高中拋物線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)與練習(xí)題及答案

1、拋 物 線(xiàn)y2 2px(p 0) 卜y(T2 2px p 0)卜x(y 102 2py p 0)上 xlx2 (p y2py )0)lF定義平向內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的跑離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，點(diǎn)F叫 做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)。M|MF點(diǎn)M到直線(xiàn)l的距離范圍x 0, y Rx 0,y Rx R, y 0x R, y 0對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)隹百 八、八、(會(huì)0)«)。焦點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上頂點(diǎn)0(0,0)離心率e=1準(zhǔn)線(xiàn) 方程x 2x iy iy 1準(zhǔn)線(xiàn)與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的跑離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn) 線(xiàn)的距離_p 2焦點(diǎn)到準(zhǔn) 線(xiàn)的距離P焦半徑A( xi, yi

2、)AF x1 - 2AF x1 -2AF y11AFyi i焦點(diǎn)弦 長(zhǎng)|ab|(xi x2) p(xi 溝)p(yi y2) p(yi y2) p焦點(diǎn)弦|AB|的幾 條性質(zhì)A(xryi)B(x2,y2)oyjA*,y1 金: X'Bx2 , y2以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線(xiàn)l相切若AB的傾斜角為 ，則|AB2P. 2 sin若AB的傾斜角為，則|ABcos2P2xix2 丫佻p411 AF BFAB2AF BF AF ?BF AF ?BF p切線(xiàn) 方程y°yp(x xo)y°yp(x x0)XoX p(y y。)X0Xp(y y°)-.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系直

3、線(xiàn)”=衣+8,拋物線(xiàn)二. = 2/，y =丘+ 3/消得.二金+2國(guó)-9+短三。 ,1 rd y (1)當(dāng)k=0時(shí)，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，有一個(gè)交點(diǎn)；(2)當(dāng) kw0 時(shí)，A>0,直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相交，兩個(gè)不同交點(diǎn)；A=0,直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相切，一個(gè)切點(diǎn)；A<0,直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)相離，無(wú)公共點(diǎn)。(3)若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)必相切嗎？(不一定)二.關(guān)于直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題常用處理方法直線(xiàn)l： y kx b 拋物線(xiàn)J'，"/, (p 0)聯(lián)立方程法：y kx b 2 222k x 2(kb p)x b 0y 2px設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(xi，y

4、i) , B(x2,y2),則有 0,以及x1 x2,xx2,還可進(jìn)一步求出y1 y2 kxi b kx2 b k(x1 x2) 2b22y1y2 (kx1 b)(kx2 b) k x1x2 kb(x1x2) b在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，對(duì)稱(chēng),面積等問(wèn)題時(shí)，常用此法，比如1.相交弦AB的弦長(zhǎng)ABV1 k2 x11 k2 % (x1 X2)2 4x1X21 k2 -aABb.中點(diǎn) M(Xo, y°),X2Xo1 k2 y1,1 k設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（X1，y1），B(X2,y2),代入拋物線(xiàn)方程，得2Vi2 PX1將兩式相減，可得2y22PX2(yi y2)(yi v?) 2P(x1X2)y1y2

5、2pX1X2 y1y2a.在涉及斜率問(wèn)題時(shí),kAB2Py1y2b.在涉及中點(diǎn)時(shí)，設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M（Xo，yo）,y1y22p2pX1X2y1y22 yoyo即kAByo同理，對(duì)于拋物線(xiàn)x2是弦AB的中點(diǎn)，則有kABX1X22P2Xo Xo2P P（注意能用這個(gè)公式的條件：1）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，2）直線(xiàn)的斜率存 在，且不等于零）拋物線(xiàn)練習(xí)及答案1、已知點(diǎn)P在拋物線(xiàn)y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q (2, 1)的距離與點(diǎn) P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離之 和取得最小值時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為。(1，1)422、已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y 2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P到點(diǎn)(0, 2)的距離與P到該拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距

6、離之和的最小值為17O 23、直線(xiàn)y x 3與拋物線(xiàn)y2 4x交于A(yíng),B兩點(diǎn)，過(guò)A,B兩點(diǎn)向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為P,Q ,則梯形APQB的面積為 。 482ULU4、設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)y2 2Px(p 0)的焦點(diǎn)，A是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，F(xiàn)A與x軸正向的夾角為60°,則OA為。5、拋物線(xiàn)y2 4x的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線(xiàn)為l ,經(jīng)過(guò)F且斜率為J3的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在 x軸上方的部分相交于點(diǎn) A, AK ± l ,垂足為K ,則ZXAKF的面積是。 4736、已知拋物線(xiàn)C:y2 8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在C上且|AK J2|AF| , 則AFK的面積為。

