第四章平面一般力系

1、第四章 平面一般力系4-1 平面一般力系的簡化4-2 平面一般力系的平衡簡化4-4 摩擦4-3 物體系統(tǒng)的平衡 應(yīng)用力的平移定理，將應(yīng)用力的平移定理，將該力系中的各個力逐個向剛該力系中的各個力逐個向剛體上的某一點體上的某一點O（稱為簡化稱為簡化中心）平移，再將所得的平中心）平移，再將所得的平面匯交力系和平面力偶系分面匯交力系和平面力偶系分別合成別合成。 設(shè)在某一剛體上作用著平面一般力系設(shè)在某一剛體上作用著平面一般力系,如圖所示。顯然像平面匯交力系那樣，用力的平行四如圖所示。顯然像平面匯交力系那樣，用力的平行四邊形法則來合成它很困難。邊形法則來合成它很困難。nFFF,.,214-1 平面一般力系

2、的簡化一、平面一般力系向一點簡化一、平面一般力系向一點簡化1.簡化過程簡化過程1212RnnFFFFFFFF平面一般力系平面一般力系平面力偶系平面力偶系平面匯交力系平面匯交力系向一點簡化向一點簡化合成合成合成合成 （合力）合力）MO（合力偶）合力偶）RF 1122nnFFFFFF， 1122OOnOnMMFMMFMMF，12OnOMMMMMF+4-1 平面一般力系的簡化平面一般力系的三種簡化結(jié)果：平面一般力系的三種簡化結(jié)果：RF 力系簡化力系簡化 為一個為一個力。力。 就是原就是原力系的合力，合力的作用線通過簡化中心。力系的合力，合力的作用線通過簡化中心。0, 0. 2R OMF若若R3.0,

3、0OFM 若，平面一般力系的三種簡化結(jié)果：平面一般力系的三種簡化結(jié)果：1. 若若 力系簡化為合力偶。力系簡化為合力偶。此時主矩與此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。簡化中心的位置無關(guān)。R0,0OFM 則力系簡化則力系簡化為一個合力，但合力的作用線不通過為一個合力，但合力的作用線不通過簡化中心。簡化中心。4-1 平面一般力系的簡化2.主矢和主矩主矢和主矩原平面一般力系等效于力矢原平面一般力系等效于力矢 和力偶矩和力偶矩 的共同作用。的共同作用。其中其中 等于原力系中各力的矢量和，稱等于原力系中各力的矢量和，稱 為原力系的主為原力系的主矢。力偶矩矢。力偶矩 等于原力系中各力對簡化中心矩的代數(shù)和，等于原力

4、系中各力對簡化中心矩的代數(shù)和，稱為原力系對簡化中的主矩。稱為原力系對簡化中的主矩。結(jié)論：平面一般力系向其作用平面內(nèi)任一點簡化，一般可結(jié)論：平面一般力系向其作用平面內(nèi)任一點簡化，一般可以得到一個力和一個力偶。此力作用于簡化中心，其大小以得到一個力和一個力偶。此力作用于簡化中心，其大小和方向等于原力系的主矢；此力偶的力偶矩等于原力系對和方向等于原力系的主矢；此力偶的力偶矩等于原力系對于簡化中心的主矩。于簡化中心的主矩。RFOMRFOMRF4-1 平面一般力系的簡化在力系作用平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系在力系作用平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系Oxy,則則 , RxxRyyFFFF2222RRxRyxyFFFFFtan

5、xyFF式中式中 主矢主矢 與與x軸所夾的銳角。軸所夾的銳角。RF思考思考1：為什么主矢與簡化中心的位置無關(guān)？：為什么主矢與簡化中心的位置無關(guān)？思考思考2：為什么主矩必須指明簡化中心？：為什么主矩必須指明簡化中心？4-1 平面一般力系的簡化二、固定端約束二、固定端約束 固定端約束對物體的作用，是在接觸面上作用有一群約束反力。在平面問題中，這些反力構(gòu)成一平面一般力系。若將這群力向作用面內(nèi)A點簡化，則得一力和一力偶。4-1 平面一般力系的簡化 平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢和對任意一點的主矩都為零。和對任意一點的主矩都為零。 R0 , 0O

