彈性變形與塑性變形

1、、彈性和塑性的概念可變形固體在外力作用下將發(fā)生變形。根據(jù)變形的特點，固體在受力過程中的力學(xué)行為可 分為兩個明顯不同的階段：當外力小于某一限值（通常稱之為 彈性極限荷載 ）時，在引起變 形的外力卸除后，固體能完全恢復(fù)原來的形狀，這種能恢復(fù)的變形稱為 彈性變形 ，固體只產(chǎn) 生彈性變形的階段稱為 彈性階段 ；當外力一旦超過彈性極限荷載時，這時再卸除荷載，固體 也不能恢復(fù)原狀，其中有一部分不能消失的變形被保留下來，這種保留下來的永久變形就稱 為塑性變形 ，這一階段稱為 塑性階段 。根據(jù)上述固體受力變形的特點，所謂 彈性 ，就定義為固體在去掉外力后恢復(fù)原來形狀的性 質(zhì)；而所謂 塑性，則定義為在去掉外力后

2、不能恢復(fù)原來形狀的性質(zhì)?！皬椥裕?Elasticity ）” 和“塑性（ Plasticity ）”是可變形固體的基本屬性，兩者的主要區(qū)別在于以下兩個方面：1）變形是否可恢復(fù) ：彈性變形是可以完全恢復(fù)的，即彈性變形過程是一個可逆的過程；塑性 變形則是不可恢復(fù)的，塑性變形過程是一個不可逆的過程。2）應(yīng)力和應(yīng)變之間是否一一對應(yīng) ：在彈性階段， 應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)的單值函數(shù)關(guān) 系，而且通常還假設(shè)是線性關(guān)系；在塑性階段，應(yīng)力和應(yīng)變之間通常不存在一一對應(yīng)的關(guān)系， 而且是非線性關(guān)系（這種非線性稱為物理非線性）。工程中，常把 脆性 和韌性也作為一對概念來講，它們之間的區(qū)別在于固體破壞時的變形大 小，

3、若變形很小就破壞，這種性質(zhì)稱為脆性；能夠經(jīng)受很大變形才破壞的，稱為韌性或延性。 通常，脆性固體的塑性變形能力差，而韌性固體的塑性變形能力強。二、彈塑性力學(xué)的研究對象及其簡化模型 彈塑性力學(xué)是固體力學(xué)的一個分支學(xué)科，它由彈性理論和塑性理論組成。彈性理論研究理想 彈性體在彈性階段的力學(xué)問題，塑性理論研究經(jīng)過抽象處理后的可變形固體在塑性階段的力 學(xué)問題。因此，彈塑性力學(xué)就是研究經(jīng)過抽象化的可變形固體，從彈性階段到塑性階段、直 至最后破壞的整個過程的力學(xué)問題。構(gòu)成實際固體的材料種類很多，它們的性質(zhì)各有差異，為便于研究，往往根據(jù)材料的主要性 質(zhì)做出某些假設(shè)，忽略一些次要因素，將它抽象為理想的“模型”。在

4、彈性理論中，實際固 體即被抽象為所謂的“ 理想彈性體 ”，它是一個近似于真實固體的簡化模型?！袄硐霃椥浴钡奶?征是：在一定的溫度下，應(yīng)力和應(yīng)變之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，而且與加載過程無關(guān)，與時 間無關(guān)。在塑性理論中，由于實際固體材料在塑性階段的應(yīng)力 -應(yīng)變關(guān)系過于復(fù)雜，若采用它進行理論 研究和計算都非常復(fù)雜，因此，同樣需要進行簡化處理。常用的簡化模型可分為兩類，即 理 想塑性模型 和強化模型 。1理想塑性模型在單向應(yīng)力狀態(tài)下，理想塑性模型的特征如圖 0.1 所示。理想塑性模型又分為 理想彈塑性 模型 和理想剛塑性模型 。當所研究的問題具有明顯的彈性變形時，常采用理想彈塑性模型。 在總變形較大、而

5、且彈性變形部分遠小于塑性變形部分時，為簡化計算，常常忽略彈性變形 部分，而采用理想剛塑性模型；另外，在計算結(jié)構(gòu)塑性極限荷載時，也常采用理想剛塑性模(a)理想彈塑性模型("理想剛塑性模型=込童用 <1(c)壽次強化模型圖U1理想塑性模型2強化模型在單向應(yīng)力狀態(tài)下，強化模型的特征如圖0.2所示。強化模型又分為 線性強化彈塑性模型、 線性強化剛塑性模型 和幕次強化模型 三種。O二込+耳(&_豈)(b>線性強化剛塑性摸型00,2強化模型以上介紹的塑性簡化模型僅僅是材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下的情況，在二維和三維復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，塑性模型就要復(fù)雜得多了，有關(guān)這方面的概念，將在第三章中