7、 822 x y 7、已知雙曲線(xiàn)匚 1,則以雙曲線(xiàn)中心為焦點(diǎn)，以雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)方程45為。8、在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，有一定點(diǎn) A(2,1),若線(xiàn)段OA的垂直平分線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)2y2 2px(p 0)則該拋物線(xiàn)的方程是 9、在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，已知拋物線(xiàn)關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)在原點(diǎn) O,且過(guò)點(diǎn)P(2, 4),則該拋物線(xiàn)的方程是。 y2 8x2410、拋物線(xiàn)yx2上的點(diǎn)到直線(xiàn)4x 3y 8 0距離的最小值是 。一311、已知拋物線(xiàn)y2=4x,過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A(yíng)(x 1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是。 32212、若曲線(xiàn)y2 = |

8、x|+1與直線(xiàn)y= kx+b沒(méi)有公共點(diǎn)，則k、b分別應(yīng)滿(mǎn)足的條件是 。 k=0,-1< b<113、已知拋物線(xiàn)y-x2+3上存在關(guān)于直線(xiàn) x+y=0對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn) A、B,則|AB|等于()CA.3B.4C.3 2D.4 214、已知拋物線(xiàn)2 Px(p 0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1My1)，P2(X2, y2), P3(x& y3)在拋物線(xiàn)上，且2x2 為X3則有(A. FP1FP2FP1FP3FP315、已知點(diǎn) A(x1, y1), B(x2, y2) (x1x2uuuuuu uuu向量OA,OB滿(mǎn)足OA OBuurOA(1)證明線(xiàn)段 ab是圓c的直徑;(2)當(dāng)圓C的圓心到直線(xiàn)

9、x-2y=0D.解:uur(1)證明 1: Q OAuurOBFP1FP20)是拋物線(xiàn)FP2FP3FP-IIFP32y 2px(puurOB .設(shè)圓C的方程為x的距離的最小值為uuu uuuOA OB ,uuu (OA0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，y2 (X x2)x (y1y2)y 0。uuu 2OAuuu uuu2OA OBuuu 2OBuuu2OAuuu uuu2OA OBuuu2OB設(shè)M(x,y)是以線(xiàn)段即(x x)(x x2)查時(shí),5uuir 2OB)2uuu(OAuuu整理得：OAuuuAB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則MA(y y)(y 20,一 一 2整理得：x的值。uuu 2

10、OB),uurOB0 ,x1 x2y y20 ,故線(xiàn)段AB是圓C的直徑。uuu uur證明 2: Q OA OBuuu 2OAuuu 2OAuuuOBx2y1y2uur uuuuuuOA OB , (OAuuu 2 uuu 2 uuuOB OA 2OA0.(1)設(shè)(x,y)是以線(xiàn)段AB為直徑的圓上則即uuiTMB 0(x1x2)x(y1 y2)y0,uuuOBuuu 2 uuuOB)2 (OAuuu 2OB),UUU2uuuOB ,整理得：OAuuurOB0,y2x x2y y1xx11(x x1,x x2),去分母得：(x x)(x x2) (y y)(y y2)0,點(diǎn)(x1, y1),(x

11、1, y2),( x2,y1)(x2, y?)滿(mǎn)足上方程，展開(kāi)并將(1)代入得:22x y(x x2)x (y1y2)y0,故線(xiàn)段AB是圓C的直徑。uuu uur證明 3: Q OA OBuuu 2 uuu uuuOA 2OA OBuuu uuu整理得：OA OBuurOAuuu 2OB0,uuuOB ,uuu2OAuuu (OAuuu uuu2OA OBuuu 0 uuu uuu 0OB)2 (OA OB)2,uuu2OB ,y y20 (1)以線(xiàn)段AB為直徑的圓的方程為(xxix2 )2yi y2 2 i(y T4(xi、2/、2x?) (yi y),展開(kāi)并將(i)代入得：x2y2 (x

