高中全程復習方略配套二倍角的三角函數(shù)ppt課件

1、第六節(jié) 二倍角的三角函數(shù)內(nèi)內(nèi) 容容 要要 求求 A AB BC C 二倍角的正弦、二倍角的正弦、余弦及正切余弦及正切 三年三年1 1考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :二倍角公式二倍角公式正弦正弦余弦余弦正切正切sin2=sin2=2sincos2sincoscos2=cos2=coscos2 2-sinsin2 2= =1-2sin1-2sin2 2= =2cos2cos2 2-1-122tantan21tan 【即時運用】【即時運用】(1)(1)思索：如何了解思索：如何了解“二倍角中的二倍角中的“倍？倍？提示提示:“:“倍是相對的倍是相對的. .如如是是 的二倍，的二倍，33是是 的二倍，的二倍，

2、+是是 的二倍等的二倍等. .2322(2)(cos15(2)(cos15-cos75-cos75)(sin75)(sin75+sin15+sin15)=_.)=_.【解析】原式【解析】原式=(cos15=(cos15-sin15-sin15)(cos15)(cos15+sin15+sin15) )=cos215=cos215-sin215-sin215=cos30=cos30= =答案：答案：3.232(3) (3) 的值等于的值等于_._.【解析】【解析】答案：答案：1sincos212121111sincos2 sincossin.212124121246818(4)(4)假設(shè)假設(shè) 那么

3、那么tan2=_.tan2=_.【解析】【解析】答案：答案：1tan,2 22122tan142tan2.131tan31( )24 43 三角函數(shù)的化簡三角函數(shù)的化簡【方法點睛】【方法點睛】三角函數(shù)的化簡技巧三角函數(shù)的化簡技巧(1)(1)尋求角與角之間的關(guān)系，化非特殊角為特殊角尋求角與角之間的關(guān)系，化非特殊角為特殊角. .(2)(2)正確靈敏地運用公式，經(jīng)過三角變換消去或約去一些非特殊正確靈敏地運用公式，經(jīng)過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值. .(3)(3)一些常規(guī)技巧：一些常規(guī)技巧：“1“1的代換、正切化弦、和積互化、異角的代換、正切化弦、和積互化、異角化同角等化同

4、角等(4)(4)三角函數(shù)的化簡常用方法是：異名三角函數(shù)化為同名三角函三角函數(shù)的化簡常用方法是：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，正切化弦，特殊值與特殊數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，正切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化角的三角函數(shù)互化(5)(5)化簡要求：能求出值的應求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量化簡要求：能求出值的應求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)被開方數(shù)不含三角函數(shù). .【提示】公式的逆用、變形用非常重要，特別是【提示】公式的逆用、變形用非常重要，特別是1+c

5、os21+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2,=2cos2,1-cos2=2sin2,方式類似，容易出錯，運用時要方式類似，容易出錯，運用時要加強加強“目的認識目的認識. . 【例【例1 1】化簡以下各式：】化簡以下各式：【解題指南】【解題指南】(1)(1)假設(shè)留意到化簡式是開平方根和假設(shè)留意到化簡式是開平方根和22是是的二的二倍，倍，是是 的二倍，以及其范圍不難找到解題的突破口；的二倍，以及其范圍不難找到解題的突破口；(2)(2)分分子是一個平方差符合二倍角公式，分母切化弦后符合二倍角公子是一個平方差符合二倍角公式，分母切化弦后符合二倍角公式式. .211113(1)cos2(,

6、2 )_.22222 222cossin2_.2tan()cos ()44【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由于由于所以所以又由于又由于所以所以所以，原式所以，原式= =32 ,2 11cos2coscos ,22 3,42 11cossinsin,2222 sin.2(2)(2)原式原式= =答案：答案：2cos22tan()cos ()44cos22sin()cos()44cos2cos21.cos2sin(2 )2 1 sin 2 12【互動探求】把本例中的【互動探求】把本例中的(2)(2)改為求改為求=_.=_.如何求解？如何求解？【解析】原式【解析】原式= =答案：答案：221co