6、介紹。由于在土木工程 實踐中，理想塑性模型應(yīng)用較多，所以，本書在介紹與塑性理論相關(guān)的內(nèi)容時，基本都采用 了這個簡化模型。三、基本假定彈塑性力學(xué)是一門力學(xué)學(xué)科，所以，由牛頓最早總結(jié)出，其后又由拉格朗日( Lagrange ) 和哈米爾頓( Hamilton )等發(fā)展了的力學(xué)的一般原理在這里仍然有效，而且是構(gòu)成它的理論 體系的基石。但除此而外，它還包含有新的內(nèi)容，這主要是以下幾個基本假定：1連續(xù)性假定所謂連續(xù)性假定，是指將可變形固體視為連續(xù)密實的物體，即組成固體的質(zhì)點無空隙地充 滿整個物體空間。任何物體都是由原子分子組成的。對于固體來講，還由于整個固體由許多 結(jié)晶顆粒組成，從而更增加了固體的不連續(xù)

7、性。所以，仔細推敲起來，這個假設(shè)與實際情況 是不相符合的。但如果研究的是固體的宏觀力學(xué)性態(tài)，則所研究的每個微小單位實際上不僅 包含有相當多的原子、分子，而且還包含有相當多的晶體，這時物體便可以認為是“連續(xù)的” 了?？梢姡B續(xù)性假定是在一定條件下對客觀事物的一個近似。從這一假定出發(fā)進行的力學(xué) 分析，得到的結(jié)果已被廣泛的實驗和工程實踐證明是正確的。根據(jù)連續(xù)性假定，固體內(nèi)部任何一點的力學(xué)性質(zhì)都是連續(xù)的，例如密度、應(yīng)力、位移和應(yīng) 變等，就可以用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示(因而相應(yīng)地被稱為 密度場 、應(yīng)力場 、位移場 和應(yīng)變 場等)，而且變形后物體上的質(zhì)點與變形前物體上的質(zhì)點是一一對應(yīng)的。有了連續(xù)性假定，在

8、進行彈塑性力學(xué)分析時，就可以利用基于連續(xù)函數(shù)的一系列數(shù)學(xué)工具，避免了數(shù)學(xué)上的極大 困難。2均勻性假定所謂均勻性假定，即認為所研究的可變形固體是由同一類型的均勻材料所構(gòu)成的，因此， 其各部分的物理性質(zhì)都是相同的，并不因坐標位置的變化而變化。例如，固體內(nèi)各點的彈性性質(zhì)都相同。根據(jù)均勻性假定，在研究問題的時候，就可以從固體中取出任一單元來進行分 析，然后將分析的結(jié)果用于整個物體。3各向同性假定所謂各向同性，即假定可變形固體內(nèi)部任意一點在各個方向上都具有相同的物理性質(zhì)，因 而，其彈性常數(shù)不隨坐標方向的改變而改變。實際上，有不少固體材料不具有這種性質(zhì)，例 如木材、竹材、纖維增強復(fù)合材料等，但這類材料不在

9、本書討論范圍之內(nèi)。此外，各向同性 假定也僅僅應(yīng)用于彈性階段，即使是初始各向同性的固體，在進入塑性階段后，也成為各向 異性的。4小變形假定所謂小變形假定，即假定固體在外部因素（外力、溫度變化等）作用下所產(chǎn)生的變形，遠 小于其自身的幾何尺寸。根據(jù)小變形假定，可以不考慮因變形引起的固體的尺寸變化，而采 用變形前的幾何尺寸來代替變形后的尺寸，使得問題大為簡化。例如，在研究物體的平衡時， 可不考慮由于變形所引起的物體尺寸和位置的變化；在建立應(yīng)變和位移之間的關(guān)系時，就可 以略去幾何方程中的二階小量等，使基本方程線性化。5無初應(yīng)力假定假定所研究的可變形固體初始處于自然狀態(tài)，即在外部因素（外力、溫度變化等）作

10、用之前，其內(nèi)部是沒有應(yīng)力的。這個假定僅僅為了表述簡便而引進的，若固體內(nèi)有初應(yīng)力存在， 則在外部因素（外力、溫度變化等）作用時，其內(nèi)部實際存在的應(yīng)力即等于初應(yīng)力加上外部 因素作用所產(chǎn)生的應(yīng)力。以上假定是本書所討論的問題的基礎(chǔ)。此外，本書還不考慮固體與時間有關(guān)的力學(xué)性質(zhì)如 粘性等；同時，也不考慮固體在外力作用下的動力效應(yīng)，即假設(shè)外力作用過程是一個緩慢的加載過程，在這個過程中，慣性力效應(yīng)可以忽略不計（這樣的加載過程稱為 準靜態(tài)加載過 程）。四、彈塑性力學(xué)問題的研究方法彈塑性力學(xué)作為固體力學(xué)的一個獨立的分支學(xué)科， 已有一百多年的歷史。 它源于生產(chǎn)實踐， 反過來又直接為生產(chǎn)實踐服務(wù)。彈塑性力學(xué)雖然是一門