6、OMM FFF平面一般力系的平衡方程為：平面一般力系的平衡方程為：0 , 0 , ( )0 xyOFFMF 平面一般力系平衡的必要和充分平面一般力系平衡的必要和充分的解析條件是：力系中各力在作用面的解析條件是：力系中各力在作用面內(nèi)任選的兩個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和內(nèi)任選的兩個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，各力對作用面內(nèi)任一點分別等于零，各力對作用面內(nèi)任一點矩的代數(shù)和等于零。矩的代數(shù)和等于零。4-2 平面一般力系的平衡方程一、平面一般力系的平衡條件與平衡方程一、平面一般力系的平衡條件與平衡方程例例1 1：圖示一懸臂式起重：圖示一懸臂式起重機(jī)簡圖，機(jī)簡圖，A A、B B、C C 處處均為均為光滑鉸鏈

7、。均質(zhì)水平梁光滑鉸鏈。均質(zhì)水平梁ABAB自重自重 P P = 4 = 4 kNkN，荷載，荷載 F F =10 =10 kNkN，有關(guān)尺寸如圖所，有關(guān)尺寸如圖所示，示，BC BC 桿自重不計。求桿自重不計。求 BC BC 桿所受的拉力和鉸鏈桿所受的拉力和鉸鏈A A給梁的約束力。給梁的約束力。4-2 平面一般力系的平衡方程解：解：(1) 取取 AB梁為研究對象。梁為研究對象。獨立的平衡方程數(shù)也是三個。獨立的平衡方程數(shù)也是三個。(3) 列平衡方程，選坐標(biāo)。列平衡方程，選坐標(biāo)。0T0cos300 (1)xAxFFF0T0sin300 (2)yAyFFFP F未知量三個：未知量三個： T,AxAyFF

8、F(2) 畫受力圖。畫受力圖。0T( ) 0sin300 (3)AMF ABP AD F AE F4-2 平面一般力系的平衡方程由由(3)解得解得T023(2 4 3 10) kN m19kN4sin304 m 0.5PFF FAx=16.5 kN, FAy=4.5 kN。 以以 之值代入式之值代入式(1)、(2)，可得：可得：TF即鉸鏈即鉸鏈A的約束力及與的約束力及與x軸正向的夾角軸正向的夾角為：為：22017.1kNarctan15.3AAxA yA yAxFFFFF4-2 平面一般力系的平衡方程二、平衡方程的其他形式：二、平衡方程的其他形式：1.1.二矩式二矩式( )0( )00ABxM

9、MFFF注意：注意：A、B兩點連線不垂直于兩點連線不垂直于x 軸。軸。2. 三矩式三矩式( )0( )0( )0ABCMMMFFF注意：注意：A、B、C 三點不在一條線上。三點不在一條線上。4-2 平面一般力系的平衡方程例例2：圖示簡支梁：圖示簡支梁AB。梁的自重及各處摩擦均不計。試求梁的自重及各處摩擦均不計。試求 A和和B 處的支座約束力。處的支座約束力。解：解：(1) 選選AB梁為研究對象。梁為研究對象。 (2) 畫受力圖如圖所示。畫受力圖如圖所示。 (3) 取坐標(biāo)如圖。取坐標(biāo)如圖。4-2 平面一般力系的平衡方程(4) 列平衡方程列平衡方程N(yùn)eN( )0420,0,0,0,20.ABxAx

10、yAyBMFaMqa aFFFFqaFF解得解得eNe0,1,243.24AxBAyFMFq aaMFq aa4-2 平面一般力系的平衡方程4-2 平面一般力系的平衡方程三、平面平行力系的平衡方程三、平面平行力系的平衡方程平面平行力系：力系中各力的作平面平行力系：力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系力系平面平行力系的平衡方程：平面平行力系的平衡方程： 0 , 0yOFMF平面平行力系的平衡方程二力矩平面平行力系的平衡方程二力矩式：式： 0 , 0ABMFMF物體系：物體系：由幾個物體通過一定的約束方式聯(lián)系在一起的由幾個物體通過一定的約束方式聯(lián)系在一起的系統(tǒng)

11、。系統(tǒng)。4-3 物體系統(tǒng)的平衡1. 內(nèi)力和外力內(nèi)力和外力 外力外力：系統(tǒng)以外的物體給所研究系統(tǒng)的力。：系統(tǒng)以外的物體給所研究系統(tǒng)的力。 內(nèi)力內(nèi)力：因外力作用：因外力作用, 在系統(tǒng)內(nèi)部，各個物體之間，或在系統(tǒng)內(nèi)部，各個物體之間，或一個物體的這一部分與另一部分之間，相互作用的力。一個物體的這一部分與另一部分之間，相互作用的力。 內(nèi)力必然成對存在，它們是大小相等、指向相反的力內(nèi)力必然成對存在，它們是大小相等、指向相反的力，或大小相等、轉(zhuǎn)向相反的力偶。，或大小相等、轉(zhuǎn)向相反的力偶。 為了求得物體內(nèi)部各部分之間的相互作用力，需將物體為了求得物體內(nèi)部各部分之間的相互作用力，需將物體假想地截開，取其一部分來

