2011屆高考數(shù)學(xué)解題思想方法高考熱點(diǎn)問題和解題探索性問題

1、用心愛心專心-1 -二、探索性問題近年來，隨著社會主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)的迅速發(fā)展，要求學(xué)校由“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn) 化，培養(yǎng)全面發(fā)展的開拓型、創(chuàng)造型人才。在這種要求下，數(shù)學(xué)教學(xué)中開放型問題隨之產(chǎn)生。 于是，探索性問題成了近幾年來高考命題中的熱點(diǎn)問題，它既是高等學(xué)校選拔高素質(zhì)人材的 需要，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生具有創(chuàng)造能力、開拓能力的任務(wù)所要求的。實(shí)際上，學(xué)生 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，知識的形成過程也是觀察、分析、歸納、類比、猜想、概括、推證的探索過程，其探索方法是學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)和掌握的，是今后數(shù)學(xué)教育的重要方向。一般地，對于雖給出了明確條件，但沒有明確的結(jié)論，或者結(jié)論不穩(wěn)定，需要探索者通過 觀察、分析

2、、歸納出結(jié)論或判斷結(jié)論的問題（探索結(jié)論）；或者雖給出了問題的明確結(jié)論， 但條件不足或未知，需要解題者尋找充分條件并加以證明的問題（探索條件），稱為探索性問題。此外，有些探索性問題也可以改變條件，探討結(jié)論相應(yīng)發(fā)生的變化；或者改變結(jié)論， 探討條件相應(yīng)發(fā)生的變化；或者給出一些實(shí)際中的數(shù)據(jù)，通過分析、探討解決問題。探索性問題一般有以下幾種類型：猜想歸納型、存在型問題、分類討論型。猜想歸納型問題是指在問題沒有給出結(jié)論時，需要從特殊情況入手，進(jìn)行猜想后證明其猜想的一般性結(jié)論。它的思路是：從所給的條件出發(fā)，通過觀察、試驗(yàn)、不完全歸納、猜想， 探討出結(jié)論，然后再利用完全歸納理論和要求對結(jié)論進(jìn)行證明。其主要體現(xiàn)

3、是解答數(shù)列中等 與 n 有關(guān)數(shù)學(xué)問題。存在型問題是指結(jié)論不確定的問題，即在數(shù)學(xué)命題中，結(jié)論常以“是否存在”的形式出現(xiàn)，其結(jié)果可能存在，需要找出來，可能不存在，則需要說明理由。解答這一類問題時，我們可 以先假設(shè)結(jié)論不存在，若推論無矛盾，則結(jié)論確定存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在。代 數(shù)、三角、幾何中，都可以出現(xiàn)此種探討“是否存在”類型的問題。分類討論型問題是指條件或者結(jié)論不確定時，把所有的情況進(jìn)行分類討論后，找出滿足條件的條件或結(jié)論。此種題型常見于含有參數(shù)的問題，或者情況多種的問題。探索性問題，是從高層次上考查學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的新題型，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是 解決這類問題的橋梁和向?qū)?，通常需?/p>

4、綜合運(yùn)用歸納與猜想、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類 討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法才能得到解決，我們在學(xué)習(xí)中要重視對這一問題的訓(xùn)練，以提高我們的思維能力和開拓能力。I、再現(xiàn)性題組：1.是否存在常數(shù) a、b、c,使得等式 1 22+ 2 32+ n（n + 1）2= （an2+ bn12+ c）對一切自然數(shù) n 都成立？并證明你的結(jié)論。（89 年全國理）S2、S3、S4，推測 Sn公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。（93 年全國理）【簡解】1 題：令 n= 1、2、3 代入已知等式列出方程組，解得a= 3、b = 11、c = 10,猜測 a、b、c 的值對所有的 n N 都成立，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法

