全等三角形難題集錦超級好

1、1.如圖，已知等邊ABC，P在AC延長線上一點，以PA為邊作等邊APE,EC延長線交BP于M，連接AM,求證：（1）BP=CE； （2）試證明：EM-PM=AM.2、點C為線段AB上一點，ACM, CBN都是等邊三角形，線段AN,MC交于點E，BM,CN交于點F。求證：（1）AN=MB.（2）將ACM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖所示，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否依然成立？ （3）AN與BM相交所夾銳角是否發(fā)生變化。 圖 圖5.已知，如圖所示，在和中，且點在一條直線上，連接分別為的中點（1）求證：；CENDABM圖CAEMBDN圖（2）在圖的基礎(chǔ)上，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，其他條件不

2、變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立. ABCEDOPQ6.如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ以下五個結(jié)論： AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60 CP=CQ CPQ為等邊三角形共有2對全等三角形 CO平分AOP CO平分BCD恒成立的結(jié)論有_（把你認(rèn)為正確的序號都填上） 10.已知：如圖，是等邊三角形，過邊上的點作，交于點，在的延長線上取點，使，連接（1）求證：；（2）過點作，交于點，請你連接，并判斷是怎樣的三

3、角形，試證明你的結(jié)論AGFCBDE（圖）11、如圖，以的邊、為邊分別向外作正方形和正方形，連結(jié)，試判斷與面積之間的關(guān)系，并說明理由9如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ以下五個結(jié)論：ABCEDOPQ AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB=60 恒成立的結(jié)論有_（把你認(rèn)為正確的序號都填上） 如圖所示，已知ABC和BDE都是等邊三角形，且A、B、D三點共線下列結(jié)論：AE=CD；BF=BG；HB平分AHD；AHC=60，BFG是等邊三角形；FGAD其

4、中正確的有（）A3個 B4個 C5個 D6個1、在中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)角得交于點，分別交于兩點如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；ADBECFADBECFABCDEF2. 如圖所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點E，交AD于點F，求證：ADCBDE3.如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與CBM的平分線BF相交于點F. 如圖141，當(dāng)點E在AB邊的中點位置時： 通過測量DE，EF的長度，猜

5、想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 請證明你的上述兩猜想. 如圖142，當(dāng)點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N, 使得NE=BF，進而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明已知中，為邊的中點，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于、當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到于時（如圖1），易證AECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2F當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明1.已知AC/BD,CAB和DBA的平分線EA、EB與CD相

6、交于點E.求證:AB=AC+BD.2.等邊ABC，D為ABC外一點，BDC=120，BD=DCMDN=60射線DM與直線AB相交于點M，射線DN與直線AC相交于點N，當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時，直接寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且DMDN時，猜想中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明當(dāng)點M、N在邊AB、CA的延長線上時，請畫出圖形，并寫出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系3.如圖1，BD是等腰的角平分線，.（1）求證BC=AB+AD；（2）如圖2，于F，交延長線于E，求證：BD=2CE；ABCDFE圖21、已知，如圖1，在四邊形ABCD中，BCAB，AD=

7、DC，BD平分ABC。求證：BAD+BCD=180。2、如圖，四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，則B與ADC互補.為什么？DBEAC3、如圖4，在ABC中，BD=CD，ABD=ACD,求證AD平分BAC. ABCD4.如圖，在ABC中ABC,ACB的外角平分線交P.求證:AP是BAC的角平分線EBAC圖2D5、如圖在四邊形ABCD中，AC平分BAD，ADCABC180度，CEAD于E，猜想AD、AE、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想，6、如圖，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD7如圖所示，已知在AEC中，E=90

8、，AD平分EAC，DFAC，垂足為F，DB=DC，求證：BE=CF8、如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。9已知：如圖，BFAC于點F，CEAB于點E，且BD=CD，求證

9、：（1）BDECDF （2） 點D在A的平分線上10、如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC11、（2007年成都）已知：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結(jié)DH與BE相交于點G。 (!)求證：BF=AC； (2)求證：CE=BF； (3)CE與BC的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論。12、（2009年赤峰市）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分線，AFDC，連接AC、CF，求證：CA是DCF的平分線。1、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正

