【高考數學考點突破】解不等式(2020-2021)

1、備戰(zhàn) 2020-2021 高考數學 專業(yè)標準規(guī)范 難點佃解不等式 不等式在生產實踐和相關學科的學習中應用廣泛， 又是學習高等數學的重要工具，所以 不等式是高考數學命題的重點， 解不等式的應用非常廣泛，如求函數的定義域、值域， 求參 數的取值范圍等，高考試題中對于解不等式要求較高，往往與函數概念，特別是二次函數、 指數函數、對數函數等有關概念和性質密切聯系， 應重視；從歷年高考題目看，關于解不等 式的內容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的則是間接考查解不等式 難點磁場 a(x 1) ()解關于 x的不等式 1(a豐1). x -2 案例探究 例 1 已知 f(x)是定義在1, 1上的奇函數，

2、且 f(1)=1，若 m、n 1, 1 , z f (m) + f (n)- m+ nM0 時 0. m (1) 用定義證明 f(x)在1, 1上是增函數； 1 1 解不等式：f(x+ )v f( )； 2 x 1 若 f(x)wt2 2at+1 對所有 x 1, 1:, a 1, 1 恒成立，求實數 t 的取值范 圍 命題意圖：本題是一道函數與不等式相結合的題目，考查學生的分析能力與化歸能力， 屬級題目. 知識依托：本題主要涉及函數的單調性與奇偶性， 而單調性貫穿始終， 把所求問題分解 轉化，是函數中的熱點問題；問題的要求的都是變量的取值范圍， 不等式的思想起到了關鍵 作用. 1 1 錯解分

3、析：問中利用單調性轉化為不等式時， x+ 1, 1 , 1, 1 2 X1 必不可少，這恰好是容易忽略的地方 技巧與方法：(1)問單調性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關鍵， 問利用單調性把 f(x)轉化成“1”是點睛之筆. (1) 證明：任取 X1 0,又 X1 X2 0 , X1 _x2 二 f(X1) f(X2) 0,即 f(x)在1, 1 上為增函數. 解： f(x)在1 , 1上為增函數，備戰(zhàn) 2020-2021 高考數學 專業(yè)標準規(guī)范 _1蘭x +丄蘭1 一 2 - 1 3 *1 蘭- 1 解得：x|w xv 1, x R x -1 2 1 1 x +- 1 成立，故

4、 t2 2at0,記 g(a)=t2 2at,對 a 1, 1 , g(a)0，只需 g(a)在1, 1 上的最小值大于等于 0, g( 1) 0, g(1)0，解得，tw 2 或 t=0 或 t2. t 的取值范 圍是：t|tw 2 或 t=0 或 t 2. 例 2設不等式 x2 2ax+a+2w 0 的解集為 M，如果M5 : 1, 4,求實數 a 的取值 范圍 命題意圖：考查二次不等式的解與系數的關系及集合與集合之間的關系， 屬*級 題目 知識依托：本題主要涉及一元二次不等式根與系數的關系及集合與集合之間的關系， 以 及分類討論的數學思想 錯解分析：M=._是符合題設條件的情況之一， 出

5、發(fā)點是集合之間的關系考慮是否全面， 易遺漏；構造關于 a 的不等式要全面、合理，易出錯 技巧與方法：該題實質上是二次函數的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、 二次函數之間的內在聯系是關鍵所在；數形結合的思想使題目更加明朗 解：M5 : 1 , 4 有 n種情況：其一是 M=._ ,此時 v 0;其二是 M 工._ ,此時 0,分三種情況計算 a 的取值范圍 設 f(x)=x2 2ax+a+2，有 =( 2a)2 (4a+2)=4(a2 a 2) (1) 當 0 時，av 1 或 a 2.設方程 f(x)=0 的兩根 X1, X2，且 X1V X2,那么 M=:禺, a +30 18 -

6、7a 0 a 0 a 1 或 a 2 M 5 : 1, 4時，a 的取值范圍是(一 1, ). 7 錦囊妙計 解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求， 隨著高考命題原則向能力立意 的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題： (1) 熟練掌握一元一次不等式 (組)、一元二次不等式(組)的解法. (2) 掌握用序軸標根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法 . X2, M 1, 4 ：= 1 w x1 v x2w 4：= J (1) =0,且f(4) A0 J蘭a蘭4,且人0 ，解得: 備戰(zhàn) 2020-2021 高考數學 專業(yè)標準規(guī)范 (3)

7、 掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數和對數不等式的幾種基本類型的解法 (4) 掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法備戰(zhàn) 2020-2021 高考數學 專業(yè)標準規(guī)范 (5) 在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉化為易解 的不等式 (6) 對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論 殲滅難點訓練 一、選擇題 (x+1)2(x 蘭1) %)設函數 f(x)= $2x+2(1 X1)，已知 f(a) 1,則 a 的取值范圍是( 1 1(x1) 1 A.( a, 2) U (- , +m) 2、填空題 2 、 a2 ?()已知 f(x)、g(x)都是奇函

8、數，f(x) 0 的解集是(a ,b),g(x)0 的解集是(三, -)，貝 U f(x) g(x)0 的解集是 _ . 2 3.( )已知關于 x 的方程 sin2x+2cosx+a=0 有解，則 a 的取值范圍是 _ 三、解答題 )已知適合不等式 x2 4x+p|+|x 3|w 5 的 x 的最大值為 3. (1)求 p 的值； x 的不等式 C 1(x) log p1 x(k R+) k 2 7 5. ( )設 f(x)=ax +bx+c,若 f(1)=，冋是否存在 a、b、c R，使得不等式： 1 3 x2+ - w f(x) w 2x2+2x+ -對一切實數 x都成立，證明你的結論.