12、x2)x(yi y2)y o,故線(xiàn)段AB是圓C的直徑(2)解法i:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則x x2 x 2yi y2 y -V-22Qyi2pxi, y22 Px2(p o),X1X222yi y2 ,又因 xi x2 yi4py2 o,Xi X2yi y2,yi y22y y4p2xi x2o,yi2yi y24p ,x x2 x 2i /2(yi4p2y22y22yiy2)苗i / 2(yP2p2),所以圓心的軌跡方程為-2px 2p設(shè)圓心C到直線(xiàn)x-2y=0的距離為d,則i 22° I(y 2p ) 2y|x 2y| p_ 22py 2p I5pI(y p)2-5pP2I

13、當(dāng)y=p時(shí),d有最小值 上，由題設(shè)得 上 5、52.55p 2.解法2:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則xix22yiy22_2Qyi22pxi, y22 Px2(p o),x1x22y y24p2又因x1x2yi y2o, x x2yi y2,yiy222yi 丫2Q x x o2Q xi x2 o,4pyiy2o,yi y24P2,xi xx22i 22 i 24；(yi y2)而(yi2y232)專(zhuān)i 22一(y 2p), p所以圓心的軌跡方程為 y2 px 2p2,2、5o設(shè)直線(xiàn)x-2y+m=0到直線(xiàn)x-2y=0的距離為/_ ,則m 2 ,因?yàn)閤-2y+2=0與y px5共點(diǎn),所以當(dāng)x-

14、2y-2=0與y2px 2 p2僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)到直線(xiàn)x-2y=0的距離最小值為2p2無(wú)公2、55x 2y 2 0L (2)2_ 2y px 2p L 將(2)代入(3)得y2 2py2p2 2p0,4 p2 4(2 p22p) 002.解法3:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則xix22yiy22圓心C到直線(xiàn)x-2y=0的距離為d,則|2x_xd 2(yi¥2) I.5-2Q yi22 pxi, y22 px2(p 0)xx222yi y22-,又因 xi x24p20,xi x2yi/20,yi y24p ,22yi y2y 1，Q xi x2 0, 4p,i z 22、I(y

15、iy2 ) (yi y2)|4P|yi222 ,y2 2y1y2 4P(yi 力)8P |(yiy2 2p)2 4p2255P 2.4 5P當(dāng)yi y 2 P時(shí),d有最小值 與 油題設(shè)得 隼 、, 5. 52 x i6、已知橢圓Ci： 4y- i,拋物線(xiàn) C2：(y m)232px(p0),且Ci、C2的公共弦AB過(guò)橢圓Ci的右焦點(diǎn).C2的焦點(diǎn)是否在直線(xiàn) AB上;(i)當(dāng)AB，x軸時(shí)，求m、p的值，并判斷拋物線(xiàn)(2)是否存在m、p的值，使拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)恰在直線(xiàn) AB上？若存在，求出符合條件的 m、p的 值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)當(dāng)AB，x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以 m=0,直

16、線(xiàn)AB的方程為x=1 ,從而點(diǎn)A3399的坐標(biāo)為(1 ,)或(1,).因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線(xiàn)上，所以2p ,即p 9 .此時(shí)C2的焦2248點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),該焦點(diǎn)不在直線(xiàn) AB上. 16(2)解法一 當(dāng)C2的焦點(diǎn)在A(yíng)B時(shí)，由(I )知直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y k(x 1).y k(x 1)由 x2 v2 消去 y 得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0 . .匕143設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),8k2則x1,x2是方程的兩根，x1 + x2= -8k-.3 4k因?yàn)锳B既是過(guò)C1的右焦點(diǎn)的弦，又是過(guò)C2的焦點(diǎn)的弦,111 .所以 AB (2 x1

17、)(2 x2) 4 (x x2),且 222ppAB (x ) (x2 ) x1 x2 p . 221 ,、從而 x1 x2 p 4(x1 x2).2所以人4 6P38k23 4k24 6P3解得k2 6,即k 押.因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F(2,m)在直線(xiàn)y k(x 1)上，所以m - k . 336 T. 6即m 或m.33當(dāng)m 6時(shí)，直線(xiàn)AB的萬(wàn)程為y <6(x 1);3當(dāng)m 無(wú)時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y 石(x 1). 3解法二 當(dāng)C2的焦點(diǎn)在A(yíng)B時(shí)，由(I)知直線(xiàn) AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn) AB的方程為 y k(x 1).2 8.一。由(V 33、消去y得(kx k m)2 8 x.3y k(

