2017—2019年高考真題匯編專題12數(shù)列(解析版)

1、1.【2019年高考全國專題12數(shù)列I卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.已知S40, a5 5 ,則A. an 2n 52.C. Sn 2n 8n【答案】AB. an 3n 1012cD. Sn n 2nn 2【解析】由題知,dS4 4al 4 3 02a5 a1 4d 5一 an2n 5, Sn n2 4n,故選 A.【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學計算等素養(yǎng).利用等差數(shù)列通項公式與前 n項公式即可列出關(guān)于首項與公差的方程，解出首項與公差，再適當計算即可做了判斷.2.【2019年高考全國III卷理數(shù)】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項和為1

2、5,且a5 3a3 4a1,則a3A. 16B. 8C. 4D. 2【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q ,則23a1 a1q a1q a1q1542a1q3alq 4ala1 1,2解得 c ，a3a1q 4 ,故選C.q 2【名師點睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵3.【2019年高考浙江卷】設(shè) a, bCR,數(shù)列an滿足a二a, an+1 = an2+b, n N，則, 11_A.當b ,a10 10B.當b ,期 1024C.當 b 2, aw 10D.當 b4,aw 10【答案】A【解析】當b=0時，取a=0,則an 0, n N .當b<0時，令

3、xx2 b ,即 x2b 0.則該方程1 4b0,即必存在使得X2X0則一定存在ai=a=Xo,使得an 12anb an對任意n N成立,解方程a21,1 4bw 11 4b當10時,2b90時,總存在1 4b,使得ai a2a1010,故C、D兩項均不正確.當b 0時,a22a122則 a3a2bba4bb212時,a,17161,a5則a61142,a72292,a883410a92a8a102a910,2故A項正確.10(ii)當 b14時，令 a1 = a=0則a2所以ada3所以a10a9故B項不正確.故本題正確答案為 A.【名師點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展 討論a的可能

4、取值，利用 排除法”求解.4.【2018年高考全國I卷理數(shù)】設(shè)Sn為等差數(shù)列A. 12C. 10【答案】B.利用函數(shù)方程思想，通過研究函數(shù)的不動點，進一步an的前n項和，若3& S2 s4 , ai 2,則a§B. 10D. 12 一3 2【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為 d,根據(jù)題中的條件可得 332 Jd 24 32 2 d 4 2 d ,2整理解得d3,所以a5 a1 4d 2 1210,故選B.【名師點睛】該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項公式的應(yīng)用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式， 得到公差d的值，之后利用等差數(shù)列的通項公式得到25與4,

5、的關(guān)系，從而求得結(jié)果.5.【2018年高考浙江卷】已知口且2,生通4成等比數(shù)列，且a1a2a3 a4 In(a1 a2a3).若 a11 ,則A . aa3, a2a4B. a1a3 ,a2a4a4D. a1a3 , a2a4【解析】令fx x Inx 1,則 f0,得x 1,所以當x 1 時，f x 0若公比q若公比q1時,f x 0,因此f0,則&a?a3a4a2a3a2a3a4ai0,InInx 1.a2 a3 ,不合題意;0,但In a1a2a3 Ina1 1lnq 0即a1a2a3 a40 In a1a2 a3 ,不合題意;因此1 q20,q0,1a12aqa3,a22a?q

6、a40 ,故選B.【名師點睛】構(gòu)造函數(shù)對不等式進行放縮，進而限制參數(shù)取值范圍，是一個有效方法.如xx 2x Inx 1,e x 1,e x 1 x 0 .6.【2017年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若a4 a§ 24, S6 48,則烝的公差為A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C2al 7d 24,【解析】設(shè)公差為d , a4 a5 a1 3d a1 4d66 5S6 6al d26al 15d2al 7d 2448 ,聯(lián)立，解得d6a 15d 484,故選C.【秒殺解】因為S6 6a%) 3(a3 a4) 48,即a3 a416, 2an為等差數(shù)列，若則

7、(a4 a5) (a3 a)24 16 8,即 a5 a3 2d 8,解得 d 4,故選 C.【名師點睛】求解等差數(shù)列基本量問題時，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如m n p q ,則 am an ap aq.7 .【2017年高考全國I卷理數(shù)】幾位大學生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,，其中第一項是 2°,接下來的兩項是 2°, 21,再接下來的三項是 2°

