冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)對數(shù)及其運算法則教案

1、wwwjcSOOO.coiwwwjcSOOOxo2wwwjcSOOO.coi幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)對數(shù)及其運算法則教案教學(xué)目標i理解并記憶對數(shù)的定義，對數(shù)與指數(shù)的互化，對數(shù)恒等式及對數(shù)的性質(zhì).2 理解并掌握對數(shù)運算法則的內(nèi)容及推導(dǎo)過程.3熟練運用對數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)運算法則解題.教學(xué)重點與難點重點是對數(shù)定義、對數(shù)的性質(zhì)和運算法則難點是對數(shù)定義中涉及較多的難以記憶的名稱，以及運算法則 的推導(dǎo).教學(xué)過程設(shè)計師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2%，求20年后國民生產(chǎn)總值是原來的多少倍？生：設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為 1則20年后國民生產(chǎn)總值 y （1+7.2 %） 20=1.07220，所以

2、20年后國民生產(chǎn) 總值是原來的 1.07220倍.師：這是個實際應(yīng)用問題，我們把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中知道底數(shù)和指數(shù)，求幕值的問題也就是上面學(xué)習的指 數(shù)問題.師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2%，問經(jīng)過多年年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍？師：（分析）仿照上例，設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1,需經(jīng)x年后國民生產(chǎn)總值是原來的 4倍.列方程1.072x=4 .我們把這個應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為知道底數(shù)和幕值，求指數(shù)的問題，這是上述問題的逆問題， 即本節(jié)的對數(shù)問題.師：（板書）一般地，如果 a （a> 0,1）的b次幕等于N，就是ab=N，那么數(shù)b就叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN=b ,其中a叫做底數(shù)

3、，N叫做真數(shù)，式子logaN叫做對數(shù)式.師：請同學(xué)談?wù)剬?shù)這個定義的認識.生：對數(shù)式logaN實際上就是指數(shù)式中的指數(shù) b的一種新的記法.生：對數(shù)是一種新的運算.是知道底和幕值求指數(shù)的運算.（此刻并不奢望學(xué)生能說出什么深刻認識，只是給他們自己一個去思維認識對數(shù)這個定義的機會.）師：他們說得都非常好.實際上ab=N這個式子涉及到了三個量a, b, N ,由方程的觀點可得“知二求一”.知道a, b可求N，即前面學(xué)過的指數(shù)運算；知道 b （為自然數(shù)時），N可求a,即初中學(xué)過的開根號運算，記作疝書知廳N可楓即今天怨學(xué)習的對蜒算，記作logaN=b .因此，對數(shù)是一種新的運算，一種知道底和幕值求指數(shù)的

4、運算.而每學(xué)一種新的運算，首 先要學(xué)習它的記法，對數(shù)運算的記法為logaN，讀作：以a為底N的對數(shù).請同學(xué)注意這種運算的寫法和讀法.師：實際上指數(shù)與對數(shù)只是數(shù)量間的同一關(guān)系的兩種不同形式.為了更深入認識并記憶對數(shù)這個概念，請 同學(xué)們填寫下列表格.（打出幻燈）式子名稱abN指數(shù)式對數(shù)式ab=N logaN=b練習1把下列指數(shù)式寫成對數(shù)形式:（1） 2=8； （2）0=64； （3）27 =-練習2把下列對數(shù)形式寫成指數(shù)形式:CO logs9 = 2? （2）logj125=3； （3）log = -3? log3 = 4.練習3求下列各式的值：'陽；（2）1 雞舟 （3）log.125；