18、x 1)2 因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F (一，m)在直線(xiàn)y k(x 1)上，3所以m k(2 1),即m 1k .代入有(kx 2k)2 - x. 3333即k2x2 -(k2 2)x堂0.3、/9設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1), (x2,y2),則Xi,X2是方程的兩根，Xl + X2 =24(k2 2)3k2y k(x 1)由X y2 消去y得(3 4k2)x24 V 1228k2x 4k2 12 0 .由于X1,X2也是方程的兩根，所以8k2X1 + X2= 2 .3 4k2 2從而4(k 22)=旦亍.解得k2 6,即k 娓. 3k23 4k22因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F (-，m)在直線(xiàn)y k(X

19、1)上，所以m 36 一 . 6 即m 或m .33當(dāng)m 西時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y76(X 1);3當(dāng)m46時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y 瓜x(chóng) 1).3解法三 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(X1,y1)，(X2,y2)因?yàn)锳B既過(guò)C1的右焦點(diǎn)F(1,0),又是過(guò)2C2的焦點(diǎn)F ( ,m),3所以AB (X1以(X2 / X1 X2 p11、(2 -X1) (2 -X2).即 X1 X223(4P)169由(I )知 X1 x2 ,于是直線(xiàn) AB的斜率k -y2-y1 0 3m ,X2 X12 13且直線(xiàn)AB的方程是y 3m(x 1),所以 y1 y23m(x1 x2 2) 2m.322又因?yàn)?22 ，所以3

20、(X1 X2) 4(y1 y2)紅1 0.3x2 4y2 12X2 X1將、 、 代入得 m2 2 , 即 m 或m.333當(dāng)m 無(wú)時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y而(x 1)；3當(dāng)m6時(shí)，直線(xiàn) AB的萬(wàn)程為y d6(x 1).317、如圖，傾斜角為 a的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn) y2 8x的焦點(diǎn)F,且與拋物線(xiàn)交于 A、B兩點(diǎn)。(1)求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)l的方程；(2)若a為銳角，作線(xiàn)段 AB的垂直平分線(xiàn) m交x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此 定值。(1)解：設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 2px,則2P 8,從而p 4.因此焦點(diǎn)F(_p,0)的坐標(biāo)為(2,0).又準(zhǔn)線(xiàn)方程的一般式為

21、 x p。從而所求準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x 2。2答(21)圖(2)解法如圖(21)圖作AC±l, BDH,垂足為C、D,則由拋物線(xiàn)的定義知|FA|二|FC|,|FB|=|BD|.記A、B的橫坐標(biāo)分別為xxxz,則 |FA|= |AC|= xxp| FA | cosa 一2-| FA | cosa 4 解得 2類(lèi)似地有 |FB| 4 |FB|cosa,解得 |FB | 41 cosa記直線(xiàn)m與AB的交點(diǎn)為E,則|FE| |FA| IAE|FA|FA | |FB | 1(| FA| 2|FB I)41 cosa所以|FP|FE|cosa4 -一-o 故 |FP | sin a| FP | co

22、s2 acos2a)41 cosa24 2sin a.2sin a4cosa2 _， sin a8。解法二：設(shè) A(Xa-a), B(Xb"b),直線(xiàn)AB的斜率為ktan a ,則直線(xiàn)方程為 y k(x 2)。將此式代入 y2 8x,得 k2x2 4(k2 2)x 4k2。，故 XaXbk(k2 2) k"°記直線(xiàn)m與AB的交點(diǎn)為E(Xee),則2xa xb 2(k2 2)E 2k2k2 4k2令y=0,得P的橫坐標(biāo)xP從而 |FP| |FP|cos2a2k2 4k242，身4(k21)44 故 |FP| xp 2 2- -丁。k sin a2(1 cos 2a)

23、 sin a2 -4 2 sin a2- 8為定值。sin a18、已知正三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)2y 2x上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C是OAB的4 4Vek(xE 2)-,故直線(xiàn)m的萬(wàn)程為y 一kk內(nèi)接圓（點(diǎn)c為圓心） （1）求圓C的方程；（2）設(shè)圓M的方程為（x 4 7cos ）2 （y7cos ）2 1,過(guò)圓M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的uuu uuin兩條切線(xiàn)PE, PF ,切點(diǎn)為E, F ,求CE,CF的最大值和最小值.22（1）解法一：設(shè) a b兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 v1 '5，y2，由題設(shè)知(%y2)2 22222Xy1x2y2 ,又因?yàn)閥124,V1V22y22 2V1V

