北師大版八年級數學下冊直角三角形----知識講解(提高)含答案解析

1、直角三角形一-知識講解（提高）責編：杜少波【學習目標】1 .掌握勾股定理的內容及證明方法、勾股定理的逆定理及其應用.理解原命題與其逆命題,原定理與其逆定理的概念及它們之間的關系.2 .能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題；能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形3 .能夠熟練地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其應用.【要點梳理】要點一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為222a, b ,斜邊長為c,那么a b c .要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系（2）利用勾股定理

2、，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目中已知線段的長可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的（3）理解勾股定理的一些變式：a2c2b2,b2c2a2,c2a b 2 2ab.（4）勾股數：滿足不定方程 x2 y2 z2的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以X、V、z為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數，對解題會很有幫助： 3、4、5; 5、12、13; 8、15、17; 7、24、25; 9、40、41 如果a、b、c是勾股數，當t為正整數時，以at、bt、ct為三角形的三邊長，此三角形 必為直角三角形. n2 1, 2n, n

3、2 1 ( n1,n是自然數）是直角三角形的三條邊長;82n2 2n,2n 1,2n2 2n 1 （ n是自然數）是直角三角形的三條邊長；m2 n2,m2 n2,2mn （m n,m、n是自然數）是直角三角形的三條邊長 .要點二、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中*詆才35=S+“二1屆,所以/ +加=/ .方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形圖（2）中牙海河mb=3=9-? + 4x，所以/ =層+J方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形Q榭皮aa吟”叫所以一.:,!.要點三、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊

4、長a, b, c ,滿足a2 b2c2,那么這個三角形是直角三角形要點詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直 角三角形.要點四、如何判定一個三角形是否是直角三角形（1） 首先確定最大邊（如 c）.（2） 驗證c2與a2 b2是否具有相等關系.若c2 a2 b2,則 ABC是/ C= 90。的22.2直角二角形；右 c a b ,則4 AB5是直角三角形.要點詮釋：當a2 b2 c2時，此三角形為鈍角三角形；當 a2 b2 c2時，此三角形為銳角三角形，其中c為三角形的最大邊.要點五、互逆

5、命題與互逆定理如果兩個命題的題設與結論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個叫原命題，則另一個叫做它的逆命題.如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理要點詮釋：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯誤；正確的命題我們稱為真命題，錯誤的命題我們稱它為假命題.一個定理是真命題，每一個定理不一定有逆定理，如果這個定理存在著逆定理，則一定是真命題要點六、直角三角形全等的判定（HL）在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡稱“斜邊、直角邊”或“ HL”).這個判定方法

6、是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備 要點詮釋：(1) “HL從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角 形的形狀和大小就確定了 .(2)判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS ASA AAS SSS HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.(3)應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件， 書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt” .【典型例題】類型一、勾股定理C1、(2016春?盧龍縣期末)已知兩條線段的長為3cm和4cm,當第三條線段的長為 cm 時，這三條線段能組成一個直

7、角三角形.【思路點撥】本題從邊的方面考查三角形形成的條件，涉及分類討論的思考方法，即：由于“兩邊長分別為3和5,要使這個三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要討論第三邊 是直角邊和斜邊的情形.【答案】5或折.【解析】解：當第三邊是直角邊時，根據勾股定理，第三邊的長=ym=5,三角形的邊長分別為 3, 4, 5能構成三角形；當第三邊是斜邊時，根據勾股定理，第三邊的長=“ - 32s，三角形的邊長分別為 3, 丁，喉亦能構成三角形；綜合以上兩種情況，第三邊的長應為5或市,故答案為5或.【總結升華】本題考查了勾股定理的逆定理，解題時注意三角形形成的條件：任意兩邊之和第三邊，任意兩邊之差第三邊，當題

8、目指代不明時， 一定要分情況討論，把符合條件的保留下來，不符合的舍去.臣2、(2015春?黔南州期末)長方形紙片ABCM, AD=4cm AB=10cm按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF,求DE的長.I I |I I IC【思路點撥】 在折疊的過程中，BE=DE從而設BE即可表示AE.在直角三角形 ADE中，根 據勾股定理列方程即可求解.【答案與解析】解：設 DE=xcm 貝U BE=DE=x AE=AB- BE=10- x, ADE中，DEAE;+Ad,即 x2= (10 x) 2+16. x= ( cm). 5答：DE的長為上Im.【總結升華】注意此類題中，要能夠發(fā)現(xiàn)折疊的對應線

9、段相等.類型二、勾股定理的逆定理ADC33、如圖所示，四邊形 ABC邛,ABAD, AB= 2, AD= 2萬,CD= 3, BC= 5,求 的度數.解： ABXAD,/A= 90 ,在 RtABD中，BD2 AB2 AD222 (273)2 16 .BD =4,1 AB - BD ,可知/ ADB= 30 , 2在4BDC中，BD2 CD216 32 25 , BC252 25 ,222BD CD BC ,/BDC= 90 ,/ADC= / ADB吆 BDC= 30 +90 =120 .【總結升華】 利用勾股定理的逆定理時，條件是三角形的三邊長，結論是直角三角形，即由 邊的條件得到角的結論，

