第三章邊界效應(yīng)2014

1、L/O/G/O鍋爐壓力容器安全鍋爐壓力容器安全中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）工程學(xué)院 安全工程系 倪曉陽第三章第三章 第三節(jié)第三節(jié) 圓筒殼的邊界效應(yīng)圓筒殼的邊界效應(yīng)安全系安全系 倪曉陽倪曉陽目錄目錄 基本概念基本概念 撓度微分方程及求解撓度微分方程及求解 圓筒殼與凸形封頭連接時(shí)的邊界效應(yīng)圓筒殼與凸形封頭連接時(shí)的邊界效應(yīng) Click to add title in here 51234圓筒殼與厚平板連接時(shí)的邊界效應(yīng)對圓筒殼邊界效應(yīng)的結(jié)論安全系安全系 倪曉陽倪曉陽一、基本概念一、基本概念 承受內(nèi)壓的圓筒形元件，總是和其他相應(yīng)的元件封頭、管板、端蓋等連接在一起，組成一個(gè)封閉體，才能承受內(nèi)壓，以滿足使用要求。

2、在圓筒元件與其他元件相接之處，承受內(nèi)壓之后，其變形和受力情況與非連接部位有很大不同，這是圓筒與相連元件在相連處變形不一致、互相約束造成的。 安全系安全系 倪曉陽倪曉陽1、半徑增量、半徑增量 以圓簡與凸形封頭連接為例(見圖312)，連接線上各點(diǎn)是圓筒與封頭的公共點(diǎn)。作為圓筒簡身上的點(diǎn)，承受內(nèi)壓后其徑向位移Rt可按以下關(guān)系求出。安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 圖3-12圓筒殼與凸形封頭連接時(shí)的邊界效應(yīng)根據(jù)廣義虎克定律，環(huán)向應(yīng)變?yōu)椋?=)2 (2)2pE1-E1EpRpRR（安全系安全系 倪曉陽倪曉陽分析環(huán)向應(yīng)變與徑向位移的關(guān)系，有：因此，同樣可以求出，作為封頭上的點(diǎn)，連接處承受內(nèi)壓后的徑向位移Rf為：

3、RRRRRRtt22)(2)2(2RR2tEpR)2(2R22fyEpR安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 式中，y=a/b，是凸形封頭長軸與短軸之比，或長半徑與短半徑之比。對標(biāo)準(zhǔn)橢球封頭，y=2，因而有： 即是說，在連接線上，作為筒身的一部分應(yīng)沿徑向向外位移Rt;作為封頭的一部分，應(yīng)沿徑向向外或向內(nèi)位移Rf,但封頭在連接線上的徑向位移量總是不向于簡身在連接線上的徑向位移量，筒身向外的徑向位移總是大于封頭向外的徑向位移。 實(shí)際情況是，連接線上的點(diǎn)在承受內(nèi)壓后只能有一個(gè)徑向位移，最后的變形位置只能在二者單獨(dú)變形的中間位置，這樣才能保持構(gòu)件在連接處變形后是連續(xù)的。即二者在連接處互相約束限制。)2(2R2E

4、pRf安全系安全系 倪曉陽倪曉陽剪力剪力封頭封頭彎矩彎矩受到封頭的約束和限制，端部產(chǎn)生受到封頭的約束和限制，端部產(chǎn)生“收口收口”彎曲變彎曲變形，以抵消內(nèi)壓作用于圓筒所產(chǎn)生的向外徑向位移形，以抵消內(nèi)壓作用于圓筒所產(chǎn)生的向外徑向位移。圓筒圓筒安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 薄壁圓筒的抗彎能力很差，上述附加彎矩和剪力有時(shí)會在連接部位產(chǎn)生相當(dāng)大的彎曲應(yīng)力，甚至超過由內(nèi)壓造成的薄膜應(yīng)力。但這種現(xiàn)象只發(fā)生在不同形狀的元件相連接的邊界區(qū)域，所以叫做“邊界效應(yīng)”。由邊界效應(yīng)產(chǎn)生的應(yīng)力叫“不連續(xù)應(yīng)力”，這是抵消不同元件在連接處變形不連續(xù)，保持實(shí)際上的變形連續(xù)在元件內(nèi)出現(xiàn)的局部附加應(yīng)力。 分析邊界效應(yīng)實(shí)際上是分析圓筒