12、研究；對于系統(tǒng)，也須截取某假想地截開，取其一部分來研究；對于系統(tǒng)，也須截取某一部分來研究。一部分來研究。 靜定問題：靜定問題：一個靜力平衡問題，如果系統(tǒng)中未知量的一個靜力平衡問題，如果系統(tǒng)中未知量的數(shù)目正好等于獨立的平衡方程數(shù)，單用平衡方程就能解出數(shù)目正好等于獨立的平衡方程數(shù)，單用平衡方程就能解出全部未知量。全部未知量。2.靜定和超靜定的概念：靜定和超靜定的概念：4-3 物體系統(tǒng)的平衡在超靜定問題中，物體的變形是必須加以考慮的。在超靜定問題中，物體的變形是必須加以考慮的。 超靜定或靜不定問題：超靜定或靜不定問題：一個靜力平衡問題，如果系統(tǒng)中一個靜力平衡問題，如果系統(tǒng)中未知量的數(shù)目超過獨立的平衡

13、方程數(shù)目，用未知量的數(shù)目超過獨立的平衡方程數(shù)目，用剛體靜力學(xué)方法剛體靜力學(xué)方法就不能解出所有的未知量。就不能解出所有的未知量。4-3 物體系統(tǒng)的平衡注意：判斷問題是否靜定，不能單純從未知量的數(shù)目來考注意：判斷問題是否靜定，不能單純從未知量的數(shù)目來考慮，還應(yīng)對問題多作具體分析。慮，還應(yīng)對問題多作具體分析。 分析圖中的梁可知，雖然平衡方程數(shù)等于未知量數(shù)，分析圖中的梁可知，雖然平衡方程數(shù)等于未知量數(shù)，實際上它不能平衡。在設(shè)計時必須注意使結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)固，實際上它不能平衡。在設(shè)計時必須注意使結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)固，其位置和幾何形狀不能改變。其位置和幾何形狀不能改變。4-3 物體系統(tǒng)的平衡3. 物體系平衡問題的靜定或

14、超靜定物體系平衡問題的靜定或超靜定 物體系物體系是由幾個物體組成，可分別分析各個物體的受是由幾個物體組成，可分別分析各個物體的受力情況，畫出受力圖。力情況，畫出受力圖。 根據(jù)受力圖的力系類型，可知各有幾個獨立的平衡方程，根據(jù)受力圖的力系類型，可知各有幾個獨立的平衡方程，如平面一般力系有三個獨立的平衡方程等。如平面一般力系有三個獨立的平衡方程等。 總計獨立平衡方程數(shù)，與問題中未知量的總數(shù)相比較。總計獨立平衡方程數(shù)，與問題中未知量的總數(shù)相比較。 若未知量總數(shù)超過獨立的平衡方程總數(shù)，則問題是若未知量總數(shù)超過獨立的平衡方程總數(shù)，則問題是超超靜定靜定的。的。 若未知量總數(shù)小于獨立的平衡方程總數(shù)，則系若未

15、知量總數(shù)小于獨立的平衡方程總數(shù)，則系統(tǒng)可能統(tǒng)可能不平衡，而若計算表明，所有的平衡方程都能滿足，則說不平衡，而若計算表明，所有的平衡方程都能滿足，則說明系統(tǒng)處于平衡，但題給的條件有些是多余的或系統(tǒng)的結(jié)明系統(tǒng)處于平衡，但題給的條件有些是多余的或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)固的。構(gòu)是不穩(wěn)固的。 若未知量總數(shù)正好等于獨立的平衡方程總數(shù)，則問題若未知量總數(shù)正好等于獨立的平衡方程總數(shù)，則問題是是靜定靜定的。的。4-3 物體系統(tǒng)的平衡注意：注意： (1) 在總計獨立的平衡方程數(shù)時，應(yīng)分別考慮系統(tǒng)中每在總計獨立的平衡方程數(shù)時，應(yīng)分別考慮系統(tǒng)中每一個物體，而系統(tǒng)的整體則不應(yīng)再加考慮。因為系統(tǒng)中每一個物體，而系統(tǒng)的整體則不應(yīng)