5、（兩名學(xué)生板演練習1 , 2題（過程略），一生板演練習三.）因為22=4，所以以2為底4的對數(shù)等于2.因為所以以3為底訥對數(shù)等于-3.因為53=125，所以以5為底125的對數(shù)等于3.（注意糾正學(xué)生的錯誤讀法和寫法.）師：由定義，我們還應(yīng)注意到對數(shù)式logaN=b中字母的取值范圍是什么？生：a> 0 且1; b R； N R.師：N R?（這是學(xué)生最易出錯的地方，應(yīng)一開始讓學(xué)生牢牢記住真數(shù)大于零.）生：由于在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，因而ab=N中N總是正數(shù).師：要特別強調(diào)的是：零和負數(shù)沒有對數(shù).師：定義中為什么規(guī)定 a>0,1 ?（根據(jù)本班情況決定是否設(shè)置此問.）生：因

6、為若av 0，則N取某些值時，b可能不存在，如 b=log （-2） 8不存在；若a=0,則當N不為0時， b不存在，如Iog02不存在；當N為0時，b可以為任何正數(shù)，是不唯一的，即logOO有無數(shù)個值；若 a=1, N不為1時，b不存在，如Iog13不存在，N為1時，b可以為任何數(shù)，是不唯一的，即Iog11有無數(shù)多個值.因此，我們規(guī)定：a>0,1.（此回答能培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想這個問題從ab=N出發(fā)回答較為簡單.）師：下面我來介紹兩個在對數(shù)發(fā)展過程中有著重要意義的對數(shù).師：（板書）對數(shù)logaN （a> 0且a* 1）在底數(shù)a=10時，叫做常用對數(shù)，簡記 IgN ;底數(shù)a=

7、e時，叫做自 然對數(shù)，記作InN,其中e是個無理數(shù)，即 e 2.718 28.練習4計算下列對數(shù)：Ig10000, Ig0.01 , 2log24, 3log327 , 10lg105 , 5log51125 .師：請同學(xué)說出結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想.生：2log24=4 .這是因為 Iog24=2，而 22=4.生：3log327=27 .這是因為 Iog327=3，而 33=27.生：10lg105=105 .生：我猜想 aIogaN=N，所以 5log51125=1125 .師：非常好.這就是我們下面要學(xué)習的對數(shù)恒等式.師：（板書）aIogaN=N （ a> 0, a* 1, N

8、 > 0）.（用紅筆在字母取值范圍下畫上曲線）（再次鼓勵學(xué)生，并提出更高要求，給出嚴格證明.）（學(xué)生討論，并口答.）生：（板書）證明：設(shè)指數(shù)等式 ab=N，則相應(yīng)的對數(shù)等式為 IogaN=b，所以ab=aIogaN=N .師：你是根據(jù)什么證明對數(shù)恒等式的？生：根據(jù)對數(shù)定義.師：（分析小結(jié)）證明的關(guān)鍵是設(shè)指數(shù)等式ab=N .因為要證明這個對數(shù)恒等式，而現(xiàn)在我們有關(guān)對數(shù)的知識只有定義，所以顯然要利用定義加以證明.而對數(shù)定義是建立在指數(shù)基礎(chǔ)之上的，所以必須先設(shè)出指數(shù)等式，2wwwjcSOOO.co從而轉(zhuǎn)化成對數(shù)等式，再進行證明.師：掌握了對數(shù)恒等式的推導(dǎo)之后，我們要特別注意此等式的適用條件.

9、生：a> 0,1, N > 0.師：接下來觀察式子結(jié)構(gòu)特點并加以記憶.（給學(xué)生一分鐘時間.）師：（板書）2log28= ? 2log42= ?生：2log28=8 ; 2log42=2 .師：第2題對嗎？錯在哪兒？主不對.應(yīng)該等于2.因為4丄2,所以1瞰2二,所以2唧>1二滬.他錯用了對數(shù)恒等丸師：（繼續(xù)追問）在運用對數(shù)恒等式時應(yīng)注意什么？（經(jīng)歷上面的錯誤，使學(xué)生更牢固地記住對數(shù)恒等式.）生：當幕的底數(shù)和對數(shù)的底數(shù)相同時，才可以用公式alogaN=N .（師用紅筆在兩處 a上重重地描寫.）師：最后說說對數(shù)恒等式的作用是什么？生：化簡！師：請打開書74頁，做練習4.（生口答略）