7、s22tan()sin ()4421cos2122sin()42cos ()4cos()411cos2cos2222sin()cos()sin(2 )442 1cos212cos2212【反思【反思感悟】感悟】1.1.在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關(guān)系，不僅在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于限于22是是的二倍，要熟習多種方式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，同的二倍，要熟習多種方式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，同時還要留意時還要留意 三個角的內(nèi)在聯(lián)絡的作用，三個角的內(nèi)在聯(lián)絡的作用，cos2=cos2= 是常用的三角變換是常用的三角變換. .2.2.化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次、消化簡題一定要

8、找準解題的突破口或切入點，其中的降次、消元、切化弦、異名化同名、異角化同角是常用的化簡技巧元、切化弦、異名化同名、異角化同角是常用的化簡技巧. .3.3.公式變形公式變形2 ,44sin(2 )2sin() cos()244 22sin21 cos21 cos2coscos,sin.2sin22 ，【變式備選】不查表求【變式備選】不查表求 的值的值. .【解析】【解析】22sin 20cos 803sin20 cos8022sin 20cos 803sin20 cos80111 cos401cos1603sin20 cos8022111cos40cos1603sin20 cos(6020 )2

9、2111cos40(cos120 cos40sin120 sin40 )223sin20 (cos60 cos20sin60 sin20 )113331cos40cos40sin40sin40si24442 2n 203311cos401 cos40.444 三角函數(shù)的求值三角函數(shù)的求值【方法點睛】【方法點睛】三角函數(shù)求值的類型和技巧三角函數(shù)求值的類型和技巧三角函數(shù)的求值是三角變換中常見題型三角函數(shù)的求值是三角變換中常見題型, ,它分為非條件求值它分為非條件求值( (特特殊的化簡殊的化簡) )和條件求值和條件求值. .條件求值中又有給值求值和給角求值條件求值中又有給值求值和給角求值, ,解解此

10、類問題的關(guān)鍵是把待求角用知角表示此類問題的關(guān)鍵是把待求角用知角表示: :知角為兩個時知角為兩個時, ,待求角普通表示為知角的和與差待求角普通表示為知角的和與差. .知角為一個時知角為一個時, ,待求角普通與知角成待求角普通與知角成“倍的關(guān)系或倍的關(guān)系或“互余互互余互補關(guān)系補關(guān)系. .對于角還可以進展配湊對于角還可以進展配湊, ,常見的配湊技巧有常見的配湊技巧有: :12() ;22(). 424 【例【例2 2】假設(shè)】假設(shè) 求求的值的值. .【解題指南】此題可以利用【解題指南】此題可以利用 的變換，同時要留意的變換，同時要留意x x的范圍和符號，求出的范圍和符號，求出sinxsinx和和cos

11、xcosx代入原式求解；也可以化簡原代入原式求解；也可以化簡原式后得到二倍角與和角的三角函數(shù)，利用式后得到二倍角與和角的三角函數(shù)，利用 的變的變換，再利用兩角差的余弦和二倍角公式求解換，再利用兩角差的余弦和二倍角公式求解. .3 177cos(x),x,45 124 2sin2x2sin x1tanxx(x)442x2(x)42【規(guī)范解答】方法一：由【規(guī)范解答】方法一：由 得得又因又因從而從而原式原式177x,124 5x2 ,3434cos(x),sin(x).4545 cosxcos(x)442cos(x)cossin(x)sin,444410 7 2sinx,tanx7.10 22sin

12、xcosx2sin x1tanx27 227 22 () ()2 ()28101010.1 775 方法二：原式方法二：原式而而所以原式所以原式= =2sinxcosx 1tanx1tanxsin2xtan(x),42 sin2xsin2(x)cos2(x)42472cos (x) 1,425 sin(x)44tan(x),43cos(x)4 7428().25375 【反思【反思感悟】感悟】1.1.此題假設(shè)將此題假設(shè)將 的左邊展開成的左邊展開成 再求再求cosx,sinxcosx,sinx的值就很繁瑣，把的值就很繁瑣，把作為整體，并留意角的變換作為整體，并留意角的變換 運用二倍角公運用二倍角