10、方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由； （2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明

11、理由ADFCGEB圖1ADFCGEB圖2ADFCGEB圖33.ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。4.問題背景，如下命題： 如圖1,在正三角形ABC中,N為BC邊上任一點,CM為正三角形外角ACK的平分線,若ANM=60,則AN=NM 如圖2,在正方形ABCD中,N為BC邊上任一點，CM為正方形外角DCK的平分線，若ANM=90，則AN=NM 如圖3,在正五邊形ABCDE中,N為BC邊上任一點,CM為正五邊形外角DCK的平分線,若ANM=108,則AN=NM任務(wù)要求： 請你證明以上三個命題； 請你繼續(xù)完成下面的探索

12、： 如圖4,在正（3）邊形ABCDEF中,N為BC邊上任一點,CM為正邊形外角DCK的平分線,問當(dāng)ANM等于多少度時,結(jié)論AN=NM成立（不要求證明）. 如圖5,在梯形ABCD中,ADBC,AB=BC=CD,N為BC延長線上一點,CM為DCN的平分線,若ANM=ABC,請問AN=NM是否還成立？若成立,請給予證明；若不成立,請說明理由.5.（1）如圖，已知在正方形ABCD中，M是AB的中點，E是AB延長線上一點，MNDM且交CBE的平分線于N試判定線段MD與MN的大小關(guān)系；（2）若將上述條件中的“M是AB的中點”改為“M是AB上或AB延長線上任意一點”，其余條件不變試問（1）中的結(jié)論還成立嗎？

13、如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由6.如圖，在ABC中，A=90，D是AC上的一點，BD=DC，P是BC上的任一點，PEBD，PFAC，E、F為垂足求證：PE+PF=AB1.如圖，已知ABC中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，點D為AB的中點（1）如果點P在線段BC上以1cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，BPD與CQP是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使BPD與CQP全等？（2）若點Q以中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B

14、同時出發(fā)，都逆時針沿ABC三邊運動，則經(jīng)過 后，點P與點Q第一次在ABC的 邊上相遇？（在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程）2.已知：在ABC中，ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的左側(cè)作等腰直角ADE，解答下列各題：如果AB=AC，BAC=90（i）當(dāng)點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖甲，線段BD，CE之間的位置關(guān)系為（ii）當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，如圖乙，i）中的結(jié)論是否還成立？為什么？3.（2012內(nèi)江）已知ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使DAF

15、=60，連接CF（1）如圖1，當(dāng)點D在邊BC上時，求證：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如圖2，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系DCBAEH1.在ABC中，ADBC, BEAC, D、E為垂足，AD與BE交與點H，BD=AD求證：BH=AC BEAD 2.（08河北中考第24題）如圖14-1，在ABC中，BC邊在直線l上，ACBC，且AC = BCEFP的邊FP也在直線l上，邊E

16、F與邊AC重合，且EF=FP（1）在圖14-1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將EFP沿直線l向左平移到圖14-2的位置時，EP交AC于點Q，連結(jié)AP，BQ猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；（3）將EFP沿直線l向左平移到圖14-3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連結(jié)AP，BQ你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由3.（2006年遼寧沈陽25題）.如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD的中點，AF、DE相交于點G，則可得結(jié)論：AF

17、=DE；AFDE.(不需要證明)(1)如圖2，若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，但滿足CE=DF.則上面的結(jié)論、是否仍然成立？(請直接回答“成立”或“不成立”)(2)如圖3，若點E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時上面的結(jié)論、是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.4.如圖1，A、E、F、C在同一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DEAC，BFAC，若AB=CD，試說明BD平分EF；若將DEC的邊EC沿AC方向移動變?yōu)閳D2時，其余條件不變，BD是否還平分EF，請說明理由。5.如圖，ABC中，ACB90，ACBC，A