16、再加考慮。因為系統(tǒng)中每一個物體既已處于平衡，整個系統(tǒng)當(dāng)然處于平衡，其平衡一個物體既已處于平衡，整個系統(tǒng)當(dāng)然處于平衡，其平衡方程可由各個物體的平衡方程推出，因而就不獨立了。方程可由各個物體的平衡方程推出，因而就不獨立了。 (2) 在求解物體系的平衡問題時，不僅要研究在求解物體系的平衡問題時，不僅要研究整體整體，還，還要研究要研究局部局部個體，才能使問題得到解決。應(yīng)該從未知量較個體，才能使問題得到解決。應(yīng)該從未知量較少或未知量數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)的受力圖開始，逐步少或未知量數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)的受力圖開始，逐步求解。求解。4-3 物體系統(tǒng)的平衡例例3 3：求圖示多跨靜定梁的支座約束力。梁重及摩

17、擦均不：求圖示多跨靜定梁的支座約束力。梁重及摩擦均不計。計。分析：未知量分析：未知量9 個，個，5個支座約束力，個支座約束力，C、 E 處鉸鏈約束處鉸鏈約束力各力各2 個，共個，共9 個未知量?？紤]個未知量。考慮3個梁的平衡，共有個梁的平衡，共有9 個獨個獨立的平衡方程。所以系統(tǒng)是立的平衡方程。所以系統(tǒng)是靜定靜定的。的。4-3 物體系統(tǒng)的平衡0,0.xExFF由對稱關(guān)系得：由對稱關(guān)系得：1(2 4.5)kN4.5 kN( ).2EyGFF(2) 研究研究CE 梁梁00,0 xC xE xC xE xFFFFF解：解：(1) 研究研究EG梁梁4-3 物體系統(tǒng)的平衡( )0 , 4.5 10 26

18、0 10.44 kNCDEyDMFFF F0 , 100 4.06 kNyC yDE yC yFFFFF(3) 研究研究AC梁梁0 , 0 0 xA xC xC xA xFFFFF( )0 , 620 37.50 15.08 kNABC yBMFFF F0 , 200 8.98 kNyA yBC yA yFFFFF4-3 物體系統(tǒng)的平衡例例7：已知：已知：OA=R, AB= l , 當(dāng)當(dāng)OA水平時，沖壓力為水平時，沖壓力為P時，時，求：求：M=？O點的約束反力？點的約束反力？AB桿內(nèi)力？桿內(nèi)力？沖頭給導(dǎo)沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力？軌的側(cè)壓力？0 , sin0iBXNS由0 , cos0iBYPS, t

19、ancosBPSNP解：研究解：研究B4-3 物體系統(tǒng)的平衡()0OiMFcos0ASRM0 xiF sin0OAXS0yiFcos0AOSYMPROYP tanOXP 負(fù)號表示力的方向與圖中所設(shè)方向相反負(fù)號表示力的方向與圖中所設(shè)方向相反再研究輪再研究輪O4-3 物體系統(tǒng)的平衡例例5 5：圖示三鉸拱上，作用著均勻分布于左半跨內(nèi)的鉛直荷：圖示三鉸拱上，作用著均勻分布于左半跨內(nèi)的鉛直荷載，其集度為載，其集度為q q ( (kN/mkN/m),),拱拱重及摩擦均不計。求鉸鏈重及摩擦均不計。求鉸鏈A A、B B處處的約束力。的約束力。4-3 物體系統(tǒng)的平衡解：解：(1) 研究整體其受力如圖所示。研究整

20、體其受力如圖所示。yy()030243kN ().8BAAMllFlqq lF F( )002 4kN ().8AB yB yMllFlqq lF F4-3 物體系統(tǒng)的平衡00.xA xB xA xB xFFFFF(2) (2) 研究研究ACAC，并畫其受力圖。并畫其受力圖。22( )0310,8 224kN(),16kN().16CA xA xB xMlq l lFhqlq lFhq lFh F4-3 物體系統(tǒng)的平衡 前幾章我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之前幾章我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存間的摩擦，事實上

21、完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。對于摩擦不是主要影響因素的問題，不考慮摩擦是可在有摩擦。對于摩擦不是主要影響因素的問題，不考慮摩擦是可以的。但是，對于摩擦是主要影響因素的問題，摩擦就非考慮不以的。但是，對于摩擦是主要影響因素的問題，摩擦就非考慮不可了。例如：重力壩就是靠摩擦阻止它向下游滑動；又如閘門，可了。例如：重力壩就是靠摩擦阻止它向下游滑動；又如閘門，如果事先未考慮摩擦，那么，洪水來時要開閘門放水，但閘門卻如果事先未考慮摩擦，那么，洪水來時要開閘門放水，但閘門卻提不起來，后果就不堪設(shè)想。提不起來，后果就不堪設(shè)想。 4-4 摩擦1.什么是摩擦：什么是摩擦： 當(dāng)兩物體接觸處有