13、公式，關(guān)鍵是在于化難為易，化繁為簡的三角恒等變換式，關(guān)鍵是在于化難為易，化繁為簡的三角恒等變換. .2.2.解答有條件限制的求值問題時，要擅長發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的解答有條件限制的求值問題時，要擅長發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與知條件的角的聯(lián)絡，普通方法是拼角與拆角角與知條件的角的聯(lián)絡，普通方法是拼角與拆角. .3cos(x)453coscosxsinsinx445 ，x42 (x)2x,42【變式訓練】【變式訓練】(2021(2021淮安模擬淮安模擬) )知知 (1)(1)假設(shè)假設(shè) 求求tantan的值；的值；(2)(2)假設(shè)假設(shè) 的值的值. .asin ,1 ,bcos ,2 ,(0,).4ab,

14、17a bsin(2)84 ，求【解析】【解析】(1)(1)由于由于 所以所以2sin=cos.2sin=cos.那么那么(2)(2)由于由于 所以所以由于由于 所以所以所以所以 ab，1tan.2 17a b8 ，171sin cos2,sin2.84 即(0),4，152(0,),cos2.24 則22sin(2)sin2cos242221215230.24248【變式備選】知【變式備選】知cos(+)+cos(-)=cos(+)+cos(-)=sin(+)+sin(-)=sin(+)+sin(-)=求求(1)tan; (2)(1)tan; (2)4,53,522cos3sin12.2si

15、n()4【解析】【解析】(1)(1)由知得由知得得得, ,(2)(2)原式原式= =由由(1)(1)得得 代入上式得代入上式得42cos cos 5 32sin cos 5 3tan.4 cos3sin1 3tansincos1tan，3tan4 ，232cos3sin11 3524.372sin()144 三角恒等式的證明三角恒等式的證明【方法點睛】【方法點睛】三角恒等式證明的方法及切入點三角恒等式證明的方法及切入點(1)(1)證明恒等式的方法：證明恒等式的方法：從左到右；從右到左；從兩邊化到同一式子從左到右；從右到左；從兩邊化到同一式子. .原那么上是化繁為簡，必要時也可用分析法原那么上是

16、化繁為簡，必要時也可用分析法. .(2)(2)三角恒等式證明的切入點：三角恒等式證明的切入點：看角：分析角的差別看角：分析角的差別, ,消除差別消除差別, ,向結(jié)果中的角轉(zhuǎn)化向結(jié)果中的角轉(zhuǎn)化; ;看函數(shù)看函數(shù): :一致函數(shù)一致函數(shù), ,向結(jié)果中的函數(shù)轉(zhuǎn)化向結(jié)果中的函數(shù)轉(zhuǎn)化. . 【例【例3 3】證明：】證明： 【解題指南】【解題指南】(1)(1)從等號的左邊開場證明先變成一樣的角，再利從等號的左邊開場證明先變成一樣的角，再利用公式推導；用公式推導；(2)(2)從等號的左邊證明，主要是利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，留意從等號的左邊證明，主要是利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，留意“1“1的代換的代換. . 1

17、2sin(x) sin(x)cos2x.44 221 2sincos1tan2.cossin1tan【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)左邊左邊= = 右邊，原題得證右邊，原題得證. .(2)(2)左邊左邊 右邊，原題得證右邊，原題得證. .2sin(x) cos(x)44sin(2x)cos2x222cossin2sincos(cossin ) (cossin )2cossincossin(cossin )cossin1tancossin1tan【互動探求】把本例【互動探求】把本例(2)(2)中等號左邊改為中等號左邊改為右邊不變，試證明右邊不變，試證明. .【證明】左邊【證明】左邊所以原等式

