2014真題與解析

1、2014年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學二試題、選擇題 1 8小題每小題4分，共32 分.11當x 0 時，若In -(1 2x), (1 -cosx)?均是比x高階的無窮小，則:-的可能取值范圍是(11(A) (2, ：)(B) (1,2)(C) ( ,1)( D) (0,)22【詳解】In (12x) 2x，是階無窮小,1 212(1 - COSX)7 x-是 階無窮小,_a2 :a 1由題意可知丿2所以的可能取值范圍是(1,2)，應該選(B )2.下列曲線有漸近線的是2 1 2 1(A) y=x sinx (B) y=x sinx (C)x sin (D) y = x sinxx1【詳解

2、】對于y = x、sin ， x可知lim- =1且lim (y - x)二lim sin1 = 0，所以有斜漸近線y = xCxX護x護xx_J：:應該選(C)3設函數 f (x)具有二階導數，g(x)二 f(0)(1 - x) f(1)x，則在0,1 上()(A)當 f(x) 一 0 時，f(x)_g(x)(B)當 f(x) 一 0 時，f(x)g(x)(C)當 f (x) 一 0 時，f(x)_g(x)(D )當 f(x) 一 0 時，f(x)zg(x)【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法.【詳解1】如果對曲線在區(qū)間a,b上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷.顯然g(x)

3、 = f( 0)(1 - x) f(1)x就是聯接(0, f( 0),(1, f(1)兩點的直線方程. 故當f “(X)一 0時，曲線是凹的，也就是f(x) = g(x)，應該選(D)【詳解2】如果對曲線在區(qū)間a,b上凹凸的定義不熟悉的話，可令F (x)二 f (x) _ g(x)二 f (x) _ f (0)( 1 - x) _ f (1)x，貝卩 F (0) =F (1)二 0，且 F (x)二 f(x)，故當f (x 0 時，曲線是凹的，從而 F(xpl F( 0) = F(1) = 0，即 卩 F(x)二 f(x)- g(x)空 0，也就是f (x) 一 g(x),應該選(D)4.曲線

4、=t2 - 7,=t24t 1上對應于t =1的點處的曲率半徑是(A)1050100(C) 10.10(D) 5 10y曲率半徑【詳解】 曲線在點(X, f(x)處的曲率公式 K=,J(1 + yx -arx tan x)lim p = lim2本題中知喘亠4，所以蚊dx2tdx2對應于t =1的點處y二3, y = -1，所以2tK _(1 y2 )3 一10.10曲率半徑R - =10.10Kxf()，則 ii叫-二應該選 5.設函數 f (x)二 arctan x，若 f(x)=(A) 1(B)-3(C)-(D)【詳解】注意(1) f(x)=x 一；0時,arctan x =133x3

5、x o(x).由于f(x)二xf(j .所以可知f)二f ( x) arctan x2 x - arctan x(arctan x)2133X - (x - - x ) o(x )1Q 的內部具有二階連續(xù)偏導數，且滿足6.設u(x, y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在 D).；：2u(A)u( x, y)的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上;(B)u(x, y)的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的內部;u( x, y)的最大值點在區(qū)域 D的內部，最小值點在區(qū)域D的邊界上;(D) u(x, y)的最小值點在區(qū)域 D的內部，最大值點在區(qū)域 D的邊界上.【詳解】u(x, y)在平面有界閉區(qū)域D上

6、連續(xù)，所以u(x, y)在D內必然有最大值和最小值并且如果在內部存在駐點(x0 ,yo)，也就是:ux=0，在這個點處y2 2 2； u :：2U ; u2，C =2，B x:y；x；y；2 u；y：x，由b等于0d2(A) (ad -bc)2(B) -(ad - bc)2 2 2 2 2 2 2 2(C) a d - b c (D) - a d b c條件，顯然 AC -B2 : 0，顯然u(x, y)不是極值點，當然也不是最值點，所以u(x, y)的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域 D的邊界上.所以應該選(A).0aba007行列式0 cdc 00【詳解】0aba000cdc000b0d=a

7、 0ba0b0+ b0c0dc0da =-adc2=-(ad - bc)應該選(B).&設：1 ,2,3是三維向量，則對任意的常數k,l，向量1 k- 3 ,2 l- 3線性無關是向量3線性無關的(A)必要而非充分條件(C)充分必要條件(B)充分而非必要條件(D)非充分非必要條件【詳解】若向量：1八23線性無關，則(1(M k- 3 ,2 l- 3 )0X1=(口 1 2卩3 )K，對任意的常數 k,l，矩陣K的秩都等l丿于2，所以向量：k 3,：- 2 r 3 定線性無關.0 ox% =0 2 =1a3 =00j 2， 3線性相關；故選擇(A ).、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24