22、相對滑動或相對滑動趨勢時，在接觸當(dāng)兩物體接觸處有相對滑動或相對滑動趨勢時，在接觸處的公切面內(nèi)受到的阻礙，這種現(xiàn)象稱為滑動摩擦。處的公切面內(nèi)受到的阻礙，這種現(xiàn)象稱為滑動摩擦。 當(dāng)兩物體有相對滾動或相對滾動趨勢時，物體間產(chǎn)生的當(dāng)兩物體有相對滾動或相對滾動趨勢時，物體間產(chǎn)生的對滾動的阻礙，就稱為滾動摩擦。如車輪在地面上的滾動就對滾動的阻礙，就稱為滾動摩擦。如車輪在地面上的滾動就受到滾動摩擦。受到滾動摩擦。2.摩擦在工程中的重要性摩擦在工程中的重要性 穩(wěn)定：如重力壩依靠摩擦而不使其在水壓力的作用下滑穩(wěn)定：如重力壩依靠摩擦而不使其在水壓力的作用下滑動。動。4-4 摩擦摩擦摩擦滑動摩擦滑動摩擦滾動摩擦滾動

23、摩擦靜靜滑動摩擦、動滑動摩擦滑動摩擦、動滑動摩擦干干摩擦、濕摩擦摩擦、濕摩擦3.摩擦分類摩擦分類定義：當(dāng)兩物體接觸處有相對滑動趨勢時，其接觸面定義：當(dāng)兩物體接觸處有相對滑動趨勢時，其接觸面 產(chǎn)生阻止物體運(yùn)動的力。產(chǎn)生阻止物體運(yùn)動的力。 （ 就是接觸面對物體作用的切向約束反力）就是接觸面對物體作用的切向約束反力）1. 靜滑動摩擦力靜滑動摩擦力特征：特征： 當(dāng)當(dāng)P較小時，物體處于靜止平衡，由平衡方程得：較小時，物體處于靜止平衡，由平衡方程得：F=P，P，F(xiàn)。0FFmax當(dāng)當(dāng)P增大到某一數(shù)值時，物體處于將動但還未增大到某一數(shù)值時，物體處于將動但還未動的狀態(tài)，稱為臨界平衡狀態(tài)，此時摩擦力動的狀態(tài)，稱為

24、臨界平衡狀態(tài)，此時摩擦力達(dá)到最大值達(dá)到最大值Fmax。方向：與物體相對滑動趨勢方向相反方向：與物體相對滑動趨勢方向相反一、滑動摩擦一、滑動摩擦4-4 摩擦2、靜摩擦定律（又稱庫侖定律）：、靜摩擦定律（又稱庫侖定律）：fs 靜滑動摩擦系數(shù)（只與材料和表面情況有關(guān)，與接靜滑動摩擦系數(shù)（只與材料和表面情況有關(guān)，與接觸面積大小無關(guān)）。觸面積大小無關(guān)）。FN正壓力正壓力靜摩擦力的最大值與接觸面法向反力成正比，即靜摩擦力的最大值與接觸面法向反力成正比，即 所以增大摩擦力的途徑為：所以增大摩擦力的途徑為：加大正壓力加大正壓力FN 加大摩擦系數(shù)加大摩擦系數(shù) fs maxsNFf F3、動滑動摩擦力、動滑動摩擦力NFf Ff動滑動摩擦系數(shù)動滑動摩擦系數(shù)4-4 摩擦1、摩擦角：、摩擦角：全約束反力：法向反力與靜摩擦力的合力全約束反力：法向反力與靜摩擦力的合力R。摩擦角摩擦角：當(dāng)摩擦力達(dá)到最大值：當(dāng)摩擦力達(dá)到最大值Fmax時其全約束時其全約束反力與法線的夾角反力與法線的夾角 。二、摩擦角和自鎖二、摩擦角和自鎖即摩擦角的正切等于靜滑動摩擦系數(shù)。摩擦角也是表即摩擦角的正切等于靜滑動摩擦系數(shù)。摩擦角也是表示材料摩擦性質(zhì)的物理量。示材料摩擦性質(zhì)的物理量。 maxtansNsNNFf FfFF4-4 摩擦摩擦錐：摩擦錐：如物體間的摩擦系數(shù)沿各個方向都相同，則摩擦錐是如物