24、22y2222y1y222解得 y2yf 12,所以 A(6,2j3)B(6,26)或 A(6, 273), B(6,2g).4,22所以圓C的方程為（x 4） y 16 .2設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（r,0），則r 23解法二：設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1,yi)（X2, y2）,由題設(shè)知2y2222x2,可得 x1 2x1 x2 2x2 ,即(x1x2)(x1 x2 2) 0 .由為0,0 ,可知x1x2，故A, B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),所以圓心C在x軸上.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(rQ)3.3一 r, r,于是有-3 r2解得r 4 ,所以圓C的方程為（x4)22y2 16.uuuuur(2)解：設(shè) ECF

25、 2a,則 CEgDFuur uur|CE |gCF |gcos216cos 2232cos16.在 RtzXPCE 中，cos|PC| |PC|,由圓的幾何性質(zhì)得|PC |< |MC |8, |PC|> |MC | 1 7 1 6一,1所以一 < cos2uuu uur由此可得 80CE£FWuuu uur.則CERF的最大值為8.19、若A、B是拋物線(xiàn)y2=4x上的不同兩點(diǎn)，弦 AB （不平行于y軸）的垂直平分線(xiàn)與 x軸相交于點(diǎn)P,則稱(chēng)弦AB是點(diǎn)P的一條 相關(guān)弦”已知當(dāng)x>2時(shí)，點(diǎn)P (x,0)存在無(wú)窮多條 相關(guān)弦”給定 xo>2.(1)證明：點(diǎn)P

26、(Xo,0)的所有 相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；(2)試問(wèn)：點(diǎn)P (xo,0)的相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用X0表示)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)設(shè)AB為點(diǎn)P (xo,0)的任意一條 相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(xi,yi)、(x2,y2) (xix2)則y2i=4xi, y22=4x2，兩式相減得(yi+y2)(yi-y2)=4(xi-x2).因?yàn)閤ix2,所以yi+y20.設(shè)直線(xiàn)AB的斜率是k,弦AB的中點(diǎn)是 M (xm, ym),則k=一y2 一4 . xi x2yiy2ym從而AB的垂直平分線(xiàn)l的方程為y ym_ym(x xm)2又點(diǎn)P (xo,0

27、)在直線(xiàn)l上，所以ymYm(x° xm).2而ym 0,于是xm x0 2.故點(diǎn)P (xo,0)的所有 相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是 xo-2.、 . .2(2)由(i)知，弦AB所在直線(xiàn)的萬(wàn)程是 y ym k(x xm),代入y 4x中，2 22整理得 kx 2k(ym kxm) 2x (ym kxm)0.則xi、x2是方程()的兩個(gè)實(shí)根，且 xi x2(ym kxm )k1設(shè)點(diǎn)P的相關(guān)弦" AB的弦長(zhǎng)為l,則l2 (xi x2)2 (yi y2 )2 (i k2)(xi x?)2(i k2)(xi x2)2 4xx2 4(i k2)(xm2 取2)八，Zvi(ymxm)4

28、(i 2)xm ym ym±2ym(4 ym)(4xmym)ym 4ym(xm )i6xm22_222_24' i) ym 2的 i)4(% i)仇 2(% 3).因?yàn)?0< ym, <4xm=4(xm-2) =4x 0-8,于是設(shè) t= ym,貝U t (O,4xo-8).記 l2=g(t尸-t-2(x 0-3)2+4(x0-i)2.,若 x0>3,則 2(x0-3),一 2,(0, 4x0-8),所以當(dāng) t=2(x0-3)，即 ym=2(x0-3)時(shí),l有最大值 2(xO-i).若 2<x0<3,則 2(x0-3) 0,g(t)在區(qū)間(0,

29、4 x0-8)上是減函數(shù)，所以 0<l2<i6(x0-2),l 不存在最大值.綜上所述，當(dāng)x0>3時(shí)，點(diǎn)P (x。,。)的 相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中存在最大值，且最大值為2 (x0-i);當(dāng)2< x0 3時(shí)，點(diǎn)P (x°,0)的 相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中不存在最大值.i 320、已知曲線(xiàn)C是到點(diǎn)P ( 一,一)和到直線(xiàn)y2 8的直線(xiàn)，5一距離相等的點(diǎn)的軌跡。8是過(guò)點(diǎn)Q (-i, 0)M是C上(不在 上)的動(dòng)點(diǎn)；A、B在上，MA ,MB x軸(如圖)(1)求曲線(xiàn)C的方程；(2)求出直線(xiàn)的方程，使得1QBL為常數(shù)。QA(1)解：設(shè)N(x, y)為C上的點(diǎn)，則N到直線(xiàn)y的距離為y