8、, 21, 22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù) N: N>100且該數(shù)列的前N 項和為2的整數(shù)哥.那么該款軟件的激活碼是A. 44°B. 33°C. 22°D, 11°【答案】A【解析】由題意得，數(shù)列如下：1,1,2,1,2,4,Lk 11,2,4,L ,2L則該數(shù)列的前1 2 L k k(k 1)項和為2S k(k 1)1 (1 2) L (1 2 L 2k 1) 2k 1k 2,2要使k(k 1) 100 ,有k 14,此時k 2 2k 1 ,所以k 2是第k 1組等比數(shù)列1,2,L ,2k的部分 2和，設(shè) k 2 1 2 L2t 12t

9、 1 ,所以 k 2t 3 14 ,則 t 5,此時 k 25 3 29 ,29 30所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)N 29 5 440 ,故選A.2【名師點睛】本題非常巧妙地將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列,第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷.8 .【2017年高考全國II卷理數(shù)】我國古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：遠望巍巍塔七層，紅光2倍，則塔的頂層共有燈的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的A. 1盞C. 5盞【答案】B【解析】設(shè)塔的

10、頂層共有燈列的求和公式有x(1 2 )1 2點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中B. 3盞D. 9盞X ,公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)3盞，故選B.x盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個首項為381,解得x 3,即塔的頂層共有燈【名師點睛】用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學模型數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時要明確目標，即搞清是求和、求通項、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后將經(jīng)過數(shù)學推理與計算得出的結(jié)果 放回到實際問題中，進行檢驗，最終得出結(jié)論.9.【20

11、17年高考全國III卷理數(shù)】等差數(shù)列an的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為A. 24B. 3C. 3D. 8【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ,由a2 , a3, a6成等比數(shù)列可得a32 a2a6 ,即21 2d1 d 1 5d ,整理可得d 2d 0 ,又公差不為0 ,則d 2 ,故an前6項的和為224 .故選A .6 6 16 6 1S6 6al d 6 1 22【名師點睛】(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1, an, d, n, Sn,知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題(2)數(shù)列的通項公式和前 n項

12、和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量,用它們表示已知和未知是常用方法10.【2017年高考浙江卷】已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn,則“ d>0”是“ S4 + Se>2S5”的B .必要不充分條件A.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】由S4 S6 2s510ai21d 2(5ai10d) d ,可知當d 0時，有& S6 2s50,S4 S6 2s5,反之，若 S &0,所以d>0”是S4 + S6>2S5”的充要條件，選C.【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式,通過套入公式與簡單

13、運算，可知S4 S6 2S5合充分必要性的判斷，若p q ,則p是q的充分條件，若p q則p是q的必要條件，該題0”S4 S6 2S5 0"，故互為充要條件.11.【2019年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列an的前n項和.若a112一,ada6,則 S5=3一 121【答案】 3【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為 q ,由已知a1一,ad a6,所以3,1 3、21 5(二q )二q ,又q 。, 33所以q 3,所以S51213【名師點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及騫的乘方運算、繁分式的計算,部分考生易出現(xiàn)運算錯誤.S1012.【2019年高考全國III卷理數(shù)】記

14、Sn為等差數(shù)列an的前n項和，a1W0, a2 3a1，則丁S5【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,131415因 a2 3a1,所以 a1 d 3a1 ,即 2a1 d ,LS10所以竽S510al10 9,d2or2100a1 4.25al【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計算.滲透了數(shù)學運算素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答案.【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a2=-3 , 3=-10 ,則a5二Sn的最小值為【答案】0,10.【解析】等差數(shù)列an中，S55a310,得a32,又a23,所以公差da3a5 a3 2d 0,由等差數(shù)列 an的性質(zhì)得

15、n 5時，an 0,n 6時,an大于0,所以Sn的最小值為S4或0,即為【名師點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式？求和公式？等差數(shù)列的性質(zhì)，難度不大，注重重要知識知識？基本運算能力的考查.一 一一一一* .【2019年高考江蘇卷】已知數(shù)列an(n N)是等差數(shù)列，Sn是其前n項和.若a2a5 a8 0§則S8的值是.【答案】16a2a5 a8 a1d a14da17d 0【解析】由題意可得：9 8,S9 9a1d 272a15 8 7解得：，貝U S8 8a1d40 28 2 16.d 22【名師點睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想

