最新空間直角坐標(biāo)系專題學(xué)案(含答案解析)

1、精品文檔第九講空間直角坐標(biāo)系時(shí)間： 年 月 日 劉老師學(xué)生簽名:工興趣與入精品文檔:、學(xué)前測(cè)試要點(diǎn)考向1:利用空間向量證明空間位置關(guān)系考情聚焦：1.平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點(diǎn)。2.題型靈活多樣，難度為中檔題，且常考常新?？枷蜴溄樱?.空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個(gè)方面考查“向量法”的應(yīng)用。2.空間中線面的平行與垂直的證明有兩個(gè)思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來(lái)論證。例1：如圖，在多面體ABCDEF中，四

2、邊形ABCD是正方形，EF / AB , EF FB , AB 2EF ,BFC 90, BF FC , H 為 BC 的中點(diǎn)。(1) 求證：FH /平面EDB ；(2)求證：AC 平面EDB ;(3)求二面角B DE C的大小。【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查 了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明。【規(guī)范解答】Q四邊形ABCD為正方形， ABAB 平面 FBC, AB FH, 又BF FC,H為BC中點(diǎn)，F(xiàn)H 且ABI BC B,FH 平面ABC.BC,又 QEF FB,E

3、FAB, AB FB,且 BC I FB B,BC,如圖, x軸、以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以u(píng)ur uuir uurHB、GH、HF的方向?yàn)閥軸、z軸的正方向建立坐標(biāo)系,令BH 1,則A(1, 2,0), B(1,0,0), C( 1,0,0), D( 1, 2,0), E(0, 1,1),F(0,0,1).uir設(shè)Ad BD勺交點(diǎn)為 G,連接 GE GH,則 G (0,-1,0 ) , GE (0,0,1), uiurur uuur又 QHF (0,0,1), GE/ HFGE 平面 EDB,HF 平面 EDB, HF / 平面 EDBuuururuur ur(2) Q AC ( 2,2,0),

4、 GE (0,0,1), ACgGE 0, AC又AC BD,且G日 BD=G AC 平面 EBD.GEuu設(shè)平面BDE勺法向量為1(1,y1,z1),uuuuuurQ BE ( 1, 1,1),BD ( 2, 2,0).uuu uuBEgn1 01 y1 z10田 uuur iu,即，付 y1BDgr>1 02 2% 0iun1 (1, 1,0)1, Zi0,uu設(shè)平面CDE勺法向量為n2(1,y2,z2),uuu2,0), CE (1, 1,1).0,即y20,得y20, z201 y2 Z20uuurQ CD (0, uuur ur CD g uuu ur CEgn2 ur1,n2

5、 (1,0,-1)ir uu cos n1, n2ur uurin1giuur15|巾2 |ir uurn1,n260o，即二面角112.22,B-DE-C 為 60o【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行;2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直;3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個(gè)合適的三角形中進(jìn) 行求解。4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進(jìn)行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡(jiǎn)單，易于操作，推薦使用要點(diǎn)考向2:利用空間向量求線線角、線面角考情聚焦：1.線線角、線面角是高考

6、命題的重點(diǎn)內(nèi)容，幾乎每年都考。2.在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題?？枷蜴溄樱?.利用空間向量求兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角的方法及公式為(1)異面直線所成角優(yōu)一 0 "仆)。畤6= 0中3 h設(shè)*力分別為異面直線。力的方向向量，則(2)線面角伙門F簇”)A/ I I ei n-r柿W 1於4。門【一 一設(shè)。是直線l的方向向量，n是平面的法向量，則口 * 1T2.運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟為：(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。(2)求出相關(guān)一點(diǎn)的坐標(biāo)。(3)寫出向量坐標(biāo)。(4)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算。(5)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。例 2:已知三棱錐 P

7、ABC中，PAL ABC AB± AC, PA=AC=1 AB, N 為 AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分另必為2PB,BC的中點(diǎn).(I )證明：CML SM(n)求SN與平面CMN/f成角白大小.【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體 的計(jì)算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】建系，寫出有關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，uuuu uuu(I)計(jì)算CM、SN的數(shù)量積，寫出答案；(II ) 求平面CMN勺法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案?！疽?guī)范解答】 設(shè)PA= 1,以A為原點(diǎn)，射線 AB AG AP分另1J為x,y