18、E是BC邊上的中線，過C作CFAE，垂足為F，過B作BDBC交CF的延長線于D求證：（1）AECD； （2）若AC12 cm，求BD的長 6如圖，兩個全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，DEA=ACB=90，DAE=ABC=30，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BD中點M，連接ME、MC，試判斷EMC的形狀，并說明理由7.已知BE，CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系8. 在RtABC中，ACBC，ACB90，D是AC的中點，DGAC交AB于點G.（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，點F在線段DG上，且DE=DF，連

19、結(jié)EF與 CF，過點F作FHFC，交直線AB于點H求證：DG=DC判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明（2）若E為線段DC的延長線上任意一點，點F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變（本小題直接寫出結(jié)論，不必證明）30、如圖，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且AE=AD，AF=AB，求證：AC=EF1.直線CD經(jīng)過的頂點C，CA=CBE、F分別是直線CD上兩點，且（1）若直線CD經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖1，若，則 （填“”，“”或“”號）；如圖2，若，若使中

20、的結(jié)論仍然成立，則 與 應(yīng)滿足的關(guān)系是 ；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過的外部，請?zhí)骄縀F、與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明ABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖32.已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB 于E，且B+D=180，求證：AE=AD+BE 3.操作：如圖，ABC是正三角形，BDC是頂角BDC120的等腰三角形，以D為頂點作一個60角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明4如圖，已知E是正方形ABCD的邊CD的中點，點F在BC上，且DAE=FAE求證：AF=AD-CF5如圖所示，已知ABC

21、中，AB=AC，D是CB延長線上一點，ADB=60，E是AD上一點，且DE=DB，求證：AC=BE+BC6、在ABC中，BD=DC，EDDF求證：BECFEF旋轉(zhuǎn)已知，如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，ACB=90，F(xiàn)是AB的中點，直線l經(jīng)過點C，分別過點A、B作l的垂線，即ADCE，BECE，（1）如圖1，當(dāng)CE位于點F的右側(cè)時，求證：ADCCEB；（2）如圖2，當(dāng)CE位于點F的左側(cè)時，求證：ED=BE-AD；（3）如圖3，當(dāng)CE在ABC的外部時，試猜想ED、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想考點：全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題；探究型分析：（1）利用同角的余角相等得出CAD=B

22、CE，進而根據(jù)AAS證明ADCCEB（2）根據(jù)AAS證明ADCCEB后，得其對應(yīng)邊相等，進而得到ED=BE-AD（3）根據(jù)AAS證明ADCCEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，進而得到ED=AD+BE解答：（1）證明：ADCE，BECE，ADC=CEB=90ACD+ECB=90，CAD+ACD=90，CAD=BCE（同角的余角相等）在ADC與CEB中 ADC=CEB CAD=BCE AC=BC ，ADCCEB（AAS）（2）證明：ADCE，BECE，ADC=CEB=90ACD+ECB=90，CAD+ACD=90，CAD=BCE（同角的余角相等）在ADC與CEB中 ADC=C

23、EB CAD=BCE AC=BC ，ADCCEB（AAS）DC=BE，AD=CE又ED=CD-CE，ED=BE-AD（3）ED=AD+BE證明：ADCE，BECE，ADC=CEB=90ACD+ECB=90，CAD+ACD=90，CAD=BCE（同角的余角相等）在ADC與CEB中 ADC=CEB CAD=BCE AC=BC ，ADCCEB（AAS）DC=BE，AD=CE又ED=CE+DC，ED=AD+BE點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；利用全等三角形的對應(yīng)邊相等進行等量交換，證明線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是一種很重要的方法，注意掌握3.如圖1、圖2、圖3，AOB，COD均是等腰直角三角形，A

24、OBCOD90，（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由。（2）若COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達圖2的位置，請問AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎？為什么？ （3）若COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達圖3的位置，請問AC與BD還相等嗎？還具有上問中的位置關(guān)系嗎？為什么？考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形分析：（1）根據(jù)等腰三角形的兩腰相等進行解答（2）證明DOBCOA，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等進行說明解答：解：（1）相等在圖1中，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOB=COD=90，OA=OB，OC=OD，0A-0C=0B-OD