16、，靈活應(yīng)用通項公式、求和公式等，構(gòu)建方程(組)，如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建 a1, d組.【2018年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為數(shù)列an的前n項和，若Sn 2an 1 ,則S6 ,a2 1 ,10.?基礎(chǔ)27的方程【答案】63【解析】根據(jù)Sn 2an 1,可得& 1 241 1 ,兩式相減得烝1 2烝1 2烝，即烝12為，當n 1時，S a1 2a 1,解得a11,所以數(shù)列 an是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以1 26S6 63,故答案是 63.1 2【名師點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比著 往后寫一個式子，之后兩式相減，得到相鄰

17、兩項之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令n 1 ,求得數(shù)列的首項，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對既有項又有和的式子的 變形方向即可得結(jié)果.16 .【2018年高考北京卷理數(shù)】 設(shè)an是等差數(shù)列，且a1=3, a2+a5=36,則an的通項公式為 .【答案】an 6n 3【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,Qa1 3, 3 d 3 4d 36, d 6, an 3 6 n 1 6n 3.【名師點睛】先根據(jù)條件列出關(guān)于公差的方程，求出公差后，代入等差數(shù)列通項公式即可.在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路，一是利用基本量，將多元問題簡化為首項與公差(公比)問題，雖有一

18、定量的運算，但思路簡潔，目標明確；二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用n17 .【2018年圖考江蘇卷】已知集合 A x|x 2n 1,n N, B x|x 2n, n N.將AUB的所 有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列an.記Sn為數(shù)列an的前n項和，則使得Sn 12an 1成立的n的最小值為.【答案】27【解析】所有的正奇數(shù)和 2n n N 按照從小到大的順序排列構(gòu)成 a。,在數(shù)列|an中，25前面有16 個正奇數(shù)，即a2125,a382 6.當n=1時，S1112a224,不符合題意；當n=2時，S

19、2312a336 ,不符合題意；當n=3時，S3612a448 ,不符合題意；當n=4時，S410<12a5=60 ,不符合題5-221 (1 41) 2 1 2意；當門=26時，56 () 441 62 503 12a27=516,不符合題意；21 25一 一 22 (1 43) 2 1 2_ _一當 n=27 時， () 484+62=546>12a28=540，符合題意.故使得 0>12%+121 2成立的n的最小值為27.【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.18.【2017年高考全國II卷理數(shù)】等差數(shù)

20、列 an的前n項和為Sn, a33，S410Sk2d【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為 a1 ,公差為d ,由題意有4 al3d10a1 1,解得，d 1數(shù)列的前n項和Sn na1裂項可得2k(k 1)112()k k 1n所以k 1 Sk12(1 -)21)2(1n 12n【名師點睛】等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an, d, n, Sn,知其中三個就能n項和公式在解題中起到變量代換求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.數(shù)列的通項公式和前作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量， 用它們表示已知和未知是常用得方法.使用裂項法求和時, 要注意正、負項相消時消去了哪些項，保留了哪些

21、項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前 后對稱的特點.19.【2017年高考全國III卷理數(shù)】設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2 = T, a -a3=-3,則a4=【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q ,很明顯q1,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和題意可得方程組:a1a2a"1 q)2、a1a3 a1(1 q )13由正可得：q2，代入可得a11 ,由等比數(shù)列的通項公式可3得 a4a1q8 .【名師點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌n項和公式時，應(yīng)該握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前要分類討論，有時還應(yīng)善于運用

22、整體代換思想簡化運算過程20.【2017年高考江蘇卷】等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn,已知a -,S6 63 ,則a8 44【答案】32【解析】當q 1時，顯然不符合題意；q(1 q3) 7:二11q4&17當q 1時，6 ，解得 4 ,則a8 27 32 .q(1q6)63n24q 21q4【名師點睛】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路：利用基本量，將多元問題簡化為一元問題，雖有一定量的運算，但思路簡潔，目標明確；利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時要注意性

23、質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當變形.在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用 巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量 ”的方法.,.一 a221 .【2017年高考北京卷理數(shù)】若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足abiT , a4b48,則7【答案】1【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為d和q,則1 3d q3 8,求得q 2,d 3,那么a2b2【名師點睛】等差、等比數(shù)列各有五個基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程(組)問題，因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應(yīng)用題，所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行