8、,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。則 P(0,0,1) , C(0,1,0) , B(2,0,0) , M(1,0, -), N(-,0,0) , S(1, - ,0)222uuuu 1 uuuCM (1, 1,),SN 212uuuu uuu1 1因?yàn)?CMgSN-002 2所以CM SNuuLT1(II) NC (,1,0),2T設(shè)a (x, y, z)為平面CMN的一個(gè)法向量,x y z 0r則 2 令x 2,得a (2,1, 2)1-x y 0所SN與平面CMN所成的角為45o2【方法技巧】(1)空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。(2)求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的

9、法向量的夾角問題來(lái)解決。(3)線面角的范圍是0°90° ,因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是非負(fù)的, 要取絕對(duì)值。要點(diǎn)考向3:利用空間向量求二面角考情聚焦：1.二面角是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，是年年必考的知識(shí)點(diǎn)。2.常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題?？枷蜴溄樱呵蠖娼亲畛Ｓ玫霓k法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平 面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。 p >一* = V其計(jì)算公式為：設(shè) m.m分別為平面的法向量，則 與 加，打：互補(bǔ)或相等，cos5 n ml , "例3：如圖，在

10、長(zhǎng)方體 ABCD AB1clD1中，E、F分別是“棱BC, CC1上的點(diǎn)，CF AB 2CE, AB: AD:AA1 1: 2:4(1) 求異面直線EF與A1D所成角的余弦值; 證明AF 平面 A1ED(3) 求二面角 A ED F的正弦值。【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)方法處理問題?！疽?guī)范解答】 方法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為X軸，AD所在直線為丫軸建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖所示)，設(shè) AB 1,依題意得 D(0,2,0)

11、 , F(1,2,1), A(0,0, 4) , E 1,-,023 UULT 11, ?4 ,ED堂EA1, AF ED,又 EA1 ED EUUUT UUUU uur iuuiluiuuuruuuu.ef gA D(1) 易得 EF0,-,1, AD(0,2, 4),于是 cosEF,ADuurUuu2' e EF AD所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為uuurUULT(2) 證明：已知 AF (1,2,1), EA1uuuruuuruuuruuur于是 AF EA=0, AF ED =0.因此，AF所以AF 平面A1EDr解：設(shè)平面EFD的法向量u(x, y, z),則r

12、uuur ugEF r uuur ugED0,即0不妨令X=1，可得u (1,2 1)。由(2)可知，AF為平面AiED的一個(gè)法向量。日TE cosu，AF=u?AE=2,從而 sinu|AF| 3u，AF53一一 L,、一名所以面角A1-ED-F的正弦值為 3要點(diǎn)考向4:利用空間向量解決探索性問題,能較好地考查學(xué)生的邏輯考情聚焦：立體幾何中已知結(jié)論尋求結(jié)論成立的條件(或是否存在問題) 推理能力和空間想象能力，是今后考查的重點(diǎn)，也能很好地體現(xiàn)新課標(biāo)高考的特點(diǎn)。例4:如圖，圓柱OO內(nèi)有一個(gè)三棱柱 ABC-ABC1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且 AB是圓。的直徑。(I)證明：平面 AAC

13、C 平面BBCC;(II )設(shè)AB= AA,在圓柱OO內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自三棱柱ABC-ABC內(nèi)的概率為p。(i )當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 p的最大值；(ii )記平面AACC與平面BOC/f成的角為(0°900)。當(dāng)p取最大值時(shí)，求 cos的值?！久}立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾 何概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化 思想、必然與或然思想?！舅悸伏c(diǎn)撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長(zhǎng)方體的 體積，并求解三棱柱的體積的最大

14、值，利用體積比計(jì)算出幾何概率。立體幾何中我們可以利用向量處理角 度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計(jì)算，a b均可歸結(jié)為兩個(gè)向量的夾角。對(duì)于空間向量a,b ,有cos a,b a b ,利用這一結(jié)論，我們可以較|a|b|方便地處理立體幾何中的角的問題?！疽?guī)范解答】(I ) Q AA 平面ABC , BC 平面ABC , A1A BC ,又AB是e O的直徑,BC AB,又 AC AA A,BC 平面AACCi ,而BC 平面BiBCCi ,所以平面 AACCi平面 B1BCC1 ；(II ) (i )設(shè)圓柱的底面半徑為 r ,則AB AA1