10、師：對對數(shù)的定義我們已經(jīng)有了一定認識，現(xiàn)在，我們根據(jù)定義來進一步研究對數(shù)的性質(zhì).師：負數(shù)和零有沒有對數(shù)？并說明理由.生：負數(shù)和零沒有對數(shù)因為定義中規(guī)定a> 0，所以不論b是什么數(shù)，都有 ab> 0，這就是說，不論什么數(shù)，N=ab永遠是正數(shù)因此，由等式 b=logaN可以看到，負數(shù)和零沒有對數(shù).師：非常好.由于對數(shù)定義是建立在指數(shù)定義的基礎(chǔ)之上，所以我們要充分利用指數(shù)的知識來研究對數(shù).師：（板書）性質(zhì)1：負數(shù)和零沒有對數(shù).師：1的對數(shù)是多少？生：因為a0=1 （a>0, az 1）,所以根據(jù)對數(shù)定義可得 1的對數(shù)是零.師：（板書）1的對數(shù)是零.師；底數(shù)的對數(shù)等于多少？生：因為a

11、仁a,所以根據(jù)對數(shù)的定義可得底數(shù)的對數(shù)等于1.師：（板書）底數(shù)的對數(shù)等于 1.師：給一分鐘時間，請牢記這三條性質(zhì).師：在初中，我們學(xué)習了指數(shù)的運算法則，請大家回憶一下.am生：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即aman=am+n.同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即十 an=am-n. 還有（am） n=amn;1骨4wwwjcSOOO.co骨4wwwjcSOOO.co師：下面我們利用指數(shù)的運算法則，證明對數(shù)的運算法則.（板書）（1）正因數(shù)積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的和.即loga （MN ） =logaM+logaN .（請兩個同學(xué)讀法則（1），并給時間讓學(xué)生討論證明.）育 <

12、;>師：（分析）我們要證明這個運算法則，用眼睛一瞪無從下手，這時我們該想到，關(guān)于對數(shù)我們只學(xué)了定義 和性質(zhì)，顯然性質(zhì)不能證明此式，所以只有用定義證明而對數(shù)是由指數(shù)加以定義的，顯然要利用指數(shù)的運算 法則加以證明，因此，我們首先要把對數(shù)等式轉(zhuǎn)化為指數(shù)等式.師：（板書）設(shè)logaM=p , logaN=q，由對數(shù)的定義可以寫成M=ap , N=aq .所以M N=ap aq=ap+q,所以即loga (M N) =p+q=logaM+logaN .loga (MN ) =logaM+logaN .師：這個法則的適用條件是什么？生：每個對數(shù)都有意義，即M >0, N > 0; a&g

13、t; 0且1 .師：觀察法則（1）的結(jié)構(gòu)特點并加以記憶.生：等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是一個降級運算.師：非常好例如，（板書）log2 （32X 64） =?生：Iog2 （32 X 64） =log232+log264=5+6=11 .師：通過此例，同學(xué)應(yīng)體會到此法則的重要作用一一降級運算它使計算簡化.師：（板書）log62+log63= ?生：log62+log63=log6 （2X 3） =1.師：正確由此例我們又得到什么啟示？生：這是法則從右往左的使用是升級運算.師：對.對于運算法則（公式），我們不僅要會從左往右使用，還要會從右往左使用.真正領(lǐng)會法則的作用!師：（

14、板書）（2）兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù).loga =loglM-log1N師：仿照研究法則（1）的四個步驟，自己學(xué)習.（給學(xué)生三分鐘討論時間.）生：（板書）設(shè)logaM=p , logaN=q .根據(jù)對數(shù)的定義可以寫成M=ap , N=aq .所以"時*p詢沁MJogHMlog, =bgtM*togtN.2）時，我?guī)煟悍浅：盟抢弥笖?shù)的運算法則和對數(shù)的定義加以證明的大家再想一想，在證明法則（們不僅有對數(shù)的定義和性質(zhì)，還有法則（1）這個結(jié)論那么，我們是否還有其它證明方法?bg罟呃學(xué)+1裁喙Ng存N）生：（板書）-loglN=logiM-log1N.師：非常漂亮他