30、一 .由題設(shè)得88化簡(jiǎn)，得曲線(xiàn)C的方程為y - (x2 x).2(2)解法一:2設(shè) M x,2kxk,則 B(x, kxk)，從而|QB|J1 k2 | x 1|.在 RtzXQMA 中，因?yàn)?|QM |2(x1)2(x 1)2所以 |QA|2 |QM |2 |MA|2(x1)24(1 k2)(kx 2)2 .2|MA |2|x 1|gkx 2|QA|2,1 k2|QBf 2(1 k2) ,1 k2|QA|k|g- x2當(dāng) k 2時(shí)，LQL |QA|5 J5 ,從而所求直線(xiàn)1方程為2x2 x 解法二：設(shè)M x, 一x，直線(xiàn)1:2y kx k ,貝U B( x, kx|QB| 1 k2 |x1|

31、.過(guò)、(1,0)垂直于的直線(xiàn)l1 : y1之1)-因?yàn)?|QA| |MH |,所以 |QA|x1|gkx 2|2.1 k2|QB|2 2(1 k2),1 k2|QA|k|x g 2x 一 kk),從而1O1xl方程為2x y 2 0 .2當(dāng)k 2時(shí)，|QL 5，5,從而所求直線(xiàn)|QA|21、如圖，已知點(diǎn)F(1,0)，直線(xiàn)l ：x 1P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn) Q,uuuUUUT uur UUUT且 QPgQF FPgFQ .(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交軌跡 C于A(yíng),B兩點(diǎn)，交直線(xiàn)l于點(diǎn)uuur 已知MAUUUT UULT1AF , MBuum2BF ，

32、求12的值;解法一：(1)設(shè)點(diǎn)P(x, y),則Q(UUU UUUT1, y),由 QPgQFuuuuuuFPgFQ 得:(x 1,0)g：2,y) (x 1, y)g( 2,2y),化簡(jiǎn)得C: y2(2)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為:x my 1(m 0).設(shè) A(x1，y1)，B(x2,y2),又 M1,2聯(lián)立方程組yx4x,my,消去x得:1,4my 4(4m)2 120,故ViY2ViV24m, 4.uur 由MAUUT1AFLUITMBUUT2BF 得:2y1一 miViy2整理得:my22my1V1V22 /1y2一g myy22 4m mg70.拋物線(xiàn)的定義及其應(yīng)用例1、設(shè)P是拋物線(xiàn)y2=

33、4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).1的距離之和的最小值; 求點(diǎn)P到點(diǎn)A( 1,1)的距離與點(diǎn)P到直線(xiàn)x =(2)若B(3,2),求| PB +| PF的最小值.例2、(2011 山東高考)設(shè)Mx0, y0)為拋物線(xiàn)C： x2=8y上一 點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，以F為圓心、| FM為半徑的圓和拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相交，則y0的取值范圍是()A. (0,2) B. 0,2 C . (2, +oo) D . 2 , +oo)二、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例3、拋物線(xiàn)y2 = 2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l ,經(jīng)過(guò)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于 A B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線(xiàn)于C點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方,AKal ,垂足為 K,若 |BC

34、=2|BF ,且 |AF|=4,則4AKF的面積是（）A. 4B . 3 小C . 473D . 8例4、過(guò)拋物線(xiàn)y2 = 2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn) A B,交其準(zhǔn)線(xiàn)l于點(diǎn)C,若|BC=2|BF,且|AF =3則此拋物線(xiàn)的方程為 （）“23-2c-29r2cA. y =2xB. y=9x C . y =2x D . y = 3x三、拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題例5、(2011 江西高考)已知過(guò)拋物線(xiàn)y2= 2Px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2冊(cè)的直線(xiàn)交拋 物線(xiàn)于 A(Xi, y4, B(x2, y2)(x1<x、兩點(diǎn),且 |AB=9.(1)求該拋物線(xiàn)的方程；。為坐標(biāo)原點(diǎn)，c

