高三空間向量與立體幾何專練

1、空間向量與立體幾何1如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)棱，棱AA1與底面所成的角為，點(diǎn)F為DC1的中點(diǎn).(I)證明：OF/平面；(II)求三棱錐的體積.2如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是上任意一點(diǎn)(1) 求證：；(2) 當(dāng)面積的最小值是9時(shí)，證明平面3如圖，在四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD平面ABCD，E、F分別是PB、AD的中點(diǎn)，PD=2（1）求證：BCPC；新課標(biāo)第一網(wǎng)（2）求證：EF/平面PDC； （3）求三棱錐BAEF的體積。4如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，左視圖是

2、直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。（）求該幾何體的體積；ABCEDM4222左視圖俯視圖（）求證：EM平面ABC； 5如圖，AC 是圓 O 的直徑，點(diǎn) B 在圓 O 上，交 AC 于點(diǎn) M，平面，AC4，EA3，F(xiàn)C1（I）證明：EMBF；（II）求平面 BEF 與平面ABC 所成的二面角的余弦值6如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，求證：；(2)設(shè)點(diǎn)在棱上，若平面，求的值.,為的中點(diǎn).（）求證：平面；（）求點(diǎn)到面的距離9在三棱錐PABC中，PAC和PBC都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，AB2，O，D分別是AB，PB的中點(diǎn)(1)求證：OD平面PAC；(2)求證：PO平面ABC；(

3、3)求三棱錐PABC的體積11如圖所示,三棱柱中,ABCA1C1OB1平面平面,又,與相交于點(diǎn).()求證:平面;()求與平面所成角的正弦值;12.如圖所示，直角梯形與等腰直角所在平面互相垂直，為的中點(diǎn)，.（）求證：平面平面;（）求證：平面；（）求四面體的體積.13如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。（）求該幾何體的體積；ABCEDM4222左視圖俯視圖（）求證：EM平面ABC；15如圖所示，四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA面ABCD，PA=2,過(guò)點(diǎn)A作AE

4、PB,AFPC,連接EF（1）求證：PC面AEF；（2）若面AEF交側(cè)棱PD于點(diǎn)G（圖中未標(biāo)出點(diǎn)G）,求多面體PAEFG的體積。16.如圖，在三棱錐中，平面，為側(cè)棱上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積；（3）在的平分線上確定一點(diǎn)，使得平面，并求此時(shí)的長(zhǎng) 18.17.已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，平面平面，分別是的中點(diǎn)（I）求平面平面；（II）若是線段上一點(diǎn)，求三棱錐的體積（第20題）18.如圖，在梯形中，四邊形為矩形，平面平面，（）求證：平面；（）設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，求二面角的余弦值A(chǔ)BCDEF19.如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在

5、平面，CE/DF，（）求證：BE/平面ADF；（）若矩形ABCD的一個(gè)邊AB =，EF =，則另一邊BC的長(zhǎng)為何值時(shí)，三棱錐F-BDE的體積為？ABDCMPN(第20題)21. 已知正四棱錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為M為線段PC的中點(diǎn)() 求證：PA平面MDB；() N為AP的中點(diǎn)，求CN與平面MBD所成角的正切值22如圖，已知直四棱柱，底面為菱形，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn) （）求證：平面；（）當(dāng)?shù)谋戎禐槎嗌贂r(shí)，平面，并說(shuō)明理由,23.如圖，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)證明：平面AB1C平面A1BC1；(2)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1

6、B平面B1CD，求A1DDC1的值24.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是上任意一點(diǎn)。（1）求證：；（2）當(dāng)面積的最小值是9時(shí)，在線段上是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正切值為2？若存在？求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由25.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是上任意一點(diǎn)。（1）求證：；（2）當(dāng)面積的最小值是9時(shí)，在線段上是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正切值為2？若存在？求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由26.如圖：在矩形ABCD中，AB5，BC3，沿對(duì)角線BD把ABD折起，使A移到A1點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求證：BCA1D；(2)求直線A1B與平面BCD所

7、成角的正弦值.27BAEDCF如圖的幾何體中，平面，平面，為等邊三角形， ，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.28一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示(1)請(qǐng)畫(huà)出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；(2)證明：A1C平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結(jié)論29.一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示(1)請(qǐng)畫(huà)出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；(2)證明：A1C平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結(jié)論30.如圖，已知矩形的邊與正方形所在平