5、進(jìn)行證明。（屬于是否存在型問題，也可屬于猜想歸納型問題）再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。2.已知數(shù)列81 821232，32528n2 2，(2n -1)2(2n1)2。Sn為其前 n 項(xiàng)和，求 S1、2 題：計(jì)算得到 S1=8、S2=24、S3=4819225349S4=茁,觀察后猜測Sn(2n1)2-1(2n1)2用心愛心專心-2 -n、示范性題組：【例 1】已知方程 kx2+ y2= 4,其中 k 為實(shí)數(shù)，對于不同范圍的k 值，分別指出方程所代表圖形的類型，并畫出曲線簡圖。(78 年全國高考題)【分析】由圓、橢圓、雙曲線等方程的具體形式，結(jié)合方程kx2+ y2= 4 的特點(diǎn)，對參數(shù)k 分 k1

6、、k= 1、0k1、k= 0、k1、k= 1、0k1、k =0、k1 時，表示橢圓，其中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在2當(dāng) k = 1 時，表示圓，圓心在原點(diǎn)，r = 2;【注】分類討論型問題，把所有情況分類討論后，找出滿足條件的條件或結(jié)論。2【例 2】給定雙曲線 X2專=1, 過點(diǎn) A(2,0)的直線 L 與所給雙曲線交于 P1及 P2,求線段 P1P2的中點(diǎn) P 的軌跡方程；過點(diǎn) B(1,1)能否作直線 m,使 m 與所給雙曲線交于 兩點(diǎn) Q1、Q2，且點(diǎn) B 是線段 Q1、Q2的中點(diǎn)？這樣的直線 m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由。(81 年全國高考題)【分析】兩問都可以設(shè)直線L 的點(diǎn)斜

7、式方程，與雙曲線方程聯(lián)立成方程組，其解就是直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用韋達(dá)定理求解中點(diǎn)坐標(biāo)等?！窘狻吭O(shè)直線 L: y = k(x 2)y = k(x _2)2y2x -一J2y 軸上,2b=,k； 當(dāng) 0k1 時，表示橢圓，其中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上,2a=,b= 2;.k消 y 得(2 k2)x2+ 4k2x (2 + 4k2) = 0-1 當(dāng) k = 0 時，表示兩條平行直線y = 2;用心愛心專心-3 -4k2k2-22k2k2- 2代入直線 L 得：y4kk2-2用心愛心專心-4 -+ bn n）。（94 年全國高考題）, 2S = ：/2a1 a1= 22k2X-k -24k消 k

8、 得 2x2 4x y2= 0 即(x2X- = 12（x_1）2線段P1P2的 設(shè)所求直線 m 的方程為：y = k（x 1） + 1y =k(x-1) +1y2消 y 得(2 k2)x2+ (2k2 2k)x + 2k k2 3= 0X2=12k2-2k2=2X2k=2k-2代入消 y 后的方程計(jì)算得到： 0,滿足題中條件的直線 m 不存在?！咀ⅰ勘绢}綜合性比較強(qiáng)，將解析幾何知識進(jìn)行了橫向綜合。對于直線與曲線的交點(diǎn)問題和有關(guān)交點(diǎn)弦長及其中點(diǎn)的問題， 一般可以利用韋達(dá)定理和根的判別式求解。 本題屬于存 在型問題，其一般解法是：假設(shè)結(jié)論不存在，若推論無矛盾，則結(jié)論確定存在；若推證出矛 盾，則結(jié)

9、論不存在。在解題思路中，分析法與反證法起了關(guān)鍵作用。這類問題一般是先列出 條件組，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化解組?！纠?3】設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列， 其前 n 項(xiàng)的和為 Sn，并且對于所有的自然數(shù) n, an與2 的等差中項(xiàng)等于 Sn與 2 的等比中項(xiàng)。 寫出數(shù)列an的前 3 項(xiàng)； 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（寫出推證過程）； 令bn-(+-a ) (n N)，求lim(b1+ b22anandan 1|an【分析】 由題意容易得到a2 _n. 2Sn，由此而求得a1、a2、a3，通過觀察猜想an,再用數(shù)學(xué)歸納法證明。求出an后，代入不難求出 bn，再按照要求求極限。用心愛心專心-5 -.a222a322j2S2