15、2r ,故圓柱的體積為 V23r2 2r 2 r3,設(shè)三棱柱ABC-ABC,的體積為Vi,所以P ，所以當(dāng)M取得最大值時(shí)P取得最大值。又因?yàn)辄c(diǎn) C在圓周上運(yùn)動(dòng),所以當(dāng)OC AB時(shí)，ABC的面積最大，進(jìn)而，三棱柱 ABC-ABG,的體積最i3i大，且其最大值為 一2r r 2r 2r3,故P的最大值為一； 2(ii )由(i)知，P取最大值時(shí)，OC AB,于是，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz,則 C r,0,0 , B 0,r,0 ,B 0,r,2r ,Q BC 平面uurAiACCi ,BC r, r,0是平面AiACCi的一個(gè)法向量，設(shè)平面BiOC的法r向量為nr uuur

16、n OC x, y,z ,由于 ruuur ,nOBirx 0ry 2rz 0所以平面BiOC的一個(gè)法向量為n 0, 2,i , Q00090 , cosr uur cos n, BC_7q5【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的( II ) (i )也可以采用向量法進(jìn)行證明：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz ,設(shè)圓柱的底面半徑為r, C r cos , r sin ,0 ,則AB AAi 2r ,故圓柱的體積為 Vr2 2r 2 r3,設(shè)三棱柱ABC-ABO,的體積為Vi ,所以P 乜，V1 2所以當(dāng)V1取得最大值時(shí) P取得最大值。Sabc - 2r

17、r cos r2cos ，所以當(dāng)cos i時(shí)的 ABC的2i 一 一 一 3i面積最大，進(jìn)而，二棱枉ABC-ABiCi,的體積Vi最大，且其最大值為一2r r 2r 2r3,故P的最大值為一；2【高考真題探究】rrrr r r1 .若向量 a= (i,i,x ) , b=(i,2,i), c=(i,i,i),滿足條件(c a) (2b) =-2,則 x=.【命題立意】本題考察空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積運(yùn)算r r r【思路點(diǎn)撥】先算出c a、2b,再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出x.r rrr r r【規(guī)范解答】c a (0,0,i x) , 2b (2,4,2),由(c a) (2b)

18、2得(0,0,i x) (2, 4,2)2,即 2(i x) 2,解得 x 2.【答案】22 .如圖， 在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在線段AB,AD上，AE EB AF - FD 4 .沿直線EF將 VAEF翻折成VA'EF ，使平面 3'一一AEF 平面 BEF.(I)求二面角 A' FD C的余弦值；(n)點(diǎn)M,N分別在線段FD,BC上，若沿直線 MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A重合，求線段FM的長(zhǎng)。【命題立意】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間向量的應(yīng)用，同時(shí) 考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系

19、建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題；方法二利用 幾何法解決求二面角問題和翻折問題?！疽?guī)范解答】方法一：(I)取線段EF的中點(diǎn)H,連結(jié)a'H ,因?yàn)锳 E = AF及H是EF的中點(diǎn)，所以AH EF,又因?yàn)槠矫鍭 EF 平面BEF.如圖建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz ,則A' (2, 2, 2&), C (10, 8,0), F (4, 0, 0), D (10, 0,霜). 故 FA'= (-2, 2, 2直)，F(xiàn)D= (6, 0, 0).設(shè)門=(x,y,z )為平面 A'FD的一個(gè)法向量，所1 2x 2y 2,2z 0以O(shè)6x 0取z 72,則n

20、(0, 2J2)oI * 二2r 一一一 又平面BEF的一個(gè)法向量 m (0,0,1),二二 r r故 cos n, mr r ngm 同一,3o3所以二面角的余弦值為3(n )設(shè) FM x, BN a ,貝U M (4x,0,0)，N(a,8,0)因?yàn)榉酆?，C與A'重合，所以CMA'M , CN222(6 x) 80=(2故，(10 a)2 (2 a)2 62x) 2 22(26 2(2 .2) 2/曰 21，得x - 4134 ,21所以FM 工。BC= 2V2 , E, F 分另恨 AD, PC43 .如圖，在四B隹P ABC中,底面八8。矩形PAL平面ABCDAPAB