15、是運用轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，借助于剛剛證明的法則（1）去證明法則（2）他的證法要比書上的更簡單這說明，轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，在化難為易、化復(fù)雜為簡單上的重要作用事實上，這種思想不但在 學(xué)習新概念、新公式時常常用到，而且在解題中的應(yīng)用更加廣泛.師：法則（2）的適用條件是什么？生：M > 0, N > 0; a> 0 且 1 師：觀察法則（2）的結(jié)構(gòu)特點并加以記憶.生：等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運算，從右往左是一個升級運算.骨4wwwjcSOOO.coi師：（板書）例如,略倉二7亠 8生：log2 = log3 8 -1 og216 = 3 -4 = -1.16師

16、：（板書）lg20-lg2= ?lg20-lg2=lgy =lg 10=1.師：可見法則（2）的作用仍然是加快計算速度，也簡化了計算的方法.師：（板書）例1計算：(1) log93+log(j27；(?) Io%(4 + 4)；生：(板書)解(1) Iog93+log927=log93 x 27=log981=2 ;1街1駕2二咤2二1喝1 = 0；(3) Iog2 (4+4) =log24+log24=4 ;f 、 IglOOOO 10000養(yǎng)礦唸而廠u（由學(xué)生判對錯，并說明理由.）（板書）生：第（2）題錯！在同底的情況下才能運用對數(shù)運算法則.log3-+log|2 = -l+ （-1） =

17、2生：第（3）題錯！法則（1）的內(nèi)容是：log, (MN) =log.M+lo%N（板書）log2(4+4)=1隔8 =艮教5wwwjcSOOO.coi教5wwwjcSOOO.coi生：第（4）題錯！法則（2）的內(nèi)容是:M log, = 10.14-108,（板書）IglOOOO 4lglOOO 3師：通過前面同學(xué)出現(xiàn)的錯誤，我們在運用對數(shù)運算法則時要特別注意什么？生：首先，在同底的情況下才能從右往左運用法則（1）、（ 2）;其次，只有在正因數(shù)的積或兩個正數(shù)的商的對數(shù)的情況下，才能從左往右運用運算法則（1 ）、（2）.教5wwwjcSOOO.co師：（板書）（3）正數(shù)的幕的對數(shù)等于幕的底數(shù)的對

18、數(shù)乘以幕指數(shù)即loga （N） n=n logaN .師：（分析）欲證loga （ N） n=n logaN，只需證Nn=an logaN= （ a logaN）n,只需證N=alogaN .由對數(shù)恒等式，這是顯然成立的.師：（板書）設(shè)N > 0，根據(jù)對數(shù)恒等式有N=alogaN .所以Nn= （alogaN） n=an logaN .根據(jù)對數(shù)的定義有l(wèi)oga （N） n=n logaN .師：法則（3）的適用條件是什么？生：a> 0,1; N > 0.師：觀察式子結(jié)構(gòu)特點并加以記憶.生：從左往右仍然是降級運算.師：例如，（板書）Iog332=log525=5log52 .練

19、習計算（log232） 3.（找一好一差兩名學(xué)生板書.）錯解：（log232） 3=log2 （25） 3=log2215=15 .正確解：（Iog232） 3= （log225） 3= （5log22） 3=53=125 .（師再次提醒學(xué)生注意要準確記憶公式.）師：（板書）（4）正數(shù)的正的方根的對數(shù)等于被開方數(shù)的對數(shù)除以根指數(shù).即log呂頁二丄logJL11生：板書）設(shè)那么嵋二所以由法則得nlog/bT =log4N = -log4N.Fl師：法則（4）的適用條件是什么？生：a> 0,1; N > 0.師：法則（3）和法則（4）可以合在一起加以記憶.即logaN a= logaN （a R）.（師板書）例2用logax, logay, log