關(guān)于分式遞推數(shù)列的若干的研究

1、 目 錄摘要緒論前言符號(hào)約定根本概念常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列通項(xiàng)公式一特征根方法不動(dòng)點(diǎn)方法矩陣方法主要性質(zhì)有窮數(shù)列與無窮數(shù)列周期性單調(diào)性極限性質(zhì)常系數(shù)一階高次分式遞推數(shù)列可化為常系數(shù)一階高次等冪比型的分式遞推數(shù)列一常系數(shù)一階二次等冪比型常系數(shù)一階三次等冪比型常系數(shù)一階次等冪比型一可化為等冪比型的分式遞推數(shù)列的求解具有三角函數(shù)倍和角展開式特征的次分式遞推數(shù)列正切和角展開式型正余切倍角展開式型其它倍角展開式應(yīng)用舉例具有雙曲函數(shù)倍和角展開式特征的次分式遞推數(shù)列雙曲正切和角展開式型雙曲正余切倍角展開式型其它雙曲倍角展開式應(yīng)用舉例常系數(shù)高階高次分式遞推數(shù)列可化為常系數(shù)階線性連和型的分式遞推數(shù)列常系數(shù)階

2、線性連和型常系數(shù)階線性連和型可化為常系數(shù)階線性連積型的分式遞推數(shù)列常系數(shù)二階線性連積型常系數(shù)階線性連積型可化為常系數(shù)階線性冪積型的分式遞推數(shù)列常系數(shù)二階線性冪積型常系數(shù)階線性冪積型可化為冪積型的分式遞推數(shù)列的求解常系數(shù)高階高次分式遞推數(shù)列應(yīng)用舉例總結(jié)與展望參考文獻(xiàn)致謝四四四四刪 關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究專業(yè)名稱課程與教學(xué)論 申請(qǐng)者姓名石巖導(dǎo)師姓名吳康摘要本文對(duì)分式遞推數(shù)列進(jìn)行了假設(shè)干研究主要成果有找到了連和型連積型冪積型三類可求解的任意高階高次分式遞推數(shù)列提出了一些解法上的思路和猜測(cè)而且編擬了相關(guān)的題目提供了三類可求解的常系數(shù)一階高次分式遞推數(shù)列及其解法并通過新定義的類三角函數(shù)和類雙曲函數(shù)

3、對(duì)初始值及相關(guān)系數(shù)是復(fù)數(shù)的情形給出了解決方法系統(tǒng)總結(jié)了常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式及其主要性質(zhì)有窮數(shù)列與無窮數(shù)列周期性單調(diào)性極限性質(zhì)并在單調(diào)性和極限性質(zhì)方面提出了新的見解本文的研究成果豐富了分式遞推數(shù)列的理論內(nèi)容為編擬分式遞推數(shù)列的相關(guān)題目提供了依據(jù)與參考也為進(jìn)一步研究分式遞推數(shù)列提供了一些新的思路與方向關(guān)鍵詞分式遞推數(shù)列高階高次分式遞推數(shù)列等冪比連和型連積型冪積型 弛 曲 關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究緒論前言數(shù)列是重要的數(shù)學(xué)知識(shí)傳統(tǒng)的等差等比數(shù)列是初等數(shù)學(xué)中的核心內(nèi)容之一從無窮數(shù)列到數(shù)列極限再到函數(shù)極限從數(shù)列求和到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)再到數(shù)列的生成函數(shù)這些都說明了數(shù)列是連接離散與連續(xù)的紐帶溝通初

4、等與高等的橋梁遞推關(guān)系作為確定數(shù)列的一種重要方式一直受到人們的關(guān)注如何通過數(shù)列的前幾項(xiàng)及遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式成為大家熱衷討論的課題遞推數(shù)列問題如今對(duì)于常系數(shù)線性齊次和假設(shè)干非齊次遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式已經(jīng)有了一般的求解方法而對(duì)于其它類型的遞推數(shù)列由于種類繁多人們暫時(shí)都只是研究它們中的一些特殊類型腳筆者對(duì)分式遞推數(shù)列非常感興趣查閱此類遞推數(shù)列的相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)對(duì)于常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)已有很多研究成果兒劓而對(duì)高階高次分式遞推數(shù)列的研究還沒有形成系統(tǒng)的理論從研究方法上看主要是將其轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列或常系數(shù)高階線性齊次遞推數(shù)列等已有方法求解的數(shù)列不過可求解的類型特征不夠明顯種類也并不多