24、之有效的方法22 .【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列an和bn滿足a1 = 1,b1=0,4an13anbn4,4bn 1 3bn an 4.(1)證明：an + bn是等比數(shù)列，an fn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項公式.1111【答案】(1)見斛析；(2)an n _ , bn n.2n22n21【斛析】(1)由題設(shè)得 4(an1bn1)2(anbn),即an1bn1-(anbn).1i又因為a1+b1=l,所以an bn是首項為1,公比為一的等比數(shù)列.2由題設(shè)得 4(an1bn1)4(anbn)8 ,即 2n 1bn 1abn2.又因為a1)1=l,所以an bn是首項為

25、1,公差為2的等差數(shù)列. 1. 一 .由(1)知，an bn 產(chǎn)1，an bn 2n 1.-111所以 an2(anbn)(anbn )2;n 2,111bn 2(an bn) (an bn)n- n .【名師點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.23 .【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列 an,從中選取第i1項、第i2項、第im項(i1<i2<-yim),若 ai1a2aim,則稱新數(shù)列a1,a2,am為an的長度為m的遞增子列.規(guī)

26、定：數(shù)列an的任意一項都是an的長度為1的遞增子列.(1)寫出數(shù)列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一個長度為4的遞增子列；(2)已知數(shù)列an的長度為p的遞增子列的末項的最小值為am0 ,長度為q的遞增子列的末項的最小值為 an0 .若 p<q,求證：am0 < an0 ;(3)設(shè)無窮數(shù)列an的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等.若an的長度為s的遞增子列末項的最小值為2sT,且長度為s末項為2sT的遞增子列恰有2s-1個(s=1, 2,)，求數(shù)列an的通項公式.【答案】(1) 1,3,5,6 (答案不唯一)；(2)見解析；(3)見解析.【解析】(1) 1, 3, 5, 6.

27、(答案不唯一)(2)設(shè)長度為q末項為an0的一個遞增子列為a1,ar2,L ,arq 1 ,an0.由p<q,得 arp arq 1 an0 .因為an 的長度為p 的遞增子列末項的最小值為am0 ，又a1,ar2,L ,ap是an的長度為p的遞增子列，所以 am0 arp .所以 am。 ano （ 3 ）由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是an 中的項 .先證明：若2m是an中的項，則2m必排在2m-1之前（m為正整數(shù)）.假設(shè)2 m排在2m- 1之后.設(shè) ap1, ap2,L , apm1 ,2m 1 是 數(shù) 列 an的 長 度 為 m 末 項 為 2m- 1 的 遞 增 子 列 ， 則a%,a

28、p2,L ,apm1,2m 1,2m是數(shù)列a。的長度為m+1末項為2m的遞增子列.與已知矛盾.再證明：所有正偶數(shù)都是an 中的項 .假設(shè)存在正偶數(shù)不是an 中的項，設(shè)不在an 中的最小的正偶數(shù)為 2m.因為2k排在2k-1之前（k=1, 2,，m-1）,所以2k和2k 1不可能在 an的同一個遞增子列中.又 an中不超過2m+1的數(shù)為1, 2,，2m- 2, 2m- 1, 2m+1 ,所以 an的長度為m+1且末項為2m+1的遞增子列個數(shù)至多為 21 424 2 4L432 1 1 2m 1 2m .（m 1）個與已知矛盾.最后證明：2m排在2m-3之后（mA為整數(shù)）.假設(shè)存在2m （mR2）

29、,使得2m排在2m-3之前，則 an的長度為m+1且末項為2m+l的遞增子列的個數(shù)小于 2m .與已知矛盾.綜上，數(shù)列 an只可能為2, 1, 4, 3,，2m-3, 2m, 2m-1,.經(jīng)驗證，數(shù)列2, 1,4, 3,，2m-3, 2m, 2m-1,符合條件., n 1,n為奇數(shù)，所以 ann 1,n為偶效.【名師點睛】 “新定義 ”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，新題”不一定是 雉題”，掌握好三基，以不變透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學知識，所以說 應(yīng)萬變

30、才是制勝法寶.bn是等比數(shù)列.已知24.【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)an是等差數(shù)列,04, bi6, b22 a2 2h 2a3 4.(i)求an和bn的通項公式;(n)設(shè)數(shù)列 cn滿足g , 2k nbk，n 2k,2k求數(shù)列 a2n c2n 的通項公式； 2n (ii)求aqnN.i 【答案】() an 3n ； bn 3 2n (2) (i) a2n c2n 9 4n (ii)2naicin N*27 22n 1 5 2n 1 n 12 n N*i 1，t6q 6 2d,.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d ,等比數(shù)列bn的公比為q .依題意得*解6q 12 4d,一 d 3n