35、為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若OC = OA+入OB,求人的化例6、(2011 湖南高考)(13分)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸 的距離的差等于1. 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線(xiàn)1i, l2,設(shè)1i與軌跡C相交于點(diǎn)A, B,uur uuu%與軌跡c相交于點(diǎn)d, e,求AD EB的最小值例7、已知點(diǎn)M1 ， y)在拋物線(xiàn)C： y2=2px(p>0)上，M點(diǎn)到拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的距離-1一、一 一一，為2,直線(xiàn)l : y= /x + b與拋物線(xiàn)C父于A(yíng), B兩點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)C的方程；若以AB為直徑的圓與x軸相切，求該圓的方程.例題答案解析一

36、、拋物線(xiàn)的定義及其應(yīng)用例1、(1)如圖，易知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線(xiàn)是x=1.由拋物線(xiàn)的定義知：點(diǎn)P到直線(xiàn)x=1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離.于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線(xiàn)上求一點(diǎn) P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A 1,1)的距離與點(diǎn)P至UF(1,0) 的距離之和最小.顯然，連結(jié) AF交曲線(xiàn)于P點(diǎn)，則所求的最小值為|AF ,即為，5. 如圖，自點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線(xiàn)于Q,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P1,則|P1Q=|P1F|.則有|PB 十 |PF 引 P1B|+|P1Q =|BQ=4.即|PB+|PF|的最小值為 4.例2、解析：圓心到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 p,即p=4,根據(jù)已 知只要|FM>4即可.根 據(jù)拋物線(xiàn)定|

37、FM =y0+2由y0 + 2>4,解得y0>2,故y0的取值范圍是(2 , +oo).二、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)例3、設(shè)點(diǎn)A(x1,y。，其中y1>0.由點(diǎn)B作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為B.則有| BF|一，一 一I BBI 1 一九= |BB| ；又|CB=2|FB ,因此有 |CB=2|BB| , cos/CBB=， = 2，2CBB=.即直線(xiàn)AB與x軸的夾角為F.又1AF = | AK =x + 1= 4,因此yi = 4sinw = 2、/3,因 323 r.11L L此AAKF的面積等于 2l AK yi = 2X4X2i/3= 4/3.例4.分別過(guò)點(diǎn)A、B作

38、AA、BB垂直于l ,且垂足分別為Ai、B,由已知條件| Bq = 2|BF 得| Bq=2|BB| , . ./BCB= 30°，又 | AA| = | AF = 3,. .|Aq=2|AA| =6, .iCHMlAq|AF =6 3=3,.F 為線(xiàn)段 AC 的中點(diǎn).故點(diǎn) F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為P=1|AA|=|,故拋物線(xiàn)的方程為y2= 3x.三、拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題 例5、(1)直線(xiàn)AB的方程是y = 2d2(xp),與y2= 2Px聯(lián)立，從而有4x2 5px+p2 = 0,所以：xi + x2=斗，由拋物線(xiàn)定義得：|AB=xi + x2+ p=9,所以p=4,從而拋物線(xiàn)方程是y2=8x.

39、(2)由 p = 4,4x2 5px+p2 = 0可簡(jiǎn)化為 x2 5x+4=0,從而 xi=1, x2=4, yi= 2，2,y2 = 4g,從而 A(1 , -2® B(4,4 V2);uuu設(shè) OC =(X3, V。= (1 , - 2>/2) + 入(4,4 &) = (4 入 + 1,4/2 入-2/2).又 y3= 8x3,即22(2 入一1) 2= 8(4 入 +1).即(2入1) =4入+ 1.解得入=0,或入=2.例6、(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),由題意有4x-1 2+ y2 | x| = 1.化簡(jiǎn)得y2=2x + 2| x|. 當(dāng) x>0

40、 時(shí)，y2 = 4x；當(dāng) x<0 時(shí)，y=0.所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2 = 4x(x10)和y=0(xv0).(2)由題意知，直線(xiàn)l 1的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則l 1的方程為y = k(x1).由y=k x124y =4x,得 k2x2(2k2+4)x+k2=0.(7分)4設(shè)A(x1, y。，B(xi, y2),則xs x2是上述萬(wàn)程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1 + x2=2+p, x1x2=1.(8分)因?yàn)閘l 2,所以12的斜率為一1.設(shè)D(x3, v3 ， E(x% y4),則同理可得k2)x3 + x4 2 + 4k ) x4 1.= (x1 + 1)(x2+ 1) + (

41、x3+1) , (x4+ 1)X1X2+ (Xi +X2)+ 1 + X3X4+(X3 + X4) + 1(11分）= 1 + (2+ 40 + 1+ 1 + (2 +4k2) + 1 = 8+4(k2 + J) >8 + 4X2、 kKuur uuu當(dāng)且僅當(dāng)K2= K2,即K=± 1時(shí)， AD EB 取最小值16.例7、（1）拋物線(xiàn)y2= 2Px（p>0）的準(zhǔn)線(xiàn)為x= I，由拋物線(xiàn)定義和已知條件可知| MF = 1 ( 2) = 1 + 2= 2,解得p= 2,故所求拋物線(xiàn)C的方程為y2=4X.1.y 77X -p b(2)聯(lián)立 2消去x并化簡(jiǎn)整理得y2+8y8b=0.