8、分.把答案填在題中橫線上）9.1-x22 x 5 dx【詳解】-x22x 5dx 一 - (x 1)24dx1x - 1 112 arctan 1 廿 2二二3-( )428【詳解】當0,2 1時，1=2ze2yz 2y, Fz 二 2ye2yz 1，當 x = y =-2時，0，上exFz1 cz2 :y=-，所以Fz 2 1 1 dz|i11 亍2 dx 7 dy.2 2 2 212 .曲線L的極坐標方程為r -），則L在點（r,r）-，-j處的切線方程為12 2丿【詳解】先把曲線方程化為參數方程x = r(0)coS = 0 coS，于疋在占y = r(日)sin =日 sin 日ji處

9、,2ji“ 0,廠-，sin： cosdy.I-dx 2 cos si” 2-，則JIL 在點（r,二）=j,孑處的切線方程為1設f（x）為周期為4的可導奇函數，且 f（x）二2（x-1）,x02丨，則f（7）=2f (x)二 2(x - 1)dx 二 x -2x C ，由 f(0)= 0 可知 C = 0，即2f(x)二x -2 x ; f (x)為周期為 4 奇函數，故 f (7) = f ( 1)=f(1) = 1 .11 .設z = z(x, y)是由方程e2yz x y y x ji z =確定的函數，貝V dz|4【詳解】設 F(x, y,z) =e2yz x y2 z- ，Fx

10、二 1,Fy413. 一根長為1的細棒位于x軸的區(qū)間0,11上，若其線密度 （X）二-x22x 1，則該細棒的質心坐標x 二i_ xP(x)dx【詳解】質心坐標x = 1L P(x)dx1 IoX )d X) + 2X2+i 2(-x22 x 1)dx11=11520314 .設二次型f (x1 ,x2,x3) = x2 - x2 2ax 1 x3 4x2x3的負慣性指數是1 ,則a的取值范圍是.【詳解】由配方法可知2 2f (x1, x 2, x3) = xr - x 22ax 1 x 34 x 2 x32 2 2 2=(x 1 ax3) _(X2-2 X3) (4 - a )X3由于負慣性

11、指數為1,故必須要求4 - a _0，所以a的取值范圍是1-2,2 1.15.(本題滿分10分)1x 2f1 (t2 (et 1)t)dt求極限lim -x_,三、解答題x 3 1 3 2 y y = x x3 C，由 y(2) = 0 得 C =, ln(1 )x【分析】.先用等價無窮小代換簡化分母，然后利用洛必達法則求未定型極限.【詳解】ix 2(t2 -1)-t)dt limx J :x2 ln(1 1)x.j 1 丄 1丄,1、J1= lim x (2 o(=) - x 二x x2x2x1x 21 (t (et -1)-t)dt 二 limx J :1-lim(x2(e -1) - x

12、)x J：:可得方程通解為:令收丫dx 1 y=0 ,得x = -1，且可知d2y-2x(1 y2 )2 - 2y(1 - x2)2dx2(1 y2)316.(本題滿分10分)已知函數y二y(x)滿足微分方程 x2 y2寸二1 - y，且y(2) = 0 ,求y(x)的極大值和極小值.【詳解】解：把方程化為標準形式得到(1 y2)魚二1 - x2，這是一個可分離變量的一階微分方程，兩邊分別積分 dx當x = 1時，可解得y = 1, y”二-1 - 0 ,函數取得極大值 y = 1 ；當x = -1時，可解得y二0 , y”二20，函數取得極小值 y = 0 .17.(本題滿分10分)設平面區(qū)

13、域D = x, y) 11乞x1 2 y2冬4, x _ 0. y _.計算I 22xsin(二、x y ) dxdyD【詳解】由對稱性可得I22(x y)sin(二 x y )D2 2x y )1dxd 二2 12,2y )dxd =x ysin(二、x2 y2) dxd z1Dxsin(二、xDysin(二，Ddxdy2rsin 二 rdr =-18.(本題滿分10 分)設函數f(u)具有二階連續(xù)導數，z 二 f (excosy)滿足ex二(4z ex c osOe2xf(o)= 0, f( or o,求f(u)的表達式.【詳解】設 u = ex cosy，貝y=f (u) = f (ex