8、面垂直，是線段的中點(diǎn)。(1)求異面直線與直線所成的角的大?。?2)求多面體的表面積。31.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點(diǎn)E在線段AD上，且CEAB。（1）求證：CE平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱錐P-ABCD的體積32.如下圖（圖1）等腰梯形PBCD，A為PD上一點(diǎn)，且ABPD，AB=BC，AD=2BC，沿著AB折疊使得二面角P-AB-D為的二面角，連結(jié)PC、PD，在AD上取一點(diǎn)E使得3AE=ED，連結(jié)PE得到如下圖（圖2）的一個(gè)幾何體 （1）求證：平面PAB平面PCD；圖2 （2）求PE與平面PBC所成角的正弦值33.如

9、圖，在直三棱柱中，90,是的中點(diǎn). （）求異面直線與所成的角；（）若為上一點(diǎn)，且，求二面角的大小.解法一： （）異面直線與所成的角為. 6分 （） 所求二面角為.34.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是上任意一點(diǎn)。（1）求證：；（2）當(dāng)面積的最小值是9時(shí)，在線段上是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正切值為2？若存在？求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由35.如圖，PA平面ABCD，ABCD是矩PBACDFE形，PA=AB=1，,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)。求三棱錐E-PAD的體積；當(dāng)E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；證明：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PEAF

10、。36（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD =2AD =8，AB =2DC =。 （I）設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PAD； （）求三棱錐CPAB的體積答 案1如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)棱，棱AA1與底面所成的角為，點(diǎn)F為DC1的中點(diǎn).(I)證明：OF/平面；(II)求三棱錐的體積.解：（I）四邊形ABCD為菱形且， 是的中點(diǎn) . .2分 又點(diǎn)F為的中點(diǎn), 在中，, .4分 平面，平面 , 平面.6分 （II）四邊形ABCD為菱形, , 又，且平面 , 平面,

11、 平面 , 平面平面. .8分 在平面內(nèi)過(guò)作，則，是與底面所成的角，. .10分在， 故三棱錐 底面上的高為，又，所以，三棱錐的體積 .2如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是上任意一點(diǎn)(1) 求證：；(2) 當(dāng)面積的最小值是9時(shí)，證明平面.解：（1）證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)。 因?yàn)樗倪呅问橇庑危浴?又因?yàn)槠矫?，平面為上任意一點(diǎn)，平面，所以- - 7分（2）連由（I），知平面，平面，所以在面積最小時(shí)，最小，則，解得-10分由且得平面則，又由 得，而，故平面-3如圖，在四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD平面ABCD，E、F分別是PB、AD的中點(diǎn)，PD=2（1）求證：BCPC；

12、 （2）求證：EF/平面PDC； （3）求三棱錐BAEF的體積。解證：（）四邊形ABCD是正方形BCDC又PD面ABCD, BC面ABCDBCPD, 又PDDC=DBC面PDC 從而B(niǎo)CPC-分（）取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，GD，則四邊形EFGD是平行四邊形。 EF/GD, 又EF/平面PDC-分（）取BD中點(diǎn)O，連接EO，則O/PD，PD平面ABCD，EO底面ABCD， -12分4如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。（）求該幾何體的體積；（）求證：EM平面ABC； ()EA平面

13、ABC,EAAB,又ABAC, AB平面ACDE6分M為BD的中點(diǎn)，MGCD且MGCD,于是MGAE,且MGAE,所以四邊形AGME為平行四邊形,EMAG, EM平面ABC 5如圖，AC 是圓 O 的直徑，點(diǎn) B 在圓 O 上，交 AC 于點(diǎn) M，平面，AC4，EA3，F(xiàn)C1（I）證明：EMBF；（II）求平面 BEF 與平面ABC 所成的二面角的余弦值，即（也可由勾股定理證得）， 平面而平面， 6分（2）延長(zhǎng)交于，連，過(guò)作，連結(jié)由（1）知平面，平面，而，平面平面，為平面與平面所成的二面角的平面角 8分在中，由，得，則是等腰直角三角形，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為6如圖，在底面為直角梯形

14、的四棱錐中，平面，求證：；(2)設(shè)點(diǎn)在棱上，若平面，求的值.（1）證明：由題意知 則 - 6分（2） 過(guò)作/交于 連結(jié)， ，平面.又平面，平面平面，.又 ，即-7圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)棱，棱AA1與底面所成的角為，點(diǎn)F為DC1的中點(diǎn).(I)證明：OF/平面；(II)求三棱錐的體積.解：（I）四邊形ABCD為菱形且， 是的中點(diǎn) . .2分 又點(diǎn)F為的中點(diǎn), 在中，, .4分 平面，平面 , 平面.6分 （II）四邊形ABCD為菱形, , 又，且平面 , 平面, 平面 , 平面平面. .8分 在平面內(nèi)過(guò)作，則，是與底面所成的角，. .10分在， 故三棱錐