5、殼的彎曲問題，而圓筒彎曲問題比梁的彎曲問題要復(fù)雜得多。梁在受到彎曲時(shí)，其變形比較自由，因?yàn)榱旱膶挾容^小，在寬度方向沒有受到約束梁在受到彎曲時(shí)，其變形比較自由，因?yàn)榱旱膶挾容^小，在寬度方向沒有受到約束安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 圓筒殼可以被想象成是由許多沿軸線并排的、互相靠近的細(xì)長梁所構(gòu)成，每條細(xì)長梁都夾在兩邊相鄰細(xì)長梁之間，受到其約束和限制。圓筒殼軸向承受彎曲時(shí)，相當(dāng)于各條細(xì)長梁都承受彎曲，由于每條細(xì)長梁在寬度方向(圓周方向)與其他細(xì)長梁連在一起，在寬度方向變形受到限制，因而，為了保持變形協(xié)調(diào)，圓筒殼受彎曲時(shí)不僅橫截面內(nèi)有彎矩和剪力，其縱截面內(nèi)也有彎矩和剪力。這些彎矩、剪力是沿圓周均勻分布的，

6、是單位長度(寬度)上的彎矩和剪力，因而彎矩的單位是Ncm/cm或Nmmmm，剪力的單位是Ncm或Nmm。安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 簡言之，對圓筒殼分解成的縱向梁條，如無封頭限制，承受內(nèi)壓后應(yīng)整體沿圓筒徑向向外位移；封頭對圓筒的限制相當(dāng)于在縱向梁條端部加上集中載荷，使梁條產(chǎn)生彎曲變形，而相鄰梁條從兩側(cè)限制了縱向梁條的彎曲變形。而且，縱向梁條的彎曲變形傾向越大，相鄰梁條的約束和限制力也越大。這有點(diǎn)像置于彈性地基上的鐵軟彈性基礎(chǔ)上的梁。當(dāng)車輪作用于鐵軌使其發(fā)生彎曲變形時(shí)，彈性地基給鐵軟以反彎曲的約束力，減弱和抵消鐵軟的彎曲變形。車輪給鐵軌的作用力越大，鐵軌下陷彎曲的傾向越大，彈性地基對鐵軌的反作用

7、力也越大。由于彈性地基的約束作用，使鐵軌的彎曲變形僅限于車輪附近。在經(jīng)典力學(xué)中正是從分析彈性基礎(chǔ)上的梁入手，分析處理圓筒殼的彎曲問題。安全系安全系 倪曉陽倪曉陽二、撓度微分方程及求解二、撓度微分方程及求解對于承受橫向連續(xù)均布載荷的普通梁，其撓度 (x)隨軸向坐標(biāo)X變化的微分關(guān)系為044dEIqdx式中：EI-梁的抗彎剛度q0-梁上的連續(xù)分布載荷對于彈性基礎(chǔ)上的梁，由于地基對梁的反作用力正比于梁的撓度，把地基的反作用力視作梁承受的分布載荷而不考慮其他分布載荷即q=-k 則有：Kdx44dEI0dEI44Kdx即安全系安全系 倪曉陽倪曉陽縱向梁條的抗彎剛度與承受雙縱向梁條的抗彎剛度與承受雙向彎曲圓

8、平板板條的抗彎剛度向彎曲圓平板板條的抗彎剛度一樣，是一樣，是D而不是而不是EI，而，而縱向梁條的撓度縱向梁條的撓度（x）是圓是圓筒殼與封頭相連后，自連接部位筒殼與封頭相連后，自連接部位起以圓筒殼軸向?yàn)槠鹨詧A筒殼軸向?yàn)閤向進(jìn)行考察，向進(jìn)行考察，圓筒殼承受內(nèi)壓后本應(yīng)產(chǎn)生的徑圓筒殼承受內(nèi)壓后本應(yīng)產(chǎn)生的徑向位移與實(shí)際產(chǎn)生徑向位移之差。向位移與實(shí)際產(chǎn)生徑向位移之差。(見圖見圖3-12）針頭對圓筒殼的針頭對圓筒殼的“收口收口”作作用，是圓筒殼縱向梁條彎曲用，是圓筒殼縱向梁條彎曲的起因，可簡化為縱向梁條的起因，可簡化為縱向梁條端部承受的剪力端部承受的剪力N0和彎矩和彎矩M0。縱向梁條所受縱向梁條所受“地基地

9、基”的反作用的反作用力，是兩側(cè)相鄰縱向梁條對其環(huán)力，是兩側(cè)相鄰縱向梁條對其環(huán)向擠壓力向擠壓力N的徑向合力的徑向合力q(見圖見圖313c)。第一第一第二第二第三第三第四第四對于圓筒殼分解成的縱向梁條，將其近似視為彈性基礎(chǔ)上的梁對于圓筒殼分解成的縱向梁條，將其近似視為彈性基礎(chǔ)上的梁時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：）（23-112ED安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 圖3-13 圓筒殼彎曲時(shí)的內(nèi)力q與的關(guān)系如下： 縱向梁條的撓度是圓筒殼的附加徑向位移，與之相應(yīng)的附加環(huán)向應(yīng)變可按本節(jié)“一、基本概念”中的方法得出：R安全系安全系 倪曉陽倪曉陽附加環(huán)向應(yīng)力為：而N是單位長度環(huán)向板條上的內(nèi)力：將縱向梁條兩

