高等數(shù)學(xué)D2_3高階導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法那么二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法那么 第三節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù) 第二章 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例：變速直線運動引例：變速直線運動定義定義.假設(shè)函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo),或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導(dǎo)數(shù) , 記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為依次類推 ,分別記作那么稱設(shè)

2、,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次類推 ,nnany!)(233xa例例1.思索思索: 設(shè)設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得nx)1 ( ,e3xaay 例例2. 設(shè)設(shè)求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1思索思索:,exay .)(ny,exaay ,e2xaay xannaye)(xnxe)(e)(例例3. 設(shè)設(shè), )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnx

3、y)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,例例4. 設(shè)設(shè),sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x普通地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n例例6. 設(shè)設(shè),3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: : )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx06lim200 )0(fxxx012lim200 )(

4、xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x階數(shù)二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法那二、高階導(dǎo)數(shù)的運算法那么么都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 那么)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茨萊布尼茨(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設(shè)函數(shù)vunn) 1(規(guī)律規(guī)律vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數(shù)學(xué)歸納法可證( )()( )0(

5、)Cnnkn kknkuvuv例例7. ,e22xxy 求.)20(y解解: 設(shè)設(shè),e22xvux那么xkku2)(e2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茨公式 , 得)20(yx220e22xx219e220 x2!219202x220e2)9520(2xxx218e2)20,2,1(k)20,3(k內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4) 利用萊布尼茨公式高階導(dǎo)數(shù)的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan如以下公式xxnsin()(sin)(xxncos()(cos)()2n)2n思索與練習思索與練習xy1211)()1 (!)

6、1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求以下函數(shù)的如何求以下函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 2312xxy1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xBxAxx提示提示: 令令)2(xA2x) 1(xB1x11) 1)(2(1xx) 1)(2(1xxxxy66cossin)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22babax4cos8385

7、)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:解解: 設(shè))(sin2xfxy 求,y 其中 f 二階可導(dǎo).xxfxcos)(sin2)(sin2xf)(sin2xfxy2x)(sinxf xcos)cos)(sin() )(sin2(2 xxfxxfxy)sin)(sin2xxfxx2)(sinxf xcosxxfx22cos)(sin )(sin)sincos4()(sin22xfxxxxxf)(sincos22xfxx 3. 試從試從 yyx1dd導(dǎo)出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同樣可求3

8、3ddyx(見 P103 題4 ) 作業(yè)P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 10 (2) ) 1)(2(232xxxx各項均含因子 ( x 2 )1)( !nxfn2. (填空題填空題) (1) 設(shè)設(shè),cos)23()(1622xnxxxf那么)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:nx)2( ! n22!n(2) 知)(xf恣意階可導(dǎo), 且2n時)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf那么當 )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf例例5 . 設(shè)設(shè)bx

9、yxasine解解:bxayxasine)cossin(exbbxbaxa求為常數(shù) , ),(ba.)(nybxbxacose)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(ebxaxa222)()(nnbayxabae22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(enbxxa)cos(ebxbxa0!2) 1() 1(nynn)(nyn例例8. 設(shè)設(shè),arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1 (2yx用萊布尼茨公式求 n 階導(dǎo)數(shù))1 (2xx22令,0 x得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0