三角形中線和角平分線在解題中的應(yīng)用整理八種方法

1、 (15年新課標(biāo)2文科)ABC中D是BC上的點(diǎn)，D平分BA.BD=2DC. sinB 求 sinC (II)若BAC60o，求B. 重點(diǎn)結(jié)論：角平分線性質(zhì)： (1)平分角 (2)到角兩邊距離相等 (3)線段成比率 中點(diǎn)性質(zhì)與結(jié)論： (1)平分線段； (2)向量結(jié)論； (3)兩個小三角形面積相等。 題目解法搜集： :兩邊及夾角，利用余弦定理求第三邊，然后在小三角形中求解;文科: 理科: ABC ABC 解三角形題目的思考 中，D是BC的中點(diǎn)，若AB=4,AC=1,中，D在BC上，AD平分/BAC,若 /BAC=60 AB=3,AC=1,/BAC=60 AD= 常規(guī)解法及題根： (15年新課標(biāo)面積

2、的2倍。 ,sinB (I)求; sinC 2理科)？ABC中，D是BC上的點(diǎn), AD平分，BAC,?ABD是？ADC (n)若AD=1, 2 DC=12求BD和AC的長. 解法1(方程思想) 若在ADC中，設(shè)AC=m, 則16 2 =x 2Tx 或3石 ，解得x=44 在ABC中，D在BC上，AD平分/BAC,若AB=3,AC=1,/BAC=60,貝UAD=解法評價：好想，但計(jì)算較多，且最終無法取舍兩根，需要依靠圖片的準(zhǔn)確性舍棄一個解。 解法2（余弦定理靈活使用）：兩邊及夾角，利用余弦定理求第三邊，然后在小三角形中求解； 在ABC中，D在BC上，AD平分/BAC,若AB=3,AC=1,/BA

3、C=60,貝UAD= 解：在ABC中，BC2=AB2+AC2-2ABgACeposBAC=7,則BC=； ABBD3、.7.7. 因?yàn)锳D平分/BAC,則ACDC,所以BD=4,DC=4； （三邊求角）/, 2+RC2AC232+、.72-1251， AB+BC-AC 在ABC中，cosB=2ABgBC=23=2. 在ABD中， AD2=32+也：23至527 AD2=AB2+BD2-2ABgBDgposB=442=16； 3.3 所以AD=4。 在4ABD中，設(shè) 32x2 AB 372 4 23x x= 因?yàn)锳D平分/BAC,則AC AD=x,禾1J用 r-22 解：在ABC中，BC=AB

4、解法評價：突出余弦定理兩大運(yùn)用，兩邊及夾角，利用余弦定理求第三邊和三邊求角，訓(xùn)練 同一個角在不同三角形中求解。 解法3(坐標(biāo)法)：在AABC中，D在BC上，AD平分/BAC，若AB=3,AC=1,/BAC=60則AD=; 解：把ABC放到坐標(biāo)系，A放到坐標(biāo)原點(diǎn)， 3311DFCD C(1,0),B(2,2),其中EGCB 3；3 所以DE=DF=8，所以AD=2DE= 解法評價： 在聽課好幾次聽到老師講坐標(biāo)法， 之后，解題思路和角平分線到角兩邊距離就可以使用。解法4（面積法）在4ABC中，D在BC上，AD平分/BAC,若AB=3,AC=1，/BAC=60 貝UAD= 解.SABCSACDSAB

5、D 正弦定理的面積公式可得 11一 ABgACsinAADgACsinDAC 22 1 -ADgABsinBAD 11 31sin603ADsin30 得22 1 1ADsin30 2 3、,3 ,秒解AD=4 解法5（向量法）在4ABC中，D在BC上，AD 平分/BAC,若AB=3,AC=1,/BAC=60 貝UAD= 解：由 ABBD膽 AD ACDC得BD：DC=3:1,所以 1uuur-AB4 uuir2 AD 1uuu23uiuruuuurQuuur2 AB-ABgACAC16816 uuur2 27 16 3.3 則AD=4 解法評價：此法屬于通法，中線和角平分線有類似結(jié)論,接使用

6、公式，無需求解復(fù)雜方程，實(shí)屬考試必備方法。 可以解決一類題型，而且計(jì)算中直 方法六（構(gòu)造法）：在ABC中，D在BC上，AD平分/BAC，若AB=3,AC=1,/BAC=60 貝UAD= 解：過B做AC的平行線交AD的延長線于點(diǎn)E,則ABD為等腰三角形,在等月ABD中，AB=EB=3,/E=ZBAD=30,解得 ADCDAC1 AE=33ACD:EBDDEBDAB3 ,， AD1 33 所以AE4,得AD=4 解法評價：此法特別巧妙，偏向于喜歡幾何證明的學(xué)生，特別是喜歡三角形相似, 定理證明的基本思路就和此做法比較相似，此法對于角平分線的題目另辟新徑。 角平分線 解法7（正三角形法）在4ABC中

7、，D在BC上，AD平分/BAC, o 若AB=3,AC=1,/BAC=60,貝UAD= 解：構(gòu)造正三角形ABE,過A作BE平行線交BC延長線于H。 /BAC=60 解：過C做AD平行線交BA延長線于點(diǎn) E。 在等月ACE中（角平分線加平行線必出等腰） AE=AC=1,/EAC=120。,所以CE=向。 ADAB3 3.3 CEBE4,AD=4o 解法9（極坐標(biāo)法）在ABC中，D在BC上，AD 平分/BAC,若AB=3,AC=1,/BAC=60,則 AD= 解：以點(diǎn)A為極點(diǎn)，AB為極軸，則C點(diǎn)極坐標(biāo)為 (3,3),點(diǎn)B(1,0),BC的直角坐標(biāo)為B(1,0) 3W3 C（22）,kBC3J3,BC直角坐標(biāo)系方程為 y=3百（x-1），所以極坐標(biāo)方程為3近c(diǎn)ossin1,當(dāng)6時，D點(diǎn)極坐標(biāo)為（ 1 _3.3cossin 6),所以AD= 33cossin 6=4 解法評價：此法對極坐標(biāo)要求較高，不過避開角平分線幾何性質(zhì)，只不過計(jì)算量不小。 為了使用AC:CE= 2, ACH:ECB； 1 -BE 所以AH=BG=2，所以 AD= LAG 2 3.3 4 解法8（構(gòu)造等腰三角形）在4 ABC中, D在BC上,AD平分/BAC,若AB=3,AC=1, 解法10(參數(shù)方程)：在4A