5、內(nèi)容是有待充實(shí)的那么什么類型的分式遞推數(shù)列是可求解的如何求解求解出的分式遞推數(shù)列有什么性質(zhì)如何運(yùn)用這些性質(zhì)來解決問題這一系列的問題是非常值得思考和研究的帶著這些問題筆者對(duì)分式遞推數(shù)列進(jìn)行假設(shè)干研究本文的主要工作是對(duì)常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列已有的研究成果進(jìn)行歸納總結(jié)并提出了新的見解同時(shí)找到了可求解的一階高次高階高次分式遞推數(shù)列的假設(shè)干類型以及相應(yīng)的解法本文的這些成果豐富了分式遞推數(shù)列的理論內(nèi)容為編擬分式遞推數(shù)列的相關(guān)題目提供了依據(jù)與參考也為進(jìn)一步研究分式遞推數(shù)列提供了一些新的思路和方向符號(hào)約定復(fù)數(shù)集實(shí)數(shù)集定義域?yàn)榈臄?shù)列柑虛數(shù)集定義域?yàn)榈臄?shù)列非負(fù)整數(shù)集屆整數(shù)集定義域?yàn)榈臄?shù)列正整數(shù)集苤三坌壅望燕墼

6、型箜董王堡壅一根本概念本文分別用武表示復(fù)數(shù)集實(shí)數(shù)集虛數(shù)集非負(fù)整數(shù)集整數(shù)集正整數(shù)集以下的定義是筆者參考相關(guān)文獻(xiàn)重新整理歸納再加以定義的定義嘲按照一定次序排成的一列數(shù)稱為數(shù)列數(shù)列是一類特殊的函數(shù)其定義域用表示那么有如下四種形式扣以墨一一一本文只研究前兩種形式而且是時(shí)的情況即和一約定當(dāng)時(shí)數(shù)列稱為有窮數(shù)列或有限數(shù)列可以寫成口口簡(jiǎn)記為屆當(dāng)時(shí)數(shù)列稱為無窮數(shù)列或無限數(shù)列可以寫成口口口簡(jiǎn)記為蒯定義瞪數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)第一個(gè)數(shù)稱為首項(xiàng)口稱為通項(xiàng)在本文中為首項(xiàng)為第以項(xiàng)刀稱為標(biāo)數(shù)定義域即為標(biāo)數(shù)的集合定義伽假設(shè)數(shù)列柑從第七項(xiàng)起每一項(xiàng)都滿足關(guān)系式七足口口礎(chǔ)口¨那么稱式為數(shù)列吒柑所滿足的一個(gè)七階遞推關(guān)

7、系式其中瓴屯以為定義在上的七元函數(shù)尼稱為階數(shù)口口一稱為初始值關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究定義鯽定義在上的七元函數(shù)廠屯毛和七個(gè)常數(shù)口口從開始由遞推關(guān)系式 巳吒砌七按照順序依次計(jì)算出直到存在某一正整數(shù)苫七一使得但口硭那么稱口峨是由和生成的數(shù)列其定義域?yàn)橐环衲敲磳?duì)任意的正整數(shù)萬苫七那么稱口例是由和生成的數(shù)列其定義域?yàn)橐欢x鯽由初始值和遞推關(guān)系式生成的數(shù)列口榴稱為七階遞推數(shù)列約定本文中出現(xiàn)的所有口與彬口之間的遞推關(guān)系式都滿足條件玎苫七咒七后文將不再標(biāo)記其中數(shù)列口村的定義域是由初始值和遞推關(guān)系式?jīng)Q定的說明有時(shí)遞推關(guān)系式以隱函數(shù)的形式給出即與吒吒之間的關(guān)系由一個(gè)方程妒口一一七一給出其中為復(fù)數(shù)域上的元函數(shù)由

8、式確定了是吼的函數(shù)本文只研究可化為顯函數(shù)形式的遞推關(guān)系定義假設(shè)在數(shù)列吼柑中通項(xiàng)與標(biāo)數(shù)具有如下的函數(shù)關(guān)系一其中為復(fù)數(shù)域上的一元函數(shù)那么式稱為數(shù)列口的通項(xiàng)公式函數(shù)稱為該數(shù)列的對(duì)應(yīng)函數(shù)定義稱由 及遞推關(guān)系式吒畿刪關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究生成的數(shù)列楫為階次分式遞推數(shù)列其中瓴屯政和屯五都是關(guān)于吒的復(fù)系數(shù)七元多項(xiàng)式的次數(shù)的次數(shù)苫且與的最大公因式為一所說明不可能為零多項(xiàng)式否那么就與與的最大公因式為一矛盾關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列在分式遞推數(shù)列中最簡(jiǎn)單最根本的一類就是常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列在其通項(xiàng)公式和主要性質(zhì)有窮數(shù)列與無窮數(shù)列周期性單調(diào)性極限等方面已經(jīng)有了很多成果本節(jié)將對(duì)