42、y2= 4x依題意應(yīng)有 A=64+32b>0,解得 b> 2.設(shè) A(X1, y。，B(X2, y?),則 y - y2= 8, y1y2= 8b, 設(shè)圓心 Q(Xo, yo),則應(yīng)用 Xo=X1.x2, y°= y1 2y2= - 4.因?yàn)橐訟B為直徑的圓與x軸相切，所以圓的半徑為r = |yo| =4.又 | AB = 7 X1 X2 + y1 y2= 7 1+4y1 一 y=啊V-V2 24丫歸=勺5 64+ 32b所以|AB=2r=、5 64+ 32b =8,解得 b= 8.548所以 x + X2=2b 2y1+2b 2y2=4b+16=-7,5則圓心Q的坐標(biāo)為

43、（烏，-4）.故所求圓的方程為（x 空）2 +（y+4）2= 16. 55練習(xí)題1.已知拋物線(xiàn)x2= ay的焦點(diǎn)恰好為雙曲線(xiàn)y2- x2 = 2的上焦點(diǎn)，則a等于（A. 1B. 4D. 162.拋物線(xiàn)y= 4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是 （17A.1615 B16C.71615 D.163. （2011 遼寧高考）已知F是拋物線(xiàn)y2=x的焦點(diǎn), 十 | BF =3,則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 （A.B是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn),|AF|4.5.B. 15C. 46.已知拋物線(xiàn)y2=2pxA.相離B.以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的位置關(guān)系是（相交 C（2012 宜賓檢測(cè)）已

44、知F為拋物線(xiàn).相切y2 = 8x的焦點(diǎn)，過(guò)D.不確定F且斜率為1的直線(xiàn)交拋物)A , 472在y = 2x2上有一點(diǎn)B. 8C.則 | fa82| fbi 的值年D. 16坐標(biāo)是A. (-2,1)7.8.P,它到 A(1,3)B. (1,2) C的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn) P的. (2,1)D. (-1,2)設(shè)拋物線(xiàn)y2= 8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l 果直線(xiàn)AF的斜率為一小,那么| PF| =A. 4 3P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，PAL l, A為垂足.如（2011 陜西高考）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x= 2,則拋物線(xiàn)的方程A. y2= 8xB . y2 = 8x9. (2012 -永

45、州模擬)以?huà)佄锞€(xiàn)x2 =C . y2= -4xD.y2 = 4x16y的焦點(diǎn)為圓心，且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程為10.已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為 y軸，拋物線(xiàn)上一點(diǎn) q3, m）到焦點(diǎn)的距離是5,則拋物線(xiàn)的方程為11.已知拋物線(xiàn)y2= 4x與直線(xiàn)2x + y4=0相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,那uuuuum么| FA | +| FB | =.12 .過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 A(x1, y1), B(x2, y2)兩點(diǎn)，若x1+ x2=6,那么| AB等于13 .根據(jù)下列條件求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是雙曲線(xiàn)16x2 9y2= 144的左頂點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn) P(2 , 4).14.已知點(diǎn) Af-1,0) , B(1 , 1),拋物線(xiàn) C： y2線(xiàn)1交拋物線(xiàn)C于M p兩點(diǎn)，直線(xiàn)mb交拋物線(xiàn)= 4x,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直uuuu uuuC于另一點(diǎn)Q若向量OM與OP的火角為了,求加勺面積.練習(xí)題:1.解析：根據(jù)拋物線(xiàn)方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0 ,a 一4),雙曲線(xiàn)的上焦點(diǎn)為(0,2),依題、.a 一息則有4= 2解得a = 8.2.解析：拋物線(xiàn)方程可化為y 、-1 、4,其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=而設(shè)M>, y。)，則由拋物線(xiàn)1的定義，可知 6y0=1?y°=15