31、1n得 故an 4 (n 1) 3 3n 1,bn 6 23 2 .q 2,所以，an的通項公式為an3n 1,bn的通項公式為bn 32n.(2)(i) a2n c2n1a2n bn13 2n 1 3 2n19 4n 1 .所以，數(shù)列a2n c2n1的通項公式為a2n c2n12n(ii) aiqi 12n2nnaii 1ai Ci 1aia2i c2i1i 1 i 1n nn 2 212n 4 329 4i27 22n 12n 12n 14 1 4n9 - n12【名師點睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前 n項和公式等基礎(chǔ)知識.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運

32、算求解能力.25.【2019年高考江蘇卷】定義首項為 1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列an（nN ）滿足：a2a4a5,a3 4a2 4a1 0,求證：數(shù)列an為 “M數(shù)列”;(2)已知數(shù)列bn(n N）滿足：b22-,其中Sn為數(shù)列bn的前n項和. bn bn 1求數(shù)列bn的通項公式;設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M數(shù)列”cn (nN ）,對任意正整數(shù)k,當k新時，都有Ck蒯bk ck 1成立，求m的最大值.【答案】（1）見解析；（2） bn=n n【解析】解：（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,所以qw 0.a2a4 a5由，得a3 4a2 4 al 02 4aq2aq4aq4

33、alq 4al解得a1因此數(shù)列an為“ MH 列”(2)因為22bnbn 1bn1,S12,則 b2 b22bn2 bnW 12爪 bn)2時,bnSnSn 1 ,得 bnbnbn2 bm1bnbn h2 bnbn 1整理得bn 1bn2bn.所以數(shù)列 bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列.E 一、“ 一 . .*因此，數(shù)列bn的通項公式為bn=n n N由知，bk=k, k n* .因為數(shù)列cn為“M數(shù)歹設(shè)公比為q,所以ci=1, q>0.因為 ck<bk<Ck+i,所以 qk 1 k qk ,其中 k=1, 2, 3,，m.當k=1時，有q"“m - ln k In

34、 k當 k=2, 3,，m時，有In q .kk 1設(shè)f (x) =Jn-x(x 1),則 f'(x) 1-ln-x xx令f '(x) 0,得*=6.列表如下:x(1,e)e(e, +°°)f'(x)+0一f (x)w極大值ln2 ln8ln9 ln3ln 3因為 ，所以f(k)max f(3) .26633b3ln k ,k取 q V3 ,當 k=1, 2, 3, 4, 5時，,In q ,即 k qk,k經(jīng)檢驗知qk1 k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m>6分別取k=3, 6,得3對3,且q5wq從而q15>243且q15w

35、216所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5.【名師點睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn) 化與化歸及綜合運用數(shù)學知識探究與解決問題的能力.26.【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列 an的前n項和為Sn, a34 ,a4S3,數(shù)列bn滿足：對每個n N ,Sn bn,Sn 1 bn,Sn2 bn 成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an, bn的通項公式； 記 cn Jn-, n N ,證明：g c2 + L Cn 2n,n N .2bn【答案】(1) an 2 n 1 , bn n n 1 ； (2)證明見解析.【解析】（1）設(shè)數(shù)列a

36、n的公差為d,由題意得ai 2d4,ai 3d3a1 3d ,解得a10,d從而an2n2,n所以Snn, n由 Sn bn,Sn1bn,Sn2bn成等比數(shù)列得Sn 12bnSnbnSn 2 bn解得bnSnSn所以bn2n n,ncnan 2bn2n 22n(n 1)n 1 -n n(n 1)我們用數(shù)學歸納法證明.(i)當 n=1 時，ci=0<2 ,不等式成立;(ii)假設(shè)n時不等式成立，即 Cic2 L那么，當k 1時,C1c2CkCk 12、,k(k 1)(k 2)1k 12 .k2( . k 1-k)2Vk1 .即當nk 1時不等式也成立.根據(jù)（i）和（ii）,不等式g2日對任

37、意n N*成立.【名師點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)學歸納法等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力和綜合應(yīng)用能力27.【2018年高考全國II卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列 an的前n項和，已知a17 , S315 .（1）求an的通項公式;求Sn,并求&的最小值.【答案】(1) an=2n-9 (2) $ = n2-n,最小值為 T6【解析】(1)設(shè)an的公差為d,由題意得3ai+3d=T5由 ai= - 7得 d=2 .所以an的通項公式為an=2n - 9.(2)由(1)得 Sn=n2 - n= (n - 4 2-16所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為 -16【名師