15、 底面上的高為，又，所以，三棱錐的體積 8.已知四棱錐的底面為菱形，且，,為的中點(diǎn).（）求證：平面；（）求點(diǎn)到面的距離（I）證明：連接 為等腰直角三角形為的中點(diǎn) 2分 又 是等邊三角形 ，4分又 ，即 6分 （II）設(shè)點(diǎn)到面的距離為 8分 ,到面的距離 10分 點(diǎn)到面的距離為9在三棱錐PABC中，PAC和PBC都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，AB2，O，D分別是AB，PB的中點(diǎn)(1)求證：OD平面PAC；(2)求證：PO平面ABC；(3)求三棱錐PABC的體積（1）分別為的中點(diǎn)，又平面，平面平面4分（2）如圖，連結(jié)，為中點(diǎn)，, ，同理, ，6分又,，,平面8分（3）由（2）可知垂直平面為三棱錐的高，且

16、11如圖所示,三棱柱中,平面平面,又,與相交于點(diǎn).()求證:平面;()求與平面所成角的正弦值;【解】()由題知,所以為正三角形,所以,1分又因?yàn)?且所以為正三角形,2分又平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn),所以為的中點(diǎn),所以3分又平面平面,且平面平面,4分且平面5分所以平面6分()解法一連結(jié)交于,取中點(diǎn),連結(jié), 則,又平面 所以平面,7分 所以直線與平面所成角為.8分而在等邊中,所以,同理可知,在中,10分所以中,.所以與平面所成角的正弦值為.12分解法二由于,平面,所以平面,7分 所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離, 由平面,所以到平面的距離即,8分 也所以與平面所成角的正弦值為,9分而在等邊中,所

17、以,同理可知,所以,10分又易證平面,所以,也所以,11分所以即與平面所成角的正弦值為.12.如圖所示，直角梯形與等腰直角所在平面互相垂直，為的中點(diǎn)，.（）求證：平面平面;（）求證：平面；（）求四面體的體積. 解：（）面面，面面，,面， 2分又面，平面平面. 4分（）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則 ,又， 6分四邊形是平行四邊形，又面且面，面. 8分（），面面=， 面.就是四面體的高，且=2. 10分=2=2， 13如圖是某直三棱柱被削去上底后所得幾何體的直觀圖、左視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，左視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示。（）求該幾何體的體積；（）求證：EM平

18、面ABC； ()EA平面ABC,EAAB,又ABAC, AB平面ACDE6分M為BD的中點(diǎn)，MGCD且MGCD,于是MGAE,且MGAE,所以四邊形AGME為平行四邊形,EMAG, EM平面ABC.19. （本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng). 證明：（）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.又因?yàn)镻A平面ABCD.所以PABD. 所以BD平面PAC.（）設(shè)ACBD=O.因?yàn)锽AD=60，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P（0，2），A

19、（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設(shè)PB與AC所成角為，則.（）由（）知設(shè)P（0，t）（t0），則設(shè)平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，平面PDC的法向量 因?yàn)槠矫鍼CB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=EF= SE=（10分）15如圖所示，四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA面ABCD，PA=2,過(guò)點(diǎn)A作AEPB,AFPC,連接EF（1）求證：PC面AEF；（2）若面AEF交側(cè)棱PD于點(diǎn)G（圖中未標(biāo)出點(diǎn)G）,求多面體PAEFG的體積。解析：（1）證明：PA面ABCD,BC在面內(nèi)， PABC BABC,BCBA=B,BC面PAB，又AE在面PAB內(nèi) B

20、CAEAEPB,BCPB=B, ,AE面PBC又PC在面PBC內(nèi)AEPC, AEPC, AEAF=A, PC面AEF5分（2）PC面AEF, AGPC, AGDC PCDC=C AG面PDC, GF在面PDC內(nèi)AGGFAGF是直角三角形，由（1）可知AEF是直角三角形，新課標(biāo)第一網(wǎng) AE=AG=,EF=GF=, 又AF=,PF=, 16.如圖，在三棱錐中，平面，為側(cè)棱上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積；（3）在的平分線上確定一點(diǎn)，使得平面，并求此時(shí)的長(zhǎng) 18.解：（1）因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，所以由三視圖可得，在中，為中點(diǎn)，所以，所以平面