9、這些成果進(jìn)行歸納總結(jié)并在判斷此類數(shù)列的單調(diào)性和求極限方法方面有了一些新的成果定義跚舊稱由及遞推關(guān)系式業(yè) 吼上生成的數(shù)列柑為常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列其中系數(shù)和初始值滿足條件黿為復(fù)常數(shù)且一旦妒 約定后文中出現(xiàn)的矩陣二三都用膨來表示出現(xiàn)式時(shí)在無特殊說明的情況下其系數(shù)及初始值總滿足條件定義塒稱方程工旦竺 工一 肛留為式的特征方程其根稱為式的特征根或不動(dòng)點(diǎn)說明化簡(jiǎn)式得國(guó)一一 式與式等價(jià)即也滿足乒一旦否那么對(duì)于式當(dāng)一旦時(shí)由一爭(zhēng)一一號(hào)一得礦一所以阻與阻矛盾因此口式也可稱為式的特征方程通項(xiàng)公式關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有很多種如特征根方法矩陣方法生成函數(shù)法迭代法累加法累乘法本節(jié)主要論述

10、了前兩種方法用于求解常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式是后面研究高階高次分式遞推數(shù)列的根底特征根方法不動(dòng)點(diǎn)方法定理啪設(shè)口是由及式生成的數(shù)列式的特征根為口那么當(dāng)口或時(shí)數(shù)列吒矧?yàn)槌?shù)列當(dāng)口時(shí)假設(shè)咄數(shù)列焉臘蛾孔齜萬擻呻七黼項(xiàng)公式為怕馴口竺亟二壁塵二旦壁壁魚壘二竺立二翌竺伽一一口廠口一 再匯瓦麗一叩假設(shè)口峨那么數(shù)列去卜等差飆斧差為焉數(shù)列柑的通項(xiàng)公式為¨翥揣舊矩陣方法運(yùn)用矩陣的特征值理論及相似矩陣的方法也可以求常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式定義忉嗍稱為式的系數(shù)矩陣記三耋引理設(shè)凡九是矩陣二三的兩個(gè)特征值即為陋曩的兩個(gè)根其中為二階單位矩陣關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究二如假設(shè)如那么¨

11、;其中假設(shè)九貝批其中嵋口二評(píng)注對(duì)于特殊的二階矩陣二了的一次冪的計(jì)算文中還介紹了利用三角函數(shù)換元法令去去將口一變形為 麗由理知口口定理口刪由口及式生成的數(shù)列口危的通項(xiàng)公式為口盟見吼 其中仨州廣評(píng)注和式中數(shù)列的定義域一還是一所生成的數(shù)列是無窮數(shù)列還是有窮數(shù)列如果是有窮數(shù)列總共有多少項(xiàng)這些都是由遞推關(guān)系式及初始值決定的關(guān)于常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列的定義域的具體確定方法將會(huì)在節(jié)中得到解答例己知口吾及歷求數(shù)列粗的通項(xiàng)公式解法一特征根方法蟣而她吐鏟黼觸阿得囂囂叫故等刪巧百剁解法二钷陣方法關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究三的特征值為九根據(jù)引理取一二三那么吾二故 十二斗根據(jù)定理得一一刪吒卷囂舞一籌礦口礦評(píng)注比擬

12、兩種方法解法一相對(duì)容易一些觀察通項(xiàng)公式可知對(duì)任意的萬分母都不為零故該數(shù)列的定義域?yàn)槔患斑杆軈睬髷?shù)列眉的通項(xiàng)公式解法一特征根方法由塑得毛屯一根據(jù)定理可得匕一療故川幺霉一萬解法二矩陣方法三驢特征值為一九根刪理取鴆卦那么一崛廳刀根據(jù)定理得力 一露石一而評(píng)注比擬兩種方法解法一相對(duì)容易一些觀察通項(xiàng)公式可知使得分母為零的最小的非負(fù)正整數(shù)是故該數(shù)列的定義域?yàn)橹饕再|(zhì)要研究數(shù)列的周期性單調(diào)性極限等性質(zhì)需要確定該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)因此本節(jié)的首要任務(wù)就是確定該數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列有窮數(shù)列與無窮數(shù)列關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究文中曾舉反例說明滿足遞推關(guān)系式吒竺越的無窮數(shù)列不十一定存在年文中給出了滿足上述遞推關(guān)系式的