38、點睛】數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件.(1)根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式得結(jié)果；(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得Sn關(guān)于n的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù) 求函數(shù)最值.28.【2018年高考全國III卷理數(shù)】等比數(shù)列4中，a 1,a5 4a3.(1)求an的通項公式；(2)記S為an的前n項和.若Sm 63 ,求m .【答案】(1) an ( 2)n 1 或 an 2n 1 ；(2)m 6.【解析】(1)設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得an qn1.由已知得q4 4q2,解得q 0 (舍去

39、)，q 2或q 2.n 1n 1故 an ( 2)或 an 2.若an ( 2)n 1 ,則Sn 1 ( 2).由Sm 63得(2)m 188 ,此方程沒有正整數(shù)解.3若 an 2n 1則 Sn 2n 1.由 Sm 63得 2m 64,解得 m 6.綜上，m 6.【名師點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題.29.【2018年高考浙江卷】已知等比數(shù)列 an的公比q>1,且a3+a4+a5=28, a4+2是a3, a5的等差中項.數(shù) 列bn滿足b1=1,數(shù)列 (bn+1-bn) an的前n項和為2n2+n.(1)求q的值；(2)求數(shù)列bn的通項公式.1 n O 【

40、答案】(1) q 2； (2) bn 15 (4n 3)().2【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力和綜合應(yīng) 用能力.(1)由a4 2是a3,a5的等差中項得a3 as 2a4 4,所以 a3 a4 as 3a4 4 28,解得a4 8.1由 a3 as 20得 8(q -) 20, q因為q 1 ,所以q 2.設(shè)Cn (bn 1 bn)an ,數(shù)歹U Cn前n項和為Sn .S1,n 1,由Cn解得Cn 4n 1 .Sn Sn1,n 2.由(1)可知an 2n 1,所以 bn 1 bn (4n 1) (9)n 1,21 n 2故 bn bn1 (4n

41、 5)(2) ,n 2,bnb1(bnbn 1)(bn 1bn2)L Mb?)M b)1 11(4n 5)(二)n 2 (4n 9)(二)n 3 L 7 - 3. 222設(shè)Tn 3 7 1 11 (1)2 L (4n 5) (1)n 2,n 2 , 22211_ ,1,21 . n 21 ,n 1二 Tn 3 二 7 (二)L (4n 9) ( )(4n 5) (-)2 2222111 21 n 21 n 1所以 2Tn 3 4 2 4 (2) L 4 (-)(4n 5) (2),一.1 因此 Tn 14 (4n 3) (一) ,n 2, 2又 1bl 1,所以 bn 15 (4n 3) (1

42、)n 2.2【名師點睛】用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；（2）在寫出?”與?的表達式時應(yīng)特別注意將兩式錯項對齊”以便下一步準確寫出?- ?1和不等于1兩種的表達式；（3）在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于 情況求解.30.【2018年高考江蘇卷】設(shè)an是首項為3,公差為d的等差數(shù)列，bn是首項為h,公比為q的等比數(shù)列.（1）設(shè)口 0,b,1,q 2,若|an bn | b1對n 1,2,3,4均成立，求d的取值范圍;若A h 0,mN*,q (1,m/2,證明：存在 d R,使得 |% bn | b1 對 n 2

43、,3,L ,m 1 均成立,并求d的取值范圍（用a,m,q表示）.、7 5 一，【答案】（1） 7,5 ； （2）見解析.3 2【解析】本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學知識探究與解決問題的能力.滿分16分.n 1(1)由條件知：an (n 1)d,bn 2 .因為|an bn | b1對n=1, 2, 3, 4均成立，n 1即 |(n1)d 2| 1 對 n=1, 2, 3, 4 均成立，75即 1 1, 1 d 3, 3 2d 5, 7 3d 9,得d 32因此，d的取值范圍為7,5. 3 2(2)由條件知：an bi (n

44、 1)d ,bn biqn 1 .若存在 d,使得 |小 bn | b1 (n=2, 3, ； m+1)成立，n 1_ _即 | bi (n 1)d bq | b(n 2,3,L ,m 1),n 1n 1即當 n 2,3,L ,m 1 時，d 滿足 q2bl d -b .n 1n 1因為 q (1,m/2，貝U 1 qn1 qm 2 ,n 1n 1從而 qbi 0 , -bi 0 ,對 n 2,3,L ,m 1 均成立.n 1n 1因此，取d=0時， bn | b,對n 2,3,L ,m 1均成立.n 1n 1下面討論數(shù)列q2的最大值和數(shù)列§的最小值(n 2,3,L ,m 1).n