10、側(cè)擠壓力折算成下部反作用力q：REEREN112sin2RqN安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 取 ，則即因而縱向梁條的撓度微分方程為： （3-31）22sinKRERN2q2REK0244REdxdD0244DREdxd安全系安全系 倪曉陽倪曉陽令 ，則：取 =0.3 ，則：式中，稱為邊界效應(yīng)的衰減系數(shù)，其量綱為mm-1。424DRE04444dxd442222)1 ( 34RDRER285.1安全系安全系 倪曉陽倪曉陽式（3-31）的解為： 式中，e為自然對數(shù)的底。當(dāng) , , 這顯然是不合理的，所以，C1=C2=0，則： 以封頭與圓筒殼連接處橫截面上的剪力N0和軸向彎矩M0代替C3，C4，則有：

11、)sincos()sincos()(4321xCxCexCxCexxxx)(x)sincos()(43xCxCexxcos)cos(sin2)(00 xNxxMDexx安全系安全系 倪曉陽倪曉陽若為圓筒殼上縱向梁條相應(yīng)于在不同x處的轉(zhuǎn)角；Mx為作用在圓筒殼軸向距端部為x橫截面上的彎矩;Nx為作用在圓筒殼軸向距端部為x橫截面上的剪力；M為相應(yīng)縱截面上的環(huán)向彎矩；N為相應(yīng)縱截上的環(huán)向力(見圖313b)。依據(jù)材料力學(xué)和彈性力學(xué)有：ABCDEdxd22dxdDMx33dxdDNx22dxdDxMMREN安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 求出的各階層導(dǎo)數(shù)，即可得出以下表達(dá)式： （3-33） （3-34） （3

12、-35） （3-36） sin)cos(sinM00 xNxxMexxxMM)sin(cossin200 xxNxMeNxxcos)cos(sin200 xNxxMeRNx M0，N0是圓筒殼承載后在連接處因變形協(xié)調(diào)而出現(xiàn)的附加內(nèi)力，其大小不僅取決于與圓筒相連封頭的結(jié)構(gòu)形狀，也取決于造成邊界效應(yīng)載荷的性質(zhì)及大小。安全系安全系 倪曉陽倪曉陽三、三、圓筒殼與凸形封頭連接時(shí)的邊界效應(yīng)圓筒殼與凸形封頭連接時(shí)的邊界效應(yīng) 圓筒殼與凸形封頭連接時(shí)，在連接處二者的幾何形狀是連續(xù)的。承受內(nèi)壓后二者雖因連接處變形不相同互相牽制，但最終到達(dá)的位置仍保持了連接部位的連續(xù)連接處有同一的徑向位移和轉(zhuǎn)動(dòng)角度。當(dāng)凸形封頭與圓

13、筒殼的材質(zhì)、壁厚都相同時(shí)，相應(yīng)的 因而，當(dāng)凸形封頭與圓筒殼相連接時(shí)，在圓筒殼連接部位附近因內(nèi)壓引起的附加內(nèi)力為： （3-37） （3-38） （3-39） （3-40） 0M0208NypxepyMxxsin822xepyMMxxsin822)sin(cos82xxepyNxxxepRyNxcos42安全系安全系 倪曉陽倪曉陽Mx，Nx隨x變化趨勢如圖3-14所示：圖3-14 Mx,Nx沿圓筒軸向的變化趨勢安全系安全系 倪曉陽倪曉陽（一）連接處（x=0）內(nèi)力及應(yīng)力0M0Mx820pyNNx42pRyN由于連接處彎矩等于零，因而沒有相應(yīng)的附加彎曲應(yīng)力。連接處的徑向剪力N。在連接處橫截面上引起剪應(yīng)