21、，4分（2）由三視圖可得，由知，平面，又三棱錐的體積即為三棱錐的體積，所以，所求三棱錐的體積8分（3）取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使得，點(diǎn)即為所求因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，連接，四邊形的對(duì)角線互相平分，所以為平行四邊形，所以，又平面，所以在直角中，12分17.已知在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，是正三角形，平面平面，分別是的中點(diǎn)（I）求平面平面；（II）若是線段上一點(diǎn)，求三棱錐的體積（I）證明：，平面PAD， （6分）EF/CD，平面PAD，平面EFG，平面EFG平面PAD； （II）解：CD/EF，CD/平面EFG，故CD上的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于D到平面EFG的距離，

22、 ，平面EFGH平面PAD于EH， D到平面EFG的距離即三角形EHD的高,等于18.如圖，在梯形中，四邊形為矩形，平面平面，（）求證：平面；（）設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，求二面角的余弦值 (1)證明：則，則得，面平面，面平面平面 7分（II）過(guò)作交于點(diǎn)，連, 則為二面角的平面角，在中，則二面角的余弦值為19.如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE/DF，（）求證：BE/平面ADF；（）若矩形ABCD的一個(gè)邊AB =，EF =，則另一邊BC的長(zhǎng)為何值時(shí)，三棱錐F-BDE的體積為？解（）過(guò)點(diǎn)E作CD的平行線交DF于點(diǎn)M，連接AM因?yàn)镃E/DF，所以四邊形CEMD是平行四邊形可得EM = CD且EM /CD

23、，于是四邊形BEMA也是平行四邊形，所以有BE/AM，而直線BE在平面ADF外，所以BE/平面ADF 6分 （）由EF =，EM = AB =，得FM = 3且由可得FD = 4，從而得DE = 28分因?yàn)椋云矫鍯DFE所以， 10分因?yàn)椋跃C上，當(dāng)時(shí)，三棱錐F-BDE的體積為20.如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE/DF，（）求證：BE/平面ADF；（）若矩形ABCD的一個(gè)邊AB =，EF =，則另一邊BC的長(zhǎng)為何值時(shí)，三棱錐F-BDE的體積為？解（）過(guò)點(diǎn)E作CD的平行線交DF于點(diǎn)M，連接AM因?yàn)镃E/DF，所以四邊形CEMD是平行四邊形可得EM = CD且EM /CD，于是四

24、邊形BEMA也是平行四邊形，所以有BE/AM，而直線BE在平面ADF外，所以BE/平面ADF 6分 （）由EF =，EM = AB =，得FM = 3且由可得FD = 4，從而得DE = 28分因?yàn)?，所以平面CDFE所以， 10分因?yàn)?，所以綜上，當(dāng)時(shí)，三棱錐F-BDE的體積為21. 已知正四棱錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為M為線段PC的中點(diǎn)() 求證：PA平面MDB；() N為AP的中點(diǎn)，求CN與平面MBD所成角的正切值本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力。滿分14分。()證明：在四棱錐PABCD中，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)O

25、M，PO由條件可得PO，AC2，PAPC2，COAO因?yàn)樵赑AC中，M為PC的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)M為PAC的中位線，得OMAP，又因?yàn)锳P平面MDB，OM平面MDB，所以PA平面MDB 6分() 解：設(shè)NCMOE，由題意得BPBC2，且CPN90因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以PCBM，同理PCDM，故PC平面BMD所以直線CN在平面BMD內(nèi)的射影為直線OM，MEC為直線CN與平面BMD所成的角，又因?yàn)镺MPA，所以PNCMEC在RtCPN中，CP2，NP1，所以tanPNC，故直線 CN與平面BMD所成角的正切值為222如圖，已知直四棱柱，底面為菱形，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn) （）求證：

26、平面；（）當(dāng)?shù)谋戎禐槎嗌贂r(shí)，平面，并說(shuō)明理由（）證明：連接,由題意可知點(diǎn)為的中點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)在中，分又面，分（）當(dāng)時(shí)， 分四邊形為菱形，且，四棱柱為直四棱柱，四邊形為矩形又，四邊形為正方形， 10分在直四棱柱中，四邊形為菱形，又，13分,23.如圖，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)證明：平面AB1C平面A1BC1；(2)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B平面B1CD，求A1DDC1的值解：(1)證明：因?yàn)閭?cè)面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1.又B1CA1B，且A1BBC1B，所以B1C平面A1BC1.又B1C平面AB1C，所以平面AB1C平面A1BC1.(

27、2)設(shè)BC1交B1C于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線因?yàn)锳1B平面B1CD，所以A1BDE.又E是BC1的中點(diǎn)，所以D為A1C1的中點(diǎn)，即A1DDC11.24.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是上任意一點(diǎn)。（1）求證：；（2）當(dāng)面積的最小值是9時(shí)，在線段上是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正切值為2？若存在？求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)。 因?yàn)樗倪呅问橇庑危浴?又因?yàn)槠矫?，平?為上任意一點(diǎn)，平面，所以-7分（2）連由（I），知平面，平面，所以在面積最小時(shí)，最小，則，解得-10分由且得平面則，又由 得，而，故平面作交于點(diǎn)，則平

