分?jǐn)?shù)變化問(wèn)題

1、分?jǐn)?shù)變化問(wèn)題所謂分?jǐn)?shù)變化問(wèn)題，是指對(duì)一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母進(jìn)行加減變化，變化后的分?jǐn)?shù)值不變，求原分?jǐn)?shù)的題目；或?qū)σ粋€(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母進(jìn)行加減變化，變化后的新分?jǐn)?shù)是已知的，求原分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)加上或減去的數(shù)是多少之類(lèi)的題目。這類(lèi)問(wèn)題不僅在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中時(shí)有所見(jiàn)，而且在小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也屢見(jiàn)不鮮。因此，對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解答很有必要作進(jìn)一步的探討。這類(lèi)分?jǐn)?shù)變化題的解答應(yīng)注意運(yùn)用三個(gè)規(guī)律和抓住三條關(guān)鍵解題線(xiàn)索。規(guī)律1：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母若同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)時(shí)，其分?jǐn)?shù)的值增大，但原分?jǐn)?shù)的分子、分母的差與變化后分子、分母的差相等。規(guī)律2：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母若同時(shí)減去同一個(gè)數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)的值減小，但它們的分子、分

2、母的差不變。規(guī)律3：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子加上（或減去）而分母減去（或加上）同一個(gè)數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)值增加（或減?。?，但它們的分子、分母的和不變。在實(shí)際問(wèn)題中，分子、分母的增加或減少不一定相同。因此解題時(shí)，必須根據(jù)已知條件，抓住下列幾個(gè)關(guān)鍵，尋找解題的線(xiàn)索。線(xiàn)索1：若兩次都只變化分子或分母，則必須抓住沒(méi)有變化的分子或分母應(yīng)該相等的這一關(guān)鍵，先求出它。若它們不相等，是因?yàn)榛?jiǎn)的緣故，則需要求出它們的最小公倍數(shù)。線(xiàn)索2：若一次變化分子，而另一次變化分母，而所加減的數(shù)是已知的，則必須抓住它的分子分母的和的倍數(shù)減去加上的數(shù)與加上減去的數(shù)應(yīng)該相等的這一關(guān)鍵。若它們不相等，是因?yàn)樽兓牟煌?，只要根?jù)這個(gè)不同就可以求出原來(lái)

3、的分?jǐn)?shù)。線(xiàn)索3：若分?jǐn)?shù)是已知的，而要求其分子、分母同時(shí)加上或同時(shí)減去的數(shù)時(shí)，就必須抓住其分子、分母的差是不變的這一關(guān)鍵。例1. 有一分?jǐn)?shù)，原為，若將它的分子、分母同時(shí)加上一個(gè)數(shù)后，則變?yōu)?。分子、分母同時(shí)加上的數(shù)是多少？分析與解：因?yàn)榉肿?、分母同時(shí)加上一個(gè)相同的數(shù)后，其分子、分母雖然發(fā)生了變化，但是它們的差是不變的。原分?jǐn)?shù)的分子、分母之差是，而加上同一個(gè)數(shù)后其差是。因?yàn)?，可?jiàn)是約去了它們的公約數(shù)7而得到的。故未約分之前應(yīng)為，據(jù)此可求得原分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)加上的數(shù)是：，或。例2. 有一分?jǐn)?shù)，原為，若將它的分子、分母同減一數(shù)后，則變?yōu)?。分子、分母同時(shí)減去的數(shù)是多少？分析與解：因?yàn)榉肿?、分母同減去一

4、個(gè)相同的數(shù)后，其分子、分母雖已變化，但是它們的差是不變的。原分子、分母之差是，而減去同一個(gè)數(shù)后其差是。因?yàn)?，可?jiàn)是約去了它們的公約數(shù)5而得到的，故未約分之前應(yīng)為，據(jù)此可求得分子與分母同時(shí)減去的數(shù)是：，或。例3. 一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，分子加上3，約簡(jiǎn)得；分子加上5，約簡(jiǎn)得。求原分?jǐn)?shù)。分析與解：這個(gè)分?jǐn)?shù)雖然經(jīng)過(guò)兩次變化，但所變化的都是分子，分母未變。變化后所得的分?jǐn)?shù)和都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，故在未約分之前的分母必定是2與5的倍數(shù)，且是同一個(gè)數(shù)。2和5的最小公倍數(shù)是10，故原分?jǐn)?shù)的分母是10或10的倍數(shù)。經(jīng)檢驗(yàn)，原分?jǐn)?shù)的分母是20。所以，原分?jǐn)?shù)是，或。例4. 一個(gè)分?jǐn)?shù)，將它的分子減去2，約簡(jiǎn)得；將它的分子減去5，約