13、無窮數(shù)列存在的充要條件同時(shí)也找到了確定有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)的方法但是其中涉及到的特征方程與本文定義有所不同容易讓人誤解故本文將其結(jié)論稍做修改得到了定理和推論說明由定義可知當(dāng)一時(shí)橫是無窮數(shù)列一時(shí)村是項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列定理設(shè)柑是由及式生成的數(shù)列式的特征根為假設(shè)或聲貝假設(shè)一口那么當(dāng)盧時(shí)營(yíng)攀甓樹當(dāng)口一聲時(shí)靜方程璺野魚罷的解譬一推論訂設(shè)柑是由及式生成的數(shù)列式的特征根為口盧假設(shè)眉為有窮數(shù)列貝一口且當(dāng)黑一霉時(shí)數(shù)列吒柑共有項(xiàng)一口一當(dāng)口盧方程掣魚罷有最非負(fù)整數(shù)解時(shí)數(shù)列共有項(xiàng)§ 一§評(píng)注除了文中給出的判斷方法筆者發(fā)現(xiàn)其實(shí)運(yùn)用定理所得到的通項(xiàng)公式可以直接討論這個(gè)問題所得結(jié)論如下假設(shè)口或盧那么假設(shè)口那么當(dāng)?shù)\

14、卜燾端帆 一 關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究一當(dāng)口一小一營(yíng)方程鎊一篇 的解斜 一這個(gè)結(jié)論與定理相比雖然形式復(fù)雜一些但本質(zhì)是一樣的而且在求出通項(xiàng)公式后更容易判斷該數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列如例和例周期性約定本文中的周期都是指最小正周期一周期表示周期為廠本小節(jié)中的數(shù)列滿足定理的條件即為無窮數(shù)列定理幻設(shè)矧是由口及瓦二鬲生成的無窮數(shù)列其特征方程國(guó)一的兩個(gè)根為口盧判別式為那么剜是卜周期數(shù)列兮露一口或多假設(shè)一口那么當(dāng)時(shí)口矧是周期數(shù)列營(yíng)此時(shí)周期為當(dāng)?時(shí)舒是周期數(shù)列營(yíng)砥一盧一芋其中且一七表示輻角此時(shí)周期為當(dāng)時(shí)感不是周期數(shù)列評(píng)注由定理通項(xiàng)公式的求法可知心為周期數(shù)列的充要條件是遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列的形

15、式后公比為或公差為由此即可證得定理定理警是由口及吒鬲生成的無窮數(shù)列那么吒矧是卜周期數(shù)列營(yíng)口而式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究是周期數(shù)列營(yíng)存在且一七期為及竺量蕓生成的無翩是一周期數(shù)列靜日一矧是一周期數(shù)列靜留吼感是一周期數(shù)列營(yíng)口矧是一周期數(shù)列兮當(dāng)廠七但七芒時(shí)口矧不是周期數(shù)列推論嗍設(shè)鼎是由口及吒鬲之生成的無窮數(shù)列假設(shè)口一畦三臣那么感不是周期數(shù)列 一評(píng)注定理給出了當(dāng)遞推關(guān)系式中的系數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列的周期情況所得結(jié)論涉及到其特征方程特征根判別式以及在判別式小于零時(shí)兩復(fù)數(shù)商的輻角定理那么將的取值范圍推廣到復(fù)數(shù)域而且可以直接根據(jù)和之間的關(guān)系式來判斷是否為周期數(shù)列比定坪更加適用例乏一瓦巧一那么數(shù)列柑

16、是否為周期數(shù)列假設(shè)是請(qǐng)求出周期假設(shè)不是請(qǐng)說明理由可知¨柑為一周一一筇 一分析根據(jù)定理由籌一而耐互關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究期數(shù)列倘假設(shè)由遞推關(guān)系式計(jì)算出口一口一口一一虧吩一一也可知道柑為一周期數(shù)列但是當(dāng)數(shù)列吒柑的周期很大或是非周期數(shù)列時(shí)通過計(jì)算前面幾項(xiàng)是不能解決問題的單調(diào)性 定義目假設(shè)數(shù)列柑的各項(xiàng)滿足關(guān)系式那么稱柑為單調(diào)遞增遞減數(shù)列簡(jiǎn)稱材遞增遞減遞增數(shù)列和遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列約定本文中的單調(diào)指嚴(yán)格單調(diào)槲簡(jiǎn)記為口塒茸簡(jiǎn)記為口撕已有文獻(xiàn)大多數(shù)都是通過遞推數(shù)列的遞推函數(shù)來研究數(shù)列的單調(diào)性的如文而筆者那么利用常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列的對(duì)應(yīng)函數(shù)來研究得出了定理同時(shí)根據(jù)文給出了定理用以說明