9、 2 2 6. ( )已知函數 f(x)=x2+ px+q,對于任意 0 R，有 f(sin 0 )w 0,且 f(sin 0 +2) 2. (1)求 p、q 之間的關系式； 求 p 的取值范圍； 如果 f(sin 0 +2)的最大值是 14,求 p 的值.并求此時 f(sin 0 )的最小值. 1 ?.()解不等式 loga(x ) 1 x &.()設函數 f(x)=ax滿足條件：當 x ( , 0)時，f(x) 1;當 x (0, 1時, 不等式 f(3mx 1) f(1 + mx x2) f(m+2)恒成立，求實數 m 的取值范圍. 參考答案 難點磁場 7)0,解：原不等式可化為

10、： (a T)x (2 1 C.( , 2) U ( , 1) 2 1 D.( 2， )U (1 , + ) 2 x 1 若f(x)=，解關于 x -2 1 2 備戰(zhàn) 2020-2021 高考數學 專業(yè)標準規(guī)范 即(a - 1)x+(2 - a) (x 2) 0. a _2 當 a 1 時，原不等式與(x- )(x- 2) 0 同解. a _1 若匚2 2,即 0W av 1 時，原不等式無解；若 土三v 2，即 av 0 或 a 1,于是 a a -1 a _1 a _ 2 1 時原不等式的解為(一a, ) U (2 , + m). a _1 當 av 1 時，若 av 0,解集為, 2);

11、若 0vav 1,解集為(2, 匸2 ) a 1 a _1 a _2 a _ 2 綜上所述：當 a 1 時解集為(一m, )U (2, + m)；當 0v av 1 時，解集為(2,- )； a 1 a _1 a _2 當 a=0 時，解集為.;當 av 0 時，解集為(二2 , 2) a 1 殲滅難點訓練 一、1解析：由 f(x)及 f(a) 1 可得： a Z1 或丿1 丄_1 1 a 1 解得 av- 2,解得一 v av 1,解得 x 2 1 a 的取值范圍是(一m, 2) U (- - , 1) 2 答案：C 2解析：由已知 b a2 f(x), g(x)均為奇函數， 、 b a2

12、的解集是(, ).由 f(x) g(x) 0 可得： 2 2 a 1 2a +2 1 f(x) v 0 的解集是(一 b,- a2), g(x)v 0 或 0(x) 0 f(x) 0 0(x) 0,其解集不可能為x|x 3的子 集， lx2 4x+p|=x2 4x+p. 原不等式為 x2 4x+p+3 x 0, 即卩 x2 5x+p 2Iog8 , Iog8(1 x) v Iog8k,. 1 xv k,. x 1 k. 1 X k 1v xv 1, k R+，當 0v kv 2 時，原不等式解集為x|1 kv xv 1；當 k2 時, 原不等式的解集為x| 1v xv 1. 2 3 2 3 *

13、 X+ =2x +2x+ x= = 1,由 f(x) w 2x +2x+ 推得 2 3 f( 1) w . 2 2 1 3 3 由 f(x) x2+-推得 f( 1) , f( 1)=- 2 2 2 5 口，* “、 2 5 2(a+c)=5 , a+c= 且 b=1 , f(x)=ax +x+(- 依題意：ax2+x+(5 a) x2+1 對一切 x R 成立， 2 2 1 且厶=1 4(a 1)(2 a) w 0,得(2a 3)2w 0, 3 2 f(x)= x +X+1 2 易驗證：3 x2+x+1 w 2x2+2x+ 對 x R 都成立. 2 2 存在實數 a= 3 , b=1 , c

14、=1，使得不等式：x2+- w f(x)w 2x2+2x+ -對一切 x R 都成 2 2 2 立. 6.解：(1)T 1 w sinB w 1, 1 w sinB +2w 3,即當 x : 1, 1時，f(x)w 0,當 x 1, 3時，f(x) 0，二當 x=1 時 f(x)=0. 1 + p+q=0,. q= (1 + p) 2 (2) f(x)=x+px (1 + p), 當 sin 0 = 1 時 f( 1) w 0 , 1 p 1 pw 0 , p0 (3) 注意到 f(x)在1, 3上遞增， x=3 時 f(x)有最大值.即 9+3p+q=14 , 9+3p 1 p=14 , p

15、=3. 3 25 此時，f(x)=x2+3x 4,即求 x 1 , 1 時 f(x)的最小值.又 f(x)=(x+)2 ，顯然 2 4 此函數在1, 1 上遞增. 當 x= 1 時 f(x)有最小值 f( 1)=1 3 4= 6. 盧 1 5解：由 f(1)=-得 a+b+c=7，令 2 2 3 ” a b+c= ，故 2 a). 備戰(zhàn) 2020-2021 高考數學 專業(yè)標準規(guī)范 1-10 7. 解：(1)當 a 1 時，原不等式等價于不等式組 x 1丄a L. X備戰(zhàn) 2020-2021 高考數學 專業(yè)標準規(guī)范 備戰(zhàn) 2020-2021 高考數學 專業(yè)標準規(guī)范 2 2mxf(1 + mxx2) f(m+2) 恒成立，m 的取值范圍是(1, 0) 1 由此得 1 a .因為 1 a v 0，所以 xv 0, x (2)當 0 v a v 1 時，原不等式等價于不等式組: v x v 0. 1 -a 1 -0 : 1 - ： a x 1 由得 x 1 或 xv 0,由得 0 v xv - 1 -a 1 綜上，當 a 1 時，不等式的解集是x|v 1 a 1 v xv 1 -a XV 0，當 0v av 1 時，不等式的解集為 1 x|1