25、，AC=BD；（2）相等在圖2中，0D=OC，DOB=COA，OB=OA，DOBCOA，BD=AC點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)問題，在旋轉(zhuǎn)的過程中要注意哪些量是不變的，找出圖形中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角4.（2008河南）（9分）復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC內(nèi)部任意一點，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ，使QAP=BAC，連接BQ、CP，則BQ=CP”小亮是個愛動腦筋的同學(xué)，他通過對圖的分析，證明了ABQACP，從而證得BQ=CP之后，將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立

26、，請你就圖給出證明考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)專題：證明題；探究型分析：此題的兩個小題思路是一致的；已知QAP=BAC，那么這兩個等角同時減去同一個角（2題是加上同一個角），來證得QAB=PAC；而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS證得ABQACP，進而得出BQ=CP的結(jié)論解答：證明：（1）QAP=BAC，QAP-BAP=BAC-BAP，即QAB=CAP；在BQA和CPA中， AQ=AP QAB=CAP AB=AC ，BQACPA（SAS）；BQ=CP（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：QAP=BAC，QAP+PAB=BAC+PAB，即QAB=PAC

27、；在QAB和PAC中， AQ=AP QAB=PAC AB=AC ，QABPAC（SAS），BQ=CP點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)；選擇并利用三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵5.（2009山西太原）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片和且。將這兩張三角形膠片的頂點與頂點重合，把繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時與相交于點當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點，在同一直線上時，與的數(shù)量關(guān)系是 當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？AO與DO存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：探究型分析：（1）根據(jù)外角的性質(zhì)，得AFD=

28、D+ABC，DCA=A+ABC，從而得出AFD=DCA；（2）成立由ABCDEF，可證明ABF=DEC則ABFDEC，從而證出AFD=DCA；（3）BOAD由ABCDEF，可證得點B在AD的垂直平分線上，進而證得點O在AD的垂直平分線上，則直線BO是AD的垂直平分線，即BOAD解答：解：（1）AFD=DCA（或相等）（2）AFD=DCA（或成立），理由如下：方法一：由ABCDEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），ABC=DEF，BAC=EDFABC-FBC=DEF-CBF，ABF=DEC在ABF和DEC中， AB=DE ABF=DEC BF=EC ABFDEC，BAF=EDCBAC-

29、BAF=EDF-EDC，F(xiàn)AC=CDFAOD=FAC+AFD=CDF+DCA，AFD=DCA方法二：連接AD同方法一ABFDEC，AF=DC由ABCDEF，得FD=CA在AFDDCA， AF=DC FD=CA AD=DA AFDDCA，AFD=DCA（3）如圖，BOAD方法一：由ABCDEF，點B與點E重合，得BAC=BDF，BA=BD點B在AD的垂直平分線上，且BAD=BDAOAD=BAD-BAC，ODA=BDA-BDF，OAD=ODAOA=OD，點O在AD的垂直平分線上直線BO是AD的垂直平分線，BOAD方法二：延長BO交AD于點G，同方法一，OA=OD在ABO和DBO中， AB=DB B

30、O=BO OA=OD ABODBO，ABO=DBO在ABG和DBG中， AB=DB ABG=DBG BG=BG ABGDBG，AGB=DGB=90BOAD點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù).考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)分析：延長EB使得BG=DF，易證ABGADF（SAS）可得AF=AG，進而求證AEGAEF可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90即可解題解答：解：延長EB使得BG=DF，在ABG和ADF中，由 AB=AD ABG=

31、ADF=90 BG=DF ，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90，EAF=45答：EAF的角度為45點評：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證EAG=EAF是解題的關(guān)鍵例2 D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（1） 當(dāng)繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積?？键c：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)