17、如何用遞推函數(shù)來判斷數(shù)列的單調(diào)性引理力假設(shè)數(shù)列吼柑的對(duì)應(yīng)函數(shù)在上單調(diào)遞增遞減那么數(shù)列君遞增遞減定理吒眉是由及磊生成的數(shù)列實(shí)數(shù)口盧為其特征根口之盧且口 當(dāng)口一毗設(shè)而并假設(shè)且一螈那么數(shù)列口柑遞增遞減假設(shè)那么數(shù)列口遞減遞增口加遞增遞減當(dāng)口時(shí)假設(shè)那么數(shù)列柑遞增遞減證明當(dāng)一聲時(shí)由定理得吒一氣三器筍其對(duì)應(yīng)函數(shù)為故減假設(shè)?那么一肛跏嘲御袖偶數(shù)時(shí)考察函齙鼢等剛有蜘幫由司知當(dāng)一一嘁即似時(shí)故一在上單調(diào)遞增遞減由引理知數(shù)到遞增遞減孫嘲臣刀為奇數(shù)時(shí)考察函數(shù)刪搿貝有橢眷等產(chǎn)馳式比照可知鄂一腎棚似城時(shí)故一在上單調(diào)遞減遞增由引理知數(shù)列口孫遞減遞增綜上所述假設(shè)且一嘁那么數(shù)列吒柑遞增遞減假設(shè)且似城那么數(shù)列口遞減遞增口擁遞增遞減

18、考察其對(duì)應(yīng)當(dāng)口聲時(shí)由定理可知一夏磊石弦而函數(shù)口瓦再而那么有橢際再而而麗關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究假設(shè)口那么?故在上單調(diào)遞增遞減由引理知數(shù)列吒村遞增遞減引理一實(shí)函數(shù)一嘗蘭留當(dāng)時(shí)函數(shù)在口口一里上單調(diào)遞增證明因?yàn)轶玫┤恢ザ┯煞幢壤瘮?shù)性質(zhì)可知當(dāng)口馬時(shí)函數(shù)在一里上單調(diào)遞增定理町設(shè)吒屜是由口及口一瓦以留生成的數(shù)列口聲為其特征根且盧假設(shè)吼柑的遞推函數(shù)三薏在夠調(diào)遞增在盧口上工在上?那么當(dāng)口時(shí)數(shù)列氣柑遞增當(dāng)口口時(shí)數(shù)列槲遞減證明當(dāng)聲口及時(shí)由得口即口口由于在盧上單調(diào)遞增所以口一廠一口即盧口口口重復(fù)上述過程可得口口口吒口故此時(shí)數(shù)列遞增當(dāng)口口時(shí)由得口即口口由于在妒上單調(diào)遞增所以口一廠口即口重復(fù)上述過程可得口口口

19、口故此時(shí)數(shù)列榴遞減評(píng)注在研究一個(gè)具體的此類遞推數(shù)列時(shí)可以先用引理判斷遞推函數(shù)的單調(diào)性再由定理去判斷數(shù)列吼魁的單調(diào)性由于單調(diào)性的研究涉關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究及到大小比擬因此一般不考慮虛數(shù)的情況例口一及吒絲必蕓請(qǐng)判斷數(shù)列吒柑的單調(diào)性分析由魚蕓得特征根為口一解法一根據(jù)定理由一幣一號(hào)一蔫一一得故數(shù)列吒稻單調(diào)遞增解法二根據(jù)引理該數(shù)列的遞推函數(shù)一等等一一主在卜上單調(diào)遞增由一一知廠在一上滿足在上滿足廠工根據(jù)定理當(dāng)口一一時(shí)數(shù)列糟單調(diào)遞增評(píng)注由上述兩種解法可以看出根據(jù)筆者得到的定理判斷數(shù)列的單調(diào)性更容易一些極限性質(zhì)要研究常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列的極限首先該數(shù)列應(yīng)為無窮數(shù)列因此約定本小節(jié)中的數(shù)列都滿足定理

20、的條件即為無窮數(shù)列查看已有的研究成果發(fā)現(xiàn)個(gè)別結(jié)論有不夠完整或者遺漏錯(cuò)漏的地方如文中的引理及定理都沒有討論兩個(gè)特征根相等的情況和初始值的情況而當(dāng)初始值為特征根時(shí)極限即為此特征根文中的命題在討論特征根相等時(shí)忽略了此時(shí)特征根即為蘭從而得出的是錯(cuò)誤的文中利用遞推函數(shù)的性質(zhì)研究遞推數(shù)列的極限方法也可以但是不能解決所有常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列的極限問題限于篇幅不再展開說明結(jié)合各種文獻(xiàn)及筆者的思考現(xiàn)總結(jié)出求常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列極限的方法三種一是先由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)再求極限二是由遞推關(guān)系式應(yīng)用極限存在準(zhǔn)那么兩邊夾準(zhǔn)那么單調(diào)有界原理證明極限存在再求極耐們?nèi)窍燃僭O(shè)極限存在再根據(jù)極限的定義及性質(zhì)求出極限根

