2,n1),則Ca1.因?yàn)?a2a1c1a1a1 c1 c2an aC1C2Cn 1,所以 S(An)na (n 1)c1(n 2電(n 3電g1nn (1C1)(n1) (1C2)(n2)(1 Cn 1).因?yàn)镃k 1,所以1 Ck為偶數(shù)(k 1, ,n 1).所以 *1 C1)(n1) (1C2)(n2)(1Cn)為偶數(shù)，所以要使S(An) 0,必須使1)為偶數(shù),8 (北京 10)證明：(I)設(shè) A(a1,a2,., an) , B (匕,1,., bn), C (g。,.。) Sn因?yàn)?ai , b 0,1，所以 abi0,1 ,(i

26、1,2,., n)從而 A B(舊b1|,|a2b? |,.,| %bn |) Sn又 d(A C, B C)11a c I lbC- II由題意知 a- bi, q 0,1 (i 1,2,., n).當(dāng) G0時(shí)，|aiG |bc |ai b |;當(dāng) G1 時(shí)，|aiG |bG |(1aJ (1bi)| bi|n所以 d(A C,B C)|ai b | d(A,B)i 1(II)設(shè) A 0,，an), B 依為，bn) , C (g。，a) Sd(A, B) k , d(A,C) l，d(B,C)記 O (0,0，,0)(I)可知d(A,B)d(AA,B A)d(O,B A)d(A,C)d(AA,C A)d(O,C A)d(B,C)d(BA,C A)所以|bi ai | (i1