11、古老的學(xué)科，但在土木、機械、水利、 航空、材料等工程領(lǐng)域，隨著新材料、新結(jié)構(gòu)和新技術(shù)的不斷發(fā)展，實踐又給它提出了越來 越多新的理論問題和工程應(yīng)用問題，使這門古老的學(xué)科處于不斷的發(fā)展中。工程實踐中，一個具體的彈塑性力學(xué)問題的求解方法可以分為以下幾類：1）經(jīng)典方法 。采用數(shù)學(xué)分析方法對彈塑性力學(xué)問題的定解方程進行求解， 從而得出固體內(nèi)部 的應(yīng)力和位移分布等。這種方法需要求解一個偏微分方程組的邊值問題，在很多情況下，求 解的難度都相當大，所以，常采用近似解法，例如，基于能量原理的 Ritz 法和迦遼金等。2）數(shù)值方法 。許多實際工程問題無法采用經(jīng)典解法求解，而需要采用數(shù)值方法求得近似解。 在數(shù)值方法

12、中，常用的有差分法、有限元法及邊界元法等。隨著電子計算機技術(shù)的不斷發(fā)展， 目前，數(shù)值方法已被廣泛應(yīng)用于各類工程結(jié)構(gòu)彈塑性力學(xué)問題的求解中。3）實驗方法 。采用機電方法、光學(xué)方法、聲學(xué)方法等來測定結(jié)構(gòu)部件在外力作用下的應(yīng)力和 應(yīng)變的分布規(guī)律，如光彈性法、云紋法等。4）實驗與數(shù)值分析相結(jié)合的方法 。這種方法常用于形狀非常復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)。 例如對結(jié)構(gòu)的 特殊部位的應(yīng)力分布規(guī)律難以確定，可以用光彈性方法測定；而對結(jié)構(gòu)整體，則采用數(shù)值方 法進行分析。五、與初等力學(xué)理論的聯(lián)系和區(qū)別彈塑性力學(xué)的主要任務(wù)是研究可變形固體在外部因素（例如外力、溫度變化等）作用下的 應(yīng)力和變形分布規(guī)律，這也構(gòu)成了彈塑性力學(xué)的基本

13、內(nèi)容。從研究對象、研究問題的內(nèi)容和基本任務(wù)來看，彈塑性力學(xué)與材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)都是相同的；從處理問題的方法來看，彈 塑性力學(xué)與材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)都是從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三個方面進行分析。但從所研究問題的范圍來看，它們是不同的。材料力學(xué)僅研究桿狀構(gòu)件（桿件） ，結(jié)構(gòu)力 學(xué)主要研究由桿狀構(gòu)件組成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（桿系結(jié)構(gòu)） ，而彈塑性力學(xué)既研究桿件，也研究諸如 板和殼以及擋土墻、堤壩、地基等實體結(jié)構(gòu)，因此，它的研究范圍涉及土木工程結(jié)構(gòu)的所有 類型。此外，材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的問題主要局限于彈性階段，而彈塑性力學(xué)則研究從 彈性階段到塑性階段、直至最后破壞的整個過程的力學(xué)問題。另外，從對所研究問題的簡

14、化程度來看，彈塑性力學(xué)與材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)也是不完全相 同的。在材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)里，除了采用上述的幾個基本假定外，它們往往還要對桿件的 應(yīng)力分布和變形狀態(tài)做出某些假定，因此，得到的結(jié)果有時只是粗略的近似。但在彈塑性力 學(xué)里，則無須引進那些假定，所以其得到的結(jié)果就比較精確，并可以用來校核初等力學(xué)理論 （這里，初等力學(xué)理論系指采用更簡化的力學(xué)模型建立起來的材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)理論）的 結(jié)果是否準確。例如，在材料力學(xué)里研究直梁的橫力彎曲問題時，就引進了平截面的假定， 由此得到直梁橫截面上的彎曲應(yīng)力分布是線性的；但在彈塑性力學(xué)里研究該問題時，由于無 需采用平截面假定就可求得問題的解，所以，彈塑性力學(xué)的求解結(jié)果可用來校核平截面假定 是否正確，以及應(yīng)用該假定的條件性和局限性?？偟膩砜矗M管彈塑性力學(xué)的研究對象和研究方法與初等力學(xué)理論基本相同，但它的研究 范圍更加廣泛，得到的結(jié)果也更加精確。彈塑性力學(xué)可以建立并給出用初等力學(xué)理論無法求 解的問題的理論和方法，同時還可以給出初等力學(xué)理論可靠性與精確度的度量。表 0.1 總結(jié) 了彈塑性力學(xué)與初等力學(xué)理論之間的聯(lián)系和區(qū)別。表 0.1 彈塑性力學(xué)與初等力學(xué)理論的聯(lián)系