21、據(jù)定理可以求出任意的常系數(shù)一階線性分式遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究定理設(shè)口耳利是由及囂生成的無窮數(shù)列口盧為其特征根設(shè)芒那么有一 盧口且口乒口當(dāng)口乒聲時(shí)艦屆不存在一口聲當(dāng)口盧時(shí)艦吒口盧證明當(dāng)口乒盧且口一口時(shí)由定理得口氣三鬈筍設(shè)一心口假設(shè) 貝 進(jìn)而一所以故一等吣假設(shè)腫刪臚進(jìn)而嬲專所以艦寺一故口一旦篡三孚一聲假設(shè)那么段一進(jìn)而一氣器婁篙篙易知數(shù)列吼為周期數(shù)列周期不等于故數(shù)列蹦不存在極限當(dāng)口一口時(shí)巳數(shù)列蒯為常數(shù)列故吒一口當(dāng)口時(shí)一聲數(shù)列剜為常數(shù)列故一盧肛且口盧口 一口所以當(dāng)口一時(shí)一屆 不存在口盧因?yàn)橛盅a(bǔ)充那么此極限必為栗一個(gè)特征根向給出遞推數(shù)列存在極限的必要性條件也是將文中的結(jié)論推廣到了

22、復(fù)數(shù)范圍定理陽假設(shè)數(shù)列吒槲滿足吒一廠一其中為上的一元連續(xù)函數(shù)那么蒯存在極限的必要條件是此極限為其特征方程廠的根證明假設(shè)數(shù)列感有極限設(shè)吒一口因?yàn)閺S為連續(xù)函數(shù)所以廠瓴一廠從而以一廠即口缸數(shù)列感的極限為其特征方程一的根例請(qǐng)判斷數(shù)列吒眉是有窮數(shù)列還是無口一吾及一口歷窮數(shù)列假設(shè)是有窮數(shù)列請(qǐng)求出項(xiàng)數(shù)假設(shè)是無窮數(shù)列再判斷該數(shù)列是否有極限有那么求出無那么說明理由即分析由筆得特征根為吣盧一一云方程掣一再萬三無非負(fù)整數(shù)解根據(jù)定理數(shù)列柑是無窮數(shù)列口一一三根據(jù)定理廠一 廠一一一×一土孤三故關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究常系數(shù)一階高次分式遞推數(shù)列定義婦口及遞推關(guān)系式一言舞專那么稱數(shù)列柑為常系數(shù)一階次分式遞推數(shù)列

23、其中薈薈喀一或不同時(shí)為零且的最大公因式為乒約定本節(jié)中出現(xiàn)的遞推關(guān)系式都滿足定義中的條件在第二章中已經(jīng)研究過常系數(shù)一階線性一分式遞推數(shù)列相比之下一般的一階高次所苫分式遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式很可能是沒有通法解決的那么哪些類型的一階高次分式遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式是可求解的如何求解這就是本節(jié)所要研究的內(nèi)容從數(shù)學(xué)高考嘲數(shù)學(xué)競(jìng)賽¨烈以及相關(guān)的一些文章九翻嘲嘲嘲中發(fā)現(xiàn)主要有兩種一類是可化為一階等冪比型的分式遞推數(shù)列另一類就是具有三角函數(shù)倍和角展開式特征的分式遞推數(shù)列筆者發(fā)現(xiàn)雙曲函數(shù)與三角函數(shù)關(guān)系密切也有類似的倍角展開式于是又找到了一類高次分式遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的解法同時(shí)考慮到三角函數(shù)與雙曲函數(shù)的定義域和值域

24、都在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的限制本文中還采用了另外兩種與三角函數(shù)和雙曲函數(shù)定義類似的函數(shù)類三角函數(shù)類雙曲函數(shù)對(duì)遞推關(guān)系式進(jìn)行換元使研究范圍推廣到了復(fù)數(shù)域可化為常系數(shù)一階次等冪比型的分式遞推數(shù)列定義由及遞推關(guān)系式雒生成的數(shù)列槲稱為常系數(shù)一階次等冪比數(shù)列定理矧?yàn)槌Ｏ禂?shù)一階歷次等冪比數(shù)列當(dāng)所一時(shí)甙即為等比數(shù)列故數(shù)列蒯的通項(xiàng)公式為一一似三等加四暑當(dāng)朋芑時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為一麗一乒的兩個(gè)不相等的根其中是所給遞推關(guān)系式中的系數(shù)常系數(shù)一階二次等冪比型類型一一籌辛一引其中糟定理嘲設(shè)口是方程一一的兩個(gè)不等的根氣柑是由口及一乏生成的數(shù)列那么數(shù)列柑的通項(xiàng)公式為組吒魯籌老等槲類型二堿皇等辛等圯其中焉加定理設(shè)口是方程一一的兩個(gè)不等的