5、簡(jiǎn)得。求原分?jǐn)?shù)。分析與解：這個(gè)分?jǐn)?shù)雖也經(jīng)過(guò)了兩次變化，但所變化的都是分子，分母未變。變化后的分?jǐn)?shù)與都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，故在未約分之前的分母一定是3與9的倍數(shù)，且是同一個(gè)數(shù)。3和9的最小公部數(shù)是9，故原分?jǐn)?shù)的分母是9或9的倍數(shù)。經(jīng)檢驗(yàn)，原分?jǐn)?shù)的分母是27。所以，原分?jǐn)?shù)是，或。例5. 一個(gè)分?jǐn)?shù)，它的分子加上7，約簡(jiǎn)得；分子減去3，約簡(jiǎn)得。求原分?jǐn)?shù)。分析與解：這個(gè)分?jǐn)?shù)雖經(jīng)兩次變化，但變化的只是分子，分母未變。變化后得的分?jǐn)?shù)與都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，故在未約分之前的分母必定是2與9的倍數(shù)，且是同一個(gè)數(shù)。2與9的最小公倍數(shù)是18，故原分?jǐn)?shù)的分母是18或18的倍數(shù)。經(jīng)檢驗(yàn)，原分?jǐn)?shù)的分母是36。所以，原分?jǐn)?shù)是，或。例6.

6、有一分?jǐn)?shù)，若將其分母加上2，則等于；若將其分母加上3，則等于。求這個(gè)分?jǐn)?shù)。分析與解：這個(gè)分?jǐn)?shù)雖然經(jīng)過(guò)兩次變化，但所變化的都是分母，分子未變。變化后所得的分?jǐn)?shù)與都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，故在未約分之前的分子必定是7與3的倍數(shù)，且是同一個(gè)數(shù)。7和3的最小公倍數(shù)是21，故原分?jǐn)?shù)的分子是21或21的倍數(shù)。經(jīng)檢驗(yàn)，原分?jǐn)?shù)的分子是21。所以，原分?jǐn)?shù)是，或。例7. 有一分?jǐn)?shù)，若將其分母減去4，則等于；若將其分母減去8，則等于，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。分析與解：這個(gè)分?jǐn)?shù)雖然經(jīng)過(guò)兩次變化，但所變化的都是分母，分子未變。變化后得的分?jǐn)?shù)都是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，故在未約分之前的分子，一定是3和5的倍數(shù)，且是同一個(gè)數(shù)。3和5的最小公倍數(shù)是15，故原分?jǐn)?shù)

7、的分子是15或15的倍數(shù)。經(jīng)檢驗(yàn)，原分?jǐn)?shù)的分子是15。所以，原分?jǐn)?shù)是，或。例8. 有一個(gè)分?jǐn)?shù)，將它的分母減去2，約簡(jiǎn)得；將它的分母加上5，就得。求原分?jǐn)?shù)。分析與解：這個(gè)分?jǐn)?shù)雖然經(jīng)過(guò)兩次變化，但變化的只是分母，分子未變。變化后的分?jǐn)?shù)和是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，故在未約分之前的分子必定是2與3的倍數(shù)，且是同一個(gè)數(shù)。2和3的最小公倍數(shù)是6，故原分?jǐn)?shù)的分子是6或6的倍數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，原分?jǐn)?shù)的分子是6。所以，原分?jǐn)?shù)是，或。例9. 有一分?jǐn)?shù)，若分子加上3，則成；若分母加3，則成，求此分?jǐn)?shù)。分析與解：由兩次變化都只加3可知，分子和分母的和雖經(jīng)變化仍然相等。的分子、分母的和是，因是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，則未約分之前的分子、分母的和必為14

8、的倍數(shù)；的分子、分母的和是是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，則未約分之前的分子、分母的和必為4的倍數(shù)。因，照此交叉擴(kuò)大，問(wèn)題即可獲解。所以，原分?jǐn)?shù)是，或。例10. 有一分?jǐn)?shù)，若將其分子加上3，則等于；若將其分母加上2，則變成。求這個(gè)分?jǐn)?shù)。分析與解：因是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，且它的分子、分母的和是，故未約分時(shí)的分子、分母的和必是4的倍數(shù)；又因是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，且它的分子、分母的和是，故未約分之前的分子、分母的和必為13的倍數(shù)。這就是說(shuō)，原分子、分母的和加上2后是4的倍數(shù)，加上3后是13的倍數(shù)，而，據(jù)此可知，13的倍數(shù)比4的倍數(shù)大1。因，則原分?jǐn)?shù)是，或。例11. 有一分?jǐn)?shù)，若將其分子減去7，則等于；若將其分母加上4，則變成。求原分?jǐn)?shù)。分