28、面,所以就是與平面所成角.在直角三角形中，所以，設(shè)，則。由得。由得，即-14分25.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是上任意一點(diǎn)。（1）求證：；（2）當(dāng)面積的最小值是9時(shí)，在線段上是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正切值為2？若存在？求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)。 因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以?又因?yàn)槠矫?，平?為上任意一點(diǎn)，平面，所以-7分（2）連由（I），知平面，平面，所以在面積最小時(shí)，最小，則，解得-10分由且得平面則，又由 得，而，故平面作交于點(diǎn)，則平面,所以就是與平面所成角.在直角三角形中，所以，設(shè)，則。由得。由得，即26.如圖：在矩形ABCD中，AB

29、5，BC3，沿對(duì)角線BD把ABD折起，使A移到A1點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求證：BCA1D；(2)求直線A1B與平面BCD所成角的正弦值.解：(1)因?yàn)锳1O平面BCD，BC平面BCD，BCA1O，因?yàn)锽CCD，A1OCDO，BC面A1CD.因?yàn)锳1D面A1CD，BCA1D.(6分)(2)連結(jié)BO，則A1BO是直線A1B與平面BCD所成的角.因?yàn)锳1DBC，A1DA1B，A1BBCB，A1D面A1BC.A1C面A1BC，A1DA1C.在RtDA1C中，A1D3，CD5，A1C4.根據(jù)SA1CDA1DA1CA1OCD，得到A1O，在RtA1OB中，sinA1B

30、O.所以直線A1B與平面BCD所成角的正弦值為.(12分)27如圖的幾何體中，平面，平面，為等邊三角形， ，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.（1）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)為的中點(diǎn)，且平面，平面， ， 又， 四邊形為平行四邊形，則 平面，平面， 平面7分（2）證明：為等邊三角形，為的中點(diǎn)， 平面， ，又， 平面平面， 平面平面28一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示(1)請(qǐng)畫(huà)出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；(2)證明：A1C平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結(jié)論29.一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所

31、示(1)請(qǐng)畫(huà)出該幾何體的直觀圖，并求它的體積；(2)證明：A1C平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上取中點(diǎn)E，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結(jié)論解：(1)幾何體的直觀圖如圖四邊形BB1C1C是矩形，BB1CC1，BC1，四邊形AA1C1C是邊長(zhǎng)為的正方形，且垂直于底面BB1C1C，其體積V1 4分(2)證明：ACB90，BCAC. 三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，BCCC1. ACCC1C，BC平面ACC1A1，BCA1C.B1C1BC，B1C1A1C.四邊形ACC1A1為正方形，A1CAC1.B1C1AC1C1，A1C平面AB1C1. 8分(3)當(dāng)E為棱A

32、B的中點(diǎn)時(shí)，DE平面AB1C1.證明：如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，F(xiàn)D，DE，D，E，F(xiàn)分別為CC1，AB，BB1的中點(diǎn)，EFAB1. AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，EF平面AB1C1.同理可得FD平面AB1C1，又EFFDF，平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，DE平面AB1C1. 12分30.如圖，已知矩形的邊與正方形所在平面垂直，是線段的中點(diǎn)。(1)求異面直線與直線所成的角的大?。?2)求多面體的表面積。解：（1）因?yàn)椋约礊楫惷嬷本€與所成的角（或其補(bǔ)角）， 2分連結(jié)，在中，所以，又，所以，所以是等邊三角形， 5分所以，即異面直線與所成的角為； 6分（2） 8

33、分 10分。31.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點(diǎn)E在線段AD上，且CEAB。（1）求證：CE平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱錐P-ABCD的體積【解析】(1)證明:因?yàn)镻A平面ABCD,CE平面ABCD,所以PACE,因?yàn)锳BAD,CEAB,所以CEAD,又PAAD=A,所以CE平面PAD.(2)解:由(1)可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.又因?yàn)锳B=CE=1,ABCE,所以四邊形ABCE為矩形,所以=,又PA平面ABCD,PA=1,所以四棱錐P-ABCD的體積等于32.如下圖（圖1）等腰梯形PBCD，A為PD上一點(diǎn)，且ABPD，AB=BC，AD=2BC，沿著AB折疊使得二面角P-AB-D為的二面角，連結(jié)PC、PD，在AD上取一點(diǎn)E使得3AE=ED，連