14、力，平均剪應(yīng)力為：連接處附加環(huán)向力N0在連接處造成附加環(huán)向應(yīng)力： 由式(339)及式(340)可知，Nx,和N都是隨x的增加面減小的，連接處的N0及N是最大剪力及最大環(huán)向應(yīng)力，因而 , 。8N200py42)0(0pRyNxmax0 xmax0安全系安全系 倪曉陽倪曉陽 由于 的絕對數(shù)值較小，可忽略不計(jì)。因而連接處的主要附加應(yīng)力是環(huán)向附加應(yīng)力 。連接處總的應(yīng)力應(yīng)是內(nèi)壓引起的薄膜應(yīng)力與附加應(yīng)力的代數(shù)和： （與球形封頭相連，y=1） (與標(biāo)準(zhǔn)橢球封頭相連，y=2)0004342pRpRypR2pR安全系安全系 倪曉陽倪曉陽（二）附加彎矩最大截面的內(nèi)力和應(yīng)力 Mx,M的值隨x而變化，當(dāng)x= /4,或

15、者x= /(4)=0.61 (取 =0.3，以下同）時(shí)，Mx達(dá)最大值，相應(yīng)的附加軸向彎曲應(yīng)力為： （與球形封頭相連） = （與標(biāo)準(zhǔn)橢球封頭相連）在同一位置，M及相應(yīng)的附加環(huán)向應(yīng)力也達(dá)到最大值，其數(shù)值為： （與球形封頭相連） = （與標(biāo)準(zhǔn)橢球封頭相連）在附加彎矩最大的截而上，徑向剪力Nx減小為零，附加環(huán)向力為:R24222maxmax614sin861epyMxpRpRpRy584.0146.0146.02max2xmax2maxmax61M61wMpRpRRy584.0044.0p044.0224208. 04cos4pRyepRyN安全系安全系 倪曉陽倪曉陽由附加環(huán)向力引起的附加環(huán)向應(yīng)力為：

16、 (與球形封頭相連) (與標(biāo)準(zhǔn)橢球封頭相連) 作用于該截而內(nèi)某點(diǎn)的總應(yīng)力應(yīng)為內(nèi)壓造成的薄膜應(yīng)力及附加應(yīng)力之相。對與標(biāo)淮橢球封頭相連的圓筒，內(nèi)壁處的最大環(huán)向總應(yīng)力為： 內(nèi)外壁面處的軸向總應(yīng)力分別為：pRpRpRyN32.008.008.02pRpRpRpRi855.032.0175.0pRpRpRi084.0584.02pRpRpRo084.1584.02安全系安全系 倪曉陽倪曉陽四、圓筒殼與厚平板連接時(shí)的邊界效應(yīng)四、圓筒殼與厚平板連接時(shí)的邊界效應(yīng) 圓筒殼與厚平板連接時(shí)，由于厚板抗彎剛度很大、可以近似地看做對圓筒殼端部形成了剛性約束，即在連接處圓筒殼無轉(zhuǎn)角和徑向位移。由此可求得連接處的附加軸向彎

17、矩M0和徑向剪力N0：因而有：)5 . 01 (2220EpRDM)5 . 01 (4230EpRDN)sin(cos)5 . 01 (222xxeEpRDMxxxMMxeEpRDNxxcos)5 . 01 (423)sin(cos)5 . 01 (xxepRNx安全系安全系 倪曉陽倪曉陽在連接處的應(yīng)力計(jì)算式如下：ProductDescription of thecompanys products一pREpRDMw)1 (3)5 .01 (36)5 .01 (26222220二pRw46. 0wRpRRpREpRDN66. 0)1 ( 35 . 01)5 . 01 (442230三四pRpRN

18、85. 0)5 . 01 (軸向附加彎曲應(yīng)力環(huán)向附加彎曲應(yīng)力橫截面上的徑向平均剪應(yīng)力由附加環(huán)向力引起的附加環(huán)向應(yīng)力(x0)安全系安全系 倪曉陽倪曉陽考慮內(nèi)壓引起的薄膜應(yīng)力及附加應(yīng)力后在連接處的總應(yīng)力為： 可以證明，對于圓簡殼與厚平板相連接這鐘情況連接處的附加彎矩最大，即M0=Mx max。附加彎矩沿圓筒殼鈾向(x袖)迅速衰減，其衰減規(guī)律如圖315所示。 pRpRpR04. 254. 12ipRpRpRpR61. 085. 046. 0 實(shí)際采用的平端蓋、平管板對圓簡殼雖有很大的約束作用，但并不完全是剛性約束，而是所謂“彈性約束”，允許圓筒殼在連接處有一定的轉(zhuǎn)角和徑向位移。因而實(shí)際結(jié)構(gòu)的不連續(xù)應(yīng)力較上面按剛性約束計(jì)算的值要小一些，其具體計(jì)算從略。安全系安全系 倪曉陽倪曉陽五、對圓筒殼邊界效應(yīng)的結(jié)論五、對圓筒殼邊界效應(yīng)的結(jié)論第一，圓簡殼