9、析與解：因是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，且它的分子、分母的和是，故未約分之前的分子、分母的和一定是8的倍數(shù)；又因是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，且它的分子、分母的和是，故未約分之前的分子、分母的和必是3的倍數(shù)。這就是說(shuō)，原分?jǐn)?shù)的分子、分母的和減去7后是8的倍數(shù)，加上4后是3的倍數(shù)。而，據(jù)此可知，3的倍數(shù)比8的倍數(shù)大11。因，則原分?jǐn)?shù)是，或。例12. 有一分?jǐn)?shù)，若將其分子加上3，則等于；若將其分母減去3，則變成。求原分?jǐn)?shù)。分析與解因是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，且它的分子、分母的和是，故未約分之前的分子、分母的和必定是13的倍數(shù)；又因是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，且它的分子、分母的和是，故未約分之前分子、分母的和一定是4的倍數(shù)。這就是說(shuō)，原分?jǐn)?shù)的分子、分母加上3是13

10、的倍數(shù)，減去3是4的倍數(shù)。而=6，據(jù)此可知，13的倍數(shù)比4的倍數(shù)大6，因，則原分?jǐn)?shù)是，或。上述各類(lèi)分?jǐn)?shù)變化題的解題思路甚廣，本文僅對(duì)其中的一種思路作了較為詳細(xì)的探究，有興趣的讀者，不妨從其他角度去想一想，研究一下，說(shuō)不定驚喜就會(huì)呈現(xiàn)在你面前。對(duì)于分子、分母只變化一次的分?jǐn)?shù)變化題，除運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、解方程等常規(guī)思路思考外，筆者這里給出兩條解答此類(lèi)題的簡(jiǎn)易規(guī)律。規(guī)律1：若分?jǐn)?shù)的分子加上（或減去）a，要使其分?jǐn)?shù)值不變，則分母應(yīng)加上（或減去）“”。規(guī)律2：若分?jǐn)?shù)的分母加上（或減去）b，要使其分?jǐn)?shù)值不變，則分子應(yīng)加上（或減去）“”。練一練：1. 一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分子加上4，則等于1；如果分母加上4

11、，則等于，原分?jǐn)?shù)是多少？2. 一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分子加上1，約簡(jiǎn)后得；如果分母減去1，約簡(jiǎn)后得。這個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是多少？3. 分?jǐn)?shù)的分子、分母同加一個(gè)數(shù)后得，加上的這個(gè)數(shù)是多少？4. 分?jǐn)?shù)的分子、分母同減一個(gè)數(shù)得，減去的這個(gè)數(shù)是多少？5. 一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子加上2，分母減去2，所得新分?jǐn)?shù)的分子與分母的差是123，約分后得。原分?jǐn)?shù)是多少？ 關(guān)于變化分子與分母的問(wèn)題1.7 /2 的分子加上4，要使分?jǐn)?shù)值不變，分母應(yīng)加上幾? 2. 一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，把它的分子擴(kuò)大2倍而分母縮小3倍后，等于 43 ，這個(gè)分 數(shù)原來(lái)是多少？3. 一個(gè)分

12、數(shù)的分母與分子的和是161，約分后得15 8 ，這個(gè)數(shù)是幾？4.13 /1 的分子和分母同加一個(gè)什么數(shù)后，就變成5 3 ？5.17 /11 的分子和分母同減一個(gè)數(shù)后，就變成7 4 ，減去的數(shù)是幾？6. 有一分?jǐn)?shù)，如果分子加上3，則分子與分母的和為26；如果分母加上2，則 可約簡(jiǎn)為4 1 ，求原分?jǐn)?shù)。7. 有一分?jǐn)?shù)， 分子與分母的和為36； 如果分子、 分母各減去7， 則可約簡(jiǎn)成83 ， 

13、求原分?jǐn)?shù).。 8. 有一分?jǐn)?shù)，如果分母加上3，則可約簡(jiǎn)1或 21 。已知分母比分子大10，求 原分?jǐn)?shù)。. 9. 有一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加上1，這個(gè)數(shù)就等于1，如果分母加上1，則這個(gè) 數(shù)就等于9 8 ，求原分?jǐn)?shù)。 10. 11 7 的分母加上一個(gè)數(shù)并且再乘以2 1 成為另一個(gè)分?jǐn)?shù)， 再?gòu)脑瓉?lái)的分?jǐn)?shù)減去 這個(gè)分?jǐn)?shù)得 66 31 。問(wèn)在分母上加的什么數(shù)？ 11. 分?jǐn)?shù) 1993 1991 的分子，分母同時(shí)加上什么數(shù)所