18、成立所以原等式成立. .1tan2,cos2“”22222sincos2tancossin1tan222221tan1tan2tan1tan1tan1tan1tan.1tan右邊【反思【反思感悟】三角函數(shù)證明時需求對三角函數(shù)式化簡，三角感悟】三角函數(shù)證明時需求對三角函數(shù)式化簡，三角函數(shù)式化簡的主要類型為：函數(shù)式化簡的主要類型為：對三角函數(shù)的和式，根本思緒是降冪、消項和逆用公式；對三角函數(shù)的和式，根本思緒是降冪、消項和逆用公式；對三角函數(shù)的分式，根本思緒是分子與分母約分和逆用公式，對三角函數(shù)的分式，根本思緒是分子與分母約分和逆用公式，最終變成整式或數(shù)值；最終變成整式或數(shù)值；對二次根式，那么需求運

19、用倍角公式的變形方式對二次根式，那么需求運用倍角公式的變形方式. .在詳細過程在詳細過程中表達的那么是化歸的思想，是一個中表達的那么是化歸的思想，是一個“化異為同的過程，涉化異為同的過程，涉及切弦互化，即及切弦互化，即“函數(shù)名的函數(shù)名的“化同；角的變換，即化同；角的變換，即“單角單角化倍角、化倍角、“單角化復角、單角化復角、“復角化單角、復角化單角、“復角化復角復角化復角等詳細手段等詳細手段. .【變式備選】在【變式備選】在ABCABC中，知中，知 求證：求證：a cosBbcosAab cosB，22Atanab2.Babtan2【證明】【證明】(ab) 1cosBa cosBbcosA1c

20、osAab cosBab cosB ，22222222(ab) 1cosB1cosA,ab cosB(ab) 1 cosB1 cosA.1cosA(ab) 1cosBA2sin1 cosAA 1 cosBB2tan,tan,A1cosA2 1cosB22cos2AtanabABab2tantan,.B2(ab)2abtan2而即【總分值指點】三角函數(shù)求值客觀題的規(guī)范解答【總分值指點】三角函數(shù)求值客觀題的規(guī)范解答【典例】【典例】(14(14分分)(2021)(2021天津高考天津高考) )知函數(shù)知函數(shù)(1)(1)求求f(x)f(x)的定義域與最小正周期；的定義域與最小正周期；(2)(2)設(shè)設(shè) 求

21、求的大小的大小. . f xtan(2x).4(0,),f()2cos2 ,42若【解題指南】【解題指南】(1)(1)由由 (kZ) (kZ)及周期公式即可求解及周期公式即可求解; ;(2)(2)將知條件代入化簡結(jié)合二倍角公式建立等式關(guān)系，即可求解將知條件代入化簡結(jié)合二倍角公式建立等式關(guān)系，即可求解. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(1)由由 得得22分分所以所以f(x)f(x)的定義域為的定義域為f(x)f(x)的最小正周期為的最小正周期為 6 6分分2xk42 2xk ,kZ42 ，kx,kZ.82kxR | x,kZ .82.2(2)(2)由由 得得 即即 8 8分分整理得整理得 10

22、 10分分由于由于 所以所以sin+cos0,sin+cos0,因此因此 12 12分分由由 14 14分分f()2cos2 ,2tan()2cos2 ,422sin()42 cossincos()4，sincos2 cossincossin.cossin(0,)4，211cossin,sin2.22 即(0,),2(0,),2.42612 得所以，即【閱卷人點撥】經(jīng)過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以【閱卷人點撥】經(jīng)過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：得到以下失分警示和備考建議：失失分分警警示示 在解答本題時有兩點容易造成失分：在解答本題時有兩點容易造成失分：(1)(1)求定義域時未把最后結(jié)果寫成集合或區(qū)間的求定義域時未把最后結(jié)果寫成集合或區(qū)間的形式；形式；(2)(2)忽略忽略的范圍，由的范圍，由 得出兩個結(jié)果得出兩個結(jié)果. .1sin22 備備考考建建議議解決三角函數(shù)問題時，還有以下幾點容易造成失分，解決三角函數(shù)問題時，還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：在備考時要高度關(guān)注：(1)(1)對公式記