32、；等腰直角三角形專題：計算題分析：（1）連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，則BCD=45，CDA=90，由DMDN得EDF=90，根據(jù)等角的余角相等得到CDE=ADF，根據(jù)全等三角形的判定易得DCEADF，即可得到結(jié)論；（2）由DCEADF，則SDCE=SADF，于是四邊形DECF的面積=SACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根據(jù)三角形的面積公式易求得SACD，從而得到四邊形DECF的面積解答：解：（1）連CD，如圖，D為等腰RtABC斜邊AB的中點，CD平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，BCD=45，CDA=90，DMDN，ED

33、F=90，CDE=ADF，（圖1）（圖2）（圖3）在DCE和ADF中， DCE=DAF DC=DA CDE=ADF ，DCEADF，DE=DF；（2）DCEADF，SDCE=SADF，四邊形DECF的面積=SACD，而AB=2，CD=DA=1，四邊形DECF的面積=SACD=1 2 CDDA=1 2 點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)1、已知四邊形中，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情

34、況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)APB=45時,求AB及PD的長;(2)當(dāng)APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)APB的大小.3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、

35、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）由DM=DN，MDN=60，可證得MDN是等邊三角形，又由ABC是等邊三角形，CD=BD，易證得RtBDMRtCDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN，此時 QL =2 3 ；（2）在CN的延長線上截取CM1=BM，連接DM1可證DBMDCM1，

36、即可得DM=DM1，易證得CDN=MDN=60，則可證得MDNM1DN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1=BM，連接DM1，可證DBMDCM1，即可得DM=DM1，然后證得CDN=MDN=60，易證得MDNM1DN，則可得NC-BM=MN解答：解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN此時 Q L =2 3 （2分）理由：DM=DN，MDN=60，MDN是等邊三角形，ABC是等邊三角形，A=60，BD=CD，BDC=120，BDC=DCB=30，MBD=NCD=90，DM=DN，BD=CD，RtBDMRtCDN，BDM=CDN=3

37、0，BM=CN，DM=2BM，DN=2CN，MN=2BM=2CN=BM+CN；AM=AN，AMN是等邊三角形，AB=AM+BM，AM：AB=2：3，Q L =2 3 ；（2）猜想：結(jié)論仍然成立 （3分）證明：在CN的延長線上截取CM1=BM，連接DM1（4分）MBD=M1CD=90，BD=CD，DBMDCM1，DM=DM1，MBD=M1CD，M1C=BM，MDN=60，BDC=120，M1DN=MDN=60，MDNM1DN，MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，AMN的周長為：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，Q L =2 3 ；（3）證明：在CN上截取CM1=BM，連接

38、DM1（4分）可證DBMDCM1，DM=DM1，（5分）可證CDN=MDN=60，MDNM1DN，MN=M1N，（7分）NC-BM=MN（8分）點評：此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識此題綜合性很強，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法 例8（2005年馬尾）用兩個全等的等邊三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一個含60角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合.將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)時，（如圖131），通過觀

39、察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F(xiàn)時（如圖132），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由.考點：菱形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分析：（1）利用全等三角形的判定得出ABEACF即可得出答案；（2）根據(jù)已知可以得出BAE=CAF，進而求出ABEACF即可；（3）利用四邊形AECF的面積S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC求出即可解答：解：（1）得出結(jié)論是：BE=CF，證明：BAC=EAF=60，BAC-EAC=EAF-EAC，即：BAE=CAF，又AB

40、=AC，ABE=ACF=60， BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA），BE=CF，（2）還成立，證明：BAC=EAF=60，BAC+EAC=EAF+EAC，即BAE=CAF，又AB=AC，ABE=ACF=60，即 BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA），BE=CF，（3）證明：ABEACF，SABE=SACF，四邊形AECF的面積S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC；而SABC=1 2 S菱形ABCD，S=1 2 S菱形ABCD點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判定求出是解題關(guān)鍵解

41、：（1）BE=CF. 證明：在ABE和ACF中， BAE+EAC=CAF+EAC=60， BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明ABE和ACF旋轉(zhuǎn)型FEDCABGH1、如圖，正方形ABCD的邊長為1，G為CD邊上一動點（點G與C、D不重合）， 以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長線于H。求證： BCGDCE BHDE考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)專題：動點型分析：（1）根據(jù)正方形的邊的性質(zhì)和直角可通過SAS判定BCG