10、所以在幾何題中需要進行邊角的轉換時要聯(lián)想勾股定理的逆定理. 舉一反三：【高清課堂勾股定理逆定理例4】【變式1】4ABC三邊a, b, c滿足a2b2 c2 338 10a 24b 26c,貝 SABG(A.銳角三角形 B.鈍角三角形【答案】D;22提不：由題息 a 5 b 12C.等腰三角形D.直角三角形2c 130, a 5, b 12, c 13,因為a2 b2 c2,所以 ABC為直角三角形.【變式2(2015春?廈門校級期末)在四邊形 ABCM, AB=AD=2 / A=60 , BC=2右，CD=4求 /ADC的度數.【答案】解：連接BD . AB=AD=2 Z A=60 , .AB

11、D是等邊三角形， .BD=2 Z ADB=60 ,. BC=2, CD=4則 BD2+c6=22+42=20, BC2= (2) 2=20, . .BD2+cD=Bd,/ BDC=90 , ./ADC=150 .一只爬下樹走到離樹池塘A處，另外一只爬到樹頂 D后直接躍到A處，距離的直線計算，如果兩只猴子所經過的20 m處的距離相等，試問這棵樹有多高?【思路點撥】 其中一只猴子從 B- 8 A共走了(10+20)=30 m ,另一只猴子從 B-AA也共 走了 30 m,并且樹垂直于地面，于是這個問題可化歸到直角三角形中利用勾股定理解決.【答案與解析】解：設樹高 CD為 X,則 BD= X -10

12、, AD= 30( x 10)=40x,在 RtACD中，202 X2 (40 x)2,解得：X = 15.答：這棵樹高15m .【總結升華】本題利用距離相等用未知數來表示出DC DA然后利用勾股定理作等量關系列方程求解.舉一反三:【變式】如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm ,底面半徑等于 3cm ,在圓柱的底面 A?(兀點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與 A點相對的B點的食物，需要爬行的最短路程是多少取3)解：如圖所示,AA 12,在 RtAAA由題意可得：1 AB 23 92B中，根據勾股定理得:_22_2_2_2 AB2 AA2 A B2 122 92 225則 AB= 15.所以需要爬

13、行的最短路程是 15cm.35、（2015春?武昌區(qū)期中）某港口位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小日航行12海里.它們離開港口 1小時后相距20海里.如果知道“遠航”號沿東北方 向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？【答案與解析】解：1小時“遠航”號的航行距離：OB=16 1=16 海里；1小時“海天”號的航行距離：OA=12 1=12 海里，因為AB=20海里，所以 ABOB+OA,即 202=162+122,所以4OAB是直角三角形，又因為/ 1=45 ,所以 / 2=45。，故“海天”號沿

14、西北方向航行或東南方向航行.B【總結升華】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系， 進而作出判斷.類型四、原命題與逆命題66、下列命題中，逆命題錯誤的是（）A.平行四邊形的對角線互相平分B.有兩對鄰角互補的四邊形是平行四邊形C.平行四邊形的一組對邊平行，另一組對邊相等D.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形【答案】C;【解析】解：A的逆命題是：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.由平行四邊形的判定可知這是真命題；B的逆命題是：平行四邊形的兩對鄰角互補，由平行四邊形的性質可知這是真命題；C

15、的逆命題是：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形，也可能是等腰 梯形，故是錯誤的；D的逆命題是：平行四邊形的兩組對邊分別相等地，由平行四邊形的性質可知這是真命 題；故選C.【總結升華】分別寫出每個命題的逆命題，再判斷其真假即可.此題主要考查學生對逆命題 的定義的理解，要求學生對基礎知識牢固掌握.舉一反三：【變式】下列命題中，逆命題是真命題的是（）A.對頂角相等B.如果兩個實數相等，那么它們的平方數相等C.等腰三角形兩底角相等D.兩個全等三角形的對應角相等【答案】C;解：A的逆命題是：相等的角是對頂角是假命題，故本選項錯誤，B的逆命題是：如果兩實數的平方相等，那么兩實數相等是假命題，

16、故本選項錯誤，C的逆命題是：兩底角相等的三角形是等腰三角形是真命題，故本選項正確，D的逆命題是：對角線相等的兩個三角形是全都三角形是假命題，故本選項錯誤， 故選C.類型五、直角三角形全等的判定一一“ HL臣7、已知：如圖， AB=AC點D是BC的中點，AB平分/ DAE AH BE,垂足為 E. 求證：AD=AE【思路點撥】 證明線段相等，可證線段所在的三角形全等，結合本題，證4AD主4AEB即可.【答案與解析】證明：: AB=AC點D是BC的中點， ，/ADB=90 ,AE EB, ./ E=Z ADB=90 , . AB平分/ DAE .Z EAB土 DAB 在 ADB AEB 中，E A

17、DB 90EAB DABAB ABAD=AE【總結升華】此題考查線段相等，可以通過全等三角形來證明，要判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.C8、如圖，已知在 ABC中，AB=AC / BAC=90 ,分別過B、C向過A的直線作垂線， 垂足分別為E、F.(1)如圖過 A的直線與斜邊 BC不相交時，求證：EF=BE+CF(2)如圖過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若 BE=1Q CF=3求：FE長.【答案與解析】(1)證明：BE! EA, CF AF, / BACh BEA=/ CFE=90 , / EAB+Z CAF=90 , / EBA+Z EAB=90 , / CAFW EBA在 ABE和 CAF中，/ BEA之 AFC=90 , / EBA之 CAR AB=AC. AB CAF EA=FC BE=AF EF=EA+AF （2）解：: BE! EA, CF AF, / BA