10、=_ 2(a1a2)=. 2(2 a2) a2=6：2S3=,：2(a1a2a3)=,2(8 a3) a3= 10所以數(shù)列an的前 3 項(xiàng)依次為 2、6、10。用心愛心專心-6 - 由數(shù)列an的前 3 項(xiàng)依次為 2、6、10 猜想 an= 4n- 2,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 an= 4n- 2:當(dāng) n = 1 時，通項(xiàng)公式是成立的；假設(shè)當(dāng) n = k 時結(jié)論成立，即有 ak= 4k 2,ak+ 2-2由題意有 一=.2Sk,將 ak= 4k 2 代入得到：Sk= 2k ;當(dāng) n = k+ 1 時，由題意有k；= ,/2Sk彳=.2(S0，解得 ak d= 2+ 4k = 4(k + 1) 2,所

11、以 n = k + 1 時，結(jié)論也成立。綜上所述，上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n 都成立。1=1 2n 11)=12n +1【注】本題求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于猜想歸納型問題，其一般思路是：從最簡單、最特殊 的情況出發(fā)，推測出結(jié)論，再進(jìn)行嚴(yán)格證明。第問對極限的求解，使用了“裂項(xiàng)相消法” 設(shè)立新的數(shù)列 cn具有一定的技巧性。此外，本題第問數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，屬于給出數(shù)列中Sn與 an的函數(shù)關(guān)系式求 an,對此類問題我們還可以直接求解，解答思路是由 anj= Sn d Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項(xiàng)之間 的遞推關(guān)系，再發(fā)現(xiàn)數(shù)列的特征或者通過構(gòu)造新的數(shù)列求解。具體的解答過程是：an+21212由題意有一 =.2Sn

12、，整理得到 Sn= (an+ 2)，所以 S. 1= (and+ 2),2 8 812 2二an 1=Sn 1Sn=(an 1+2)(an+2)8整理得到(an 1+an)( an 1an4)=0(亠 + 二)1=丄anan-12+ 2)4n - 2 4n 21=21)+2n -12n -1(h 1)=S + b?+ + bn n = 5 + C2+12n -1 2n 11 1 1 1 1=(1 ) + ( )+ ( )3352n -1 2n 1 lim(b1+ b2+ bn n) =lim(1nan s(86用心愛心專心-7 -由題意 an0 可以得至卩：an1 an 4 = 0,即 an1

13、 an= 4用心愛心專心-8 -二數(shù)列an為等差數(shù)列，其中 a1= 2,公差 d= 4,即通項(xiàng)公式為 an= 4n- 2。【例 4】已知 x10, X 產(chǎn) 1，且 xn d=23xn+1年全國理）【分析】比較 Xn與 Xn 1的大小，采用“作差法”即xnxn 1。即xnxn 1。所以，對一切自然數(shù) n 都有 xnxn d?！咀ⅰ勘绢}對 1-xn2的符號的探討，由于其與自然數(shù) n 有關(guān)，考慮使用數(shù)學(xué)歸納法解決。 一般地，探索性問題與自然數(shù)n 有關(guān)時，我們可以用歸納T猜想T證明的方法解出。川、鞏固性題組：1.設(shè)an是由正數(shù)組 成的等比數(shù)列，Sn是前 n 項(xiàng)和。.證明：lg Tg&20, 使

14、 得lg（Sn-C廠lg（Sn2Y ）0 及數(shù)列xn的定義可知，xn0,所以 xnd- Xn與 1-xn2的符號相同。假定 x10;假設(shè) n= k 時1-xk20,那么當(dāng)n = k + 1 時,2Xk(Xk3)3Xk21因此對一切自然數(shù)n 都有 1 - xn20,假定 x11,n = 1 時，1 x120;假設(shè) n= k 時1 -xk20,那么當(dāng)n = k + 1 時,1-xk+2=1-2Xk(Xk3)3Xk123(1 - Xk) c廠20,(3Xk1)因此對一切自然數(shù)n 都有 1 - xn20) , an=2an_1 (n 2, n N)。1 +an丄 用 a 表示 a2、a3、a4; 猜想 an的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論。6.在厶 ABC 中，/ A、/ B、/ C 的對邊分別且 b、a、c 成等差數(shù)列，b c。已知 B(-1,0)1求頂點(diǎn) A