25、根吒柑是由及一墅塾吐二塵生成的數(shù)列那么數(shù)列柑的通項(xiàng)公式為 糾一口一雩獸箬專筆籌一咒 盧口一一口口一口類型三葺鍺辛罨心其中萬關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究定理洲設(shè)口是方程工一一檔乒的兩個(gè)不等的根柑是由口及一鍺生成的數(shù)列那么數(shù)列柑的通項(xiàng)公式為組吒一篆焉等囈槲專一砟其中一蘭芻類型四一百溉定理嘲設(shè)吒柑是由口及一面生成的數(shù)列那么數(shù)君的通項(xiàng)公式為鏟萬瓦知以矧常系數(shù)一階三次等冪比型類型一一番籌凈一瓴其中小糾定理嘲設(shè)口夕是方程工一一的兩個(gè)不等的根似一佃乒生成的數(shù)列那么數(shù)列吼柑是由口及吼一五耋湯麗柑的通項(xiàng)公式為口一旦蘭三喜籌以類型二吒一石萬夏瓦忑石辛心淇中焉 一關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究定理設(shè)口是方程工一的兩個(gè)

26、不等的根舊是由口及吒一丟誓譬毛丟端生成的數(shù)列那么數(shù)列榴的通項(xiàng)公式為吒鼉?nèi)A虹墮拿鰹望刀酬口一口一口類韭等舞靜三 徹口二 號(hào)一包其中一器 一聲口一定理嘲設(shè)口是方程一的兩個(gè)不等的根眉是由口及巳絲差差主摯生成的數(shù)列那么數(shù)列吒柑的通項(xiàng)公式為口一麥丟芝三等一以類型四一孑麗概專一稚其中一百蘭芻定理嘲設(shè)柑是由口及一彳麗生成的數(shù)列那么數(shù)列槲的通項(xiàng)公式為萬哦珂釧常系數(shù)一階次等冪比型本小節(jié)將討論可化為常系數(shù)一階次等冪比型的分式遞推數(shù)列它包括了節(jié)的一和的情況定義稱一聲一口聲刀為關(guān)于口盧的刀級(jí)冪差函數(shù)關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究毗一焉等羚化簡(jiǎn)得醬四城中害鶴推論設(shè)口聲是方程工一一似一的兩個(gè)不等

27、的根假設(shè)吒柑是由口及口一砭耋瓦砑矛證 硒瀝生成的數(shù)列那么數(shù)列口的通項(xiàng)公式為塒吒等籍等等吒刪假設(shè)柑是由口及瓦礦葡砭湯瓦 諺酉瓦面生成的數(shù)列那么數(shù)列的通項(xiàng)公式為駕?塑窯建翌以刪一聲一口了口一說明為定理在的情況為定理在歷旦的情況定理 設(shè)柑是由口及做忉 竺肼鏟套二蜞霎一一盧式可化為階掀等冪比乳僻其中器關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究數(shù)列吒的通項(xiàng)公式為吒一其中一伽說明定理的證明方法同證明定理的方法一樣它們的結(jié)果從形式上講具有倒數(shù)關(guān)系推論設(shè)口盧是方程石一一似的兩個(gè)不等的根假設(shè)柑是由及 彳似口口彳口乞一口墨砰碡石磅了瓦石生成的數(shù)列那么數(shù)列觸的通項(xiàng)公式為口一麥?zhǔn)碇ヮ喝?hào)等一以定理設(shè)樹是由及一刁五百生成的數(shù)列那么數(shù)

28、列吒掃的通項(xiàng)公式為吒一萬知刊尼證明因?yàn)獒芤幻{彳一萬瓦麗 一萬瓦瓦廄那么雒酉南一一舢口令百畫所以萬畫根據(jù)定理 即萬畫 萬舢口礦化簡(jiǎn)得鏟萬缸利忍三可化為等冪比型的分式遞推數(shù)列的求解關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究定理定理分別給出了三種具有特殊形式的分式遞推數(shù)列它們的共同點(diǎn)是都可化為常系數(shù)一階次等冪比型在求解通項(xiàng)公式的過程中如果知道最后可以化成什么形式那么就可以直接應(yīng)用待定系數(shù)法如設(shè)口盧待定再進(jìn)行換元求解但是隨著次數(shù)的增加它們的形式越來越復(fù)雜很難看出它們的結(jié)構(gòu)特征那么如何進(jìn)行換元呢對(duì)于一般的一階高次分式遞推數(shù)列需要滿足什么條件才能化為一階等冪比型呢下面的定理將答復(fù)這個(gè)問題而定理給出的是二次的情況說明文中