45、1n 1n當2 n m時，n 1n2 q 2 nqn n 1nq nq 2 n(qn(n 1)n(n 1)2單調(diào)遞增, 1n mn n 1當1 q 2m時，有q q 2 ,從而n(q q )n 1因此，當2 n m 1時，數(shù)列q nn 1 om o故數(shù)列q2的最大值為q一2n 1m設(shè)f (x) 2x(1 x),當 x>0 時，f (x) (ln2 1xxln2)2所以n m時,nq_nnnqn 1q(n 1)n：112n (1) f()nn因此，當2 nm 1時,數(shù)列n 1-q單調(diào)遞減, n 1故數(shù)列q n 1-的最小值為因此，d的取值范圍為m b1(qmm31.【2018年高考天津卷理

46、數(shù)】設(shè) an是等比數(shù)列，公比大于0,其前n項和為Sn(n N ) , bn是等差f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)<f (0) =1 .數(shù)列.已知 a11,a3a22 ,a4b3b5,a5b42b6.(1)求an和bn的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列Sn的前n項和為Tn(n N ),求Tn；(n3也以2(n N).k 1 (k 1)(k 2) n 2n 1n 1_【答案】(1) an 2 , bn n；(2) (i) Tn 2 n 2； (ii)見解析.n項和公式等基礎(chǔ)知識,考【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的通項公式及其前查數(shù)列求和的基本方法和運算求解能力.滿分13分.(1)設(shè)等

47、比數(shù)列an的公比為q.由a1 1島 a2 2,可彳# q2 q 2 0.因為q 0 ,可得q 2 ,故an 2nl.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d,由a4b3b5,可得b13d 4,由a5b4n.可得 3bl 13d 16,從而 b1 1,d 1,故 bn所以，數(shù)列an的通項公式為ann 12n 1 ,數(shù)列bn的通項公式為bn n.(2)由（1）,Tnn(2k 1)k 1n2kk 12 (1 2n)n2n2.(ii)證明：因為(Tk+b k+2)bk(2k1 kk 2)kk 2k2k 22k 1(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)2,2n 22n 1n 2n 1所以 n (T

48、k bk2)bk 'k 1(k 1)(k 2)【名師點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，數(shù)列求和的方法，數(shù)列中的指數(shù)裂項方法等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力32.【2017年高考天津卷理數(shù)】已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn（n N ）, bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0,b2b312 ,b3a42a1，S1111b4.（1）求an和bn的通項公式；（2）求數(shù)列a2nb2n 1的前n項和（n n ）.【答案】（1） an 3n 2, bn 2n；（2）3n4n 1 8 . 33【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ,等比數(shù)列bn的公比為q .2由已知b2 b3 1

49、2,得b（q q ） 12 ,而匕2,所以q q 6 0.又因為q 0,解得q 2 ,所以，bn 2n.由 b3 a4 2a1，可得 3d &8 .由 Sn=11b4,可得 a1 5d 16 ，聯(lián)立，解得a1 1, d 3,由此可得an 3n 2 .所以，數(shù)列an的通項公式為an 3n 2 ,數(shù)列bn的通項公式為bn 2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nb2ni的前 n 項和為 Tn,由 a2n 6n 2 , b2n 1 2 4n1,有 a2nb2ni (3n 1) 4n,故Tn 2 4 542 843L(3n1)4n ,4Tn 2 42 543 844L(3n4)4n(3n1) 41上述兩式相減，得3Tn243 42343L3 4n (3n1) 4n 1 12 (1 4 ) 4(3n1 41) 4n 1(3n 2) 4n 1 8,得 Tn 3n2 4n 1 8 .333n 28所以，數(shù)列a2nb2n 1的前n項和為生二 4n 1 8.33【名師點睛】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前n項和公式列方程組求數(shù)列的首項和公差或公比，進而寫出通項公式及前 n項和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本要求，數(shù)列求和的方法有倒序相加 法、錯位相減法、裂項相消法和分組求和法等，本題考查的是錯位相減法求和.33.【2017年高考山東卷理數(shù)】已知X