42、DCE，從而利用全等的性質(zhì)得到BGC=DEC；（2）連接BD，解題關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得出BD=BE，從而找到BD= 2，CE=BE-BC= 2 -1，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可解答：解：（1）證明：四邊形ABCD、GCEF都是正方形，BC=DC，BCG=DCE=90，GC=ECBCGDCE（3分）BGC=DEC（4分）（2）連接BD如果BH垂直平分DE，則有BD=BE（6分）BC=CD=1，BD= 2 （8分）CE=BE-BC= 2 -1（9分）CG=CE= 2 -1即當(dāng)CG= 2 -1時，BH垂直平分DE（10分）點評：此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和線段的垂直平分線的

43、性質(zhì)等幾何知識線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等特殊圖形的特殊性質(zhì)要熟練掌握2、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）；（2）證明：DCBE考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形專題：證明題圖1圖2DCEAB分析：（1）此題根據(jù)ABC與AED均為等腰直角三角形，容易得到全等條件證明ABEACD；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件可以證明DCBE 解答：證明：（1）ABC與AED均為等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，BAC

44、=EAD=90BAC+CAE=EAD+CAE即BAE=CAD，在ABE與ACD中，AB=ACBAE=CADAE=ADABEACD（2）ABEACD，ACD=ABE=45又ACB=45，BCD=ACB+ACD=90DCBE點評：此題是一個實際應(yīng)用問題，利用全等三角形的性質(zhì)與判定來解決實際問題，關(guān)鍵是理解題意，得到所需要的已知條件3、（1）如圖7，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點E，連結(jié)BC求AEB的大小；CBOD圖7AEBAODCE圖8（2）如圖8，OAB固定不動，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點O

45、旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊），求AEB的大小.4、如圖，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E，求證：（1）BD=CE；（2）BDCE證明：（1）AEAB，ADAC BAE=CADBAD=CAE而AB=AE，B=E， ABDAECBD=CE （2）由ABDAEC知B=E 而AGB=EGF，EFG=EAB=90，BDCE如圖，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點E，連接BC求AEB的大小考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：計算題分析：由于BOC和ABO都是等邊三角形，可得OD=DC=OC=OB=

46、OA，進而求出BDA與CAD的大小及關(guān)系，則可求解AEB解答：解：DOC和ABO都是等邊三角形，且點O是線段AD的中點，OD=DC=OC=OB=OA，ACDDBA，BDA=CAD又BDA+OBD=BOA=60，而ODB=OBD，BDA=30CAD=30AEB=BDA+CAD，AEB=60點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形，運用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，求得角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵答題：yeyue5、如圖所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求證： （1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF6、 正方形ABCD中，E為BC

47、上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù).考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)分析：延長EB使得BG=DF，易證ABGADF（SAS）可得AF=AG，進而求證AEGAEF可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90即可解題解答：解：延長EB使得BG=DF，在ABG和ADF中，由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF ，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90，EAF=45答：EAF的角度為45點

48、評：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證EAG=EAF是解題的關(guān)鍵7、D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。當(dāng)繞點D轉(zhuǎn)動時，求證DE=DF。若AB=2，求四邊形DECF的面積。10、如圖，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五邊形ABCDE的面積考點：全等三角形的判定與性質(zhì)專題：應(yīng)用題分析：可延長DE至F，使EF=BC，可得ABCAEF，連AC，AD，AF，可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為兩個ADF的面積，進而求出結(jié)論解答：解：延長DE至F，使EF=BC，連AC，

49、AD，AF，AB=CD=AE=BC+DE，ABC=AED=90，CD=EF+DE=DF，在RtABC與RtAEF中， AB=AE ABC=AEF BC=EF RtABCRtAEF（SAS），AC=AF，在ACD與AFD中， AC=AF CD=DF AD=AD ACDAFD（SSS），SABCDE=2SADF=21 2 DFAE=21 2 22=4點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形面積的計算，應(yīng)熟練掌握五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 將三角形ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=A