29、給出了定理但是沒有詳細(xì)證明定理叫蚴 那么當(dāng)方程組設(shè)柑是由口及吒蓋篆麗石礦麗瓦石一面瓦 麗有兩個(gè)不同的根口夕一口盧時(shí)數(shù)列吒的通項(xiàng)公式為吒一醬其中年膩以糟證明由得阻一虹警藉舞生豎盟一了一口一 二一儲(chǔ)俎五瓦化簡(jiǎn)得因?yàn)榭跒榉匠探M的根所以口口口口瓴一凈一由得一一易知和式中的口項(xiàng)系數(shù)相同×一得一一化簡(jiǎn)得易知關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究和式中的常數(shù)項(xiàng)相同故吒一口一百再麗同理做盱盧一鑲辮方為二次等冪比型根除以埔再 年兩石般觚焉一習(xí)舶錚令一年刃¨韓叫肌一器四定理脅捌設(shè)以樹是由以一丟篆騫生成的常系數(shù)一階歷次分式遞推數(shù)列其中一薹礦一薹盔一且儼一或一一表示階導(dǎo)數(shù)那么當(dāng)方程組恰有兩個(gè)不同的根口盧乒口

30、盧時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為篙舊媾協(xié)精害羚特別地當(dāng)妒即時(shí)口一萬卅此時(shí)口蘭三喜等一肌廳吒紫吒芒萬函上悄例乏生成的數(shù)列求通設(shè)吒柑是由一及吒一五南項(xiàng)公式分析根據(jù)定理解一墓烏一丟烏得石一或那么遞推關(guān)系可化為勉 月一 礦一四南墨根據(jù)定酗得瓦一鼬蟣一萬 一 一此題也可以看成是定理在彳曰委時(shí)的情況例設(shè)口柑是由口及一鑰蹦嬸二求通項(xiàng)公式嘲分析文中用如下解法解特征方程一麓舄的根為蜘孚取±得世蝎此處為何只取±文中并沒有指出按照本文解法如下一 關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究缸缸缸解 得那么遞推關(guān)系可化為竺芝芒竺墨馬根工研二丙得± 那么遞推關(guān)系可化為竺芝墨咀與根吼 缸缸 缸刪一 礦一籍靛瓤箬 籌 口

31、一卜篤例設(shè)柑是由口一及吒一寶魯曼乏求通項(xiàng)公式一分析根據(jù)定理解 一得此方程組無解所以不能使用定理工一氣的方法故暫時(shí)不知道如何求解具有三角函數(shù)倍和角展開式特征的小次分式遞推數(shù)列本節(jié)主要研究具有三角函數(shù)倍和角展開式特征的苫次分式遞推數(shù)列主要利用了換元法因?yàn)槿呛瘮?shù)是定義在實(shí)數(shù)域上的因此當(dāng)初始值和遞推關(guān)系式中系數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)可用三角函數(shù)進(jìn)行換元當(dāng)初始值和遞推關(guān)系式中的系數(shù)為虛數(shù)時(shí)可用類三角函數(shù)換元約定類三角函數(shù)及后面的類雙曲函數(shù)中的自變量仍可稱為角定義稱一一旦茅一為類正弦函數(shù)為類余弦函數(shù)一生乒一一蘭±為類正切函數(shù)關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究面生±為類余切函數(shù)餞一七乒±為類正割

32、函數(shù)一與乒±石為類余割函數(shù)評(píng)注類三角函數(shù)可以認(rèn)為是復(fù)變函數(shù)中定義的復(fù)數(shù)域上的三角函數(shù)的另一種表達(dá)形式只要令定義中的工即得復(fù)數(shù)域上三角函數(shù)的定蚶定理類三角函數(shù)與三角函數(shù)有如下關(guān)系功 一一 證明思路利用節(jié)定義的類雙曲函數(shù)將類三角函數(shù)辛類雙曲函數(shù)號(hào)雙曲函數(shù)辛三角函數(shù)即可找到類三角函數(shù)與類三角函數(shù)的關(guān)系證明過程略定理類三角函數(shù)的一些性質(zhì)同角關(guān)系式 戧§餅一一 一 一一茗一 一一一倒數(shù)角關(guān)系式三一一三豇磊三一職積角展開式面一一一五羆囂平方角展開式一一一一一一關(guān)于分式遞推數(shù)列的假設(shè)干研究麗粵鰳一刪刪正切和角展開式型本小節(jié)將利用正切和角展開式采研冗一莢具碉特殊彤式明一彤線性分瓦逋推數(shù)列定理正切和角展開式型設(shè)柑是由及一篙曰為常數(shù)曰地±爭(zhēng)生成的數(shù)列那么當(dāng)口時(shí)數(shù)列口的通項(xiàng)公式為一鋤以口其中一當(dāng)口丑莨時(shí)數(shù)眉的通項(xiàng)公式為驢一而日麒中一等加證明乳胙毗令悟二等根據(jù)式口硒一 口由此遞