14、 cosy),.:z.x-f(u)excosy,p = f (u)e2x cos2 y f (u)ex cosy ； .x.:zy_f(u)ex siny,-2:z-2y=f (u)e2x sin2 y _ f(u)ex cosy ;=2:z: zr 2r 2x:y=f (u)e2x = f (ex cosy)e2x由條件2-2x=(4z ex cosy)e2x ,可知f(u) =4f(u) u這是一個二階常用系數線性非齊次方程. 對應齊次方程的通解為：f (u)二 C 1e2u-C2e u其中C1 ,C2為任意常數.1對應非齊次方程特解可求得為y*u4116故非齊次方程通解為f (u) =C

15、 1e2u C2e J 所以f (u)的表達式為f(u)=丄e2u_ e-u_ 1 u1616419.(本題滿分10分)設函數f (x), g(x)在區(qū)間a.b上連續(xù)，且f (x)單調增加，0乞g(x)乞1，證明:(1)(2)x0 乞 a g(t)dtbg(t)dta g(t)dtb_ a f(x)dx 乞 f (x)g(x)dx.a【詳解】xxx(1)證明：因為 0_ g(x)_ 1，所以0dxg(t)dt 乞 1dtFaa即 0 乞 a g(t)dt 乞 x a, x = a,b 1.x(2)令 F(x) f(u)g(u)du-LaLaxa 亠 | g(t)dtaf (u)du,則可知 F

16、(a)= 0,且 F(x)= f(x)g(x) g(x)f (a+ g(t)dt j,x因為0乞 g(t)dtmxa,且f (x)單調增加，aa xg(t)dt _ f (a x - a) = f (x).從而I a 丿所以fF(x)= f(x)g(x)-g(x)f a ： g(t)dt 一 f (x)g(x) - g(x) f(x)二 0，也是F(x)在a,b 1單調增加，則F(b)_F(a) = 0，即得到x a,b i20.(本題滿分11分)設函數f(x) ,x1 + xfl (x)a 亠|g(t)dtba f(x)dx 乞 f (x)g(x)dx.aa0,1 1,定義函數列二 f(x)

17、 , f 2 (X)= f(f 1 (x) , fn(x)二 f(fn J (x),設Sn是曲線y = fn(x)，直線x =1, y= 0所圍圖形的面積.求極限nimnsn -【詳解】xf 1 (x)二 C?f2(小 1 f1 (x)xf 1 (x)1 X1 + 1 xxrxx，f3(x 13x，利用數學歸納法可得 fn(x)二 x1 nxii x1 i11|n( 1 + n)Sn = fn(X)dX= 0 dX= - 0 (1 一 )dX(1 一)，0431 + nx n 01 + nx nnlimnSn-lim 1-“nr：nr、 n21 .(本題滿分11分)已知函數 f(x,y)滿足蘭

18、=2(y 1)，且 f(y,y)=(y 1) 2-(2 一 y)lny，求曲線 f(x,y)二 0 所成的 cy圖形繞直線y = -1旋轉所成的旋轉體的體積.【詳解】由于函數f(x,y)滿足 f =2(y 1)，所以f(x,y) = y22y C(x)，其中C(x)為待定的連續(xù)函數.又因為 f(y,y)=(y 1)2 -(2 - y)ln y，從而可知 C(y)二 1-( 2 -y)ln y,得到 f (x, y)二 y2 2y C(x)二 y2 2y 1 - (2 - x)lnx .令 f (x, y)二 0，可得(y 1)2 = (2 - x)ln x 且當 y 二 _1 時，x1 =1,

19、x2 = 2 .曲線f ( x, y)二0所成的圖形繞直線y = -1旋轉所成的旋轉體的體積為2225(y 1)2dx(2 - x)lnxdx=(2ln 2)二11422.(本題滿分11 分)-4 q -23設A =0 111,E為三階單位矩陣j 203丿(1)求方程組AX=0的一個基礎解系；(2) 求滿足AB二E的所有矩陣.【詳解】(1)對系數矩陣A進行初等行變換如下:1-23-4 1-23-4廣1_ 23-4、廣1001、A =01_11T01_11T01_ 11T010_ 220304_ 31001一3001一 3得到方程組AX=0同解方程組x r = -x 4x 2 =2x 4x 3 =3x 4廣12得到AX = 0的一個基礎解系 =131Iy1Z1 (2)顯然B矩陣是一個4沢3矩陣，設B =x 2y2Z2X 3y3Z3X 4y4N丿對矩