21、=2 的中點(diǎn).(I)證明：PC1平面BEF(n)求平面 BEF與平面BAF角的大小?！久}立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問題，考查了同學(xué)們的空間 想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧?！舅悸伏c(diǎn)撥】思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；思路二：利用 幾何法求解.【規(guī)范解答】解法一(I)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB, AQ AP所在的直線分別為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系.AP=AB=2 BC=2V2 ,四邊形 ABC況矩 形. .A, B, C, D 的坐標(biāo)為 A(0,0,0),B(2,0D),C(2,2亞,0) , D

22、(0, 2灰,0), P(0,0,2)又 E, F 分別是 AD, PC 的中點(diǎn)，E(0, J2, 0),F(1 , J2, 1).uuu .PC= (2, 272, -2)uuin_uuinBF= (-1 , 22, 1) EF = (1,0,J),uuiu uuuruuiu PC BF =-2+4-2=0 , PC uurEF =2+0-2=0 ,uuiu uuur uuiu uurPC ± BF , PC ± EF , . - PC BF,PCa EF, BF I EF F ,尸平面 BEFIT（II ） 由 （I ） 知平面 BEF的法向量總UUTPC（2,2，2,

23、 2）,平面 BAP的法向量UU UUUT _ UT UUU2AD (0,2、2,0),R52 8,UT UU設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為 ，則cosco媼UU|UU| 42夜45° ,平面BEF與平面BAP的夾角為4504 .如題圖，四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為矩形，PA 底面ABCD , PA AB J2,點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn).（I）證明：AE 平面PBC；（II ）若AD 1 ,求二面角B EC D的平面角的余弦值等知）甭？【命題立意】本小題考查空間直線與直線、直線，.與平面的位置關(guān)系，考查余弦定理及其應(yīng)用，考查空間向量的基礎(chǔ)知識(shí)和在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能

24、力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想【思路點(diǎn)撥】（1）通過證明線線垂直證明結(jié)論：線面垂直，（II ）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識(shí)求余弦值.或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明垂直和求出有關(guān)角的三角函 數(shù)值.【規(guī)范解答】（I ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，精品文檔建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz .如圖所示.p (0,0, x;5),uuuBC (0, a,0),答CM）用之ur（II ）設(shè)平面BEC的法向量為n,由（I）知， AEuu平面BEC ,故可取n,uur / .2.2EA ( ,0,22ur平面dec的法向量n2uu uuu(x2,

25、y2,z2),則 n2 DCur uuu uuur0,n2 DF 0,由 AD1,得 D(0,1,0) ,GV2,1,0 ),從而DC(V2,0,0)uurDEx2 02x22 2V22z22 2,所以 x2 0 , z2 J2y2,0可取y 1,則 nu (01，亞)uruuuruu,從而 cos ni, n2ni【方法技巧】（1）用幾何法推理證明、計(jì)算求解；（2）空間向量坐標(biāo)法，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題5.如圖，BCD與 MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面 MCD 平面 BCD, AB 平面 BCD , AB 273.（1）求直線AM與平面BCD所成的角的大??；（2）求平面ACM與平面BCD

26、所成的二面角的正弦值.【命題立意】本題主要考查空間幾何體的線線、線面與面面垂直關(guān)系及 平行關(guān)系，考查空間線面角、二面角的問題以及有關(guān)的計(jì)算問題，考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的空間想象能力、推理論證能力、劃歸轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算 求解能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】本題主要有兩種方法，法一：幾何法（1）直接找出線面角，然后求解;射線AB, AD, AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸,設(shè)設(shè) D(0,a,0),則 B ( <"2,0,0) ， C (V2,a,0),2cN 十日 uuu 22E (，0，° 于 AE( ,0,),2222uuu _ uuu uuu uuu

27、uuuPC (72, a, 后,則 AE BC 0,AE PC 0, uuu uuu uuu uuu所以 AE BC, AE PC ,故 AE 平面 PBC .（2）對(duì)二面角的求法思路,般是分三步“作”，“證”，“求”.其中“作”是關(guān)鍵， “證”是難點(diǎn).法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解 精品文檔精品文檔sinuuuu CMuuur r cos AM , n(1,0,73),uuuu rAM nuuuur_rAM nuurCA(1,3,2/3).45o.ir uuuuurni CM設(shè)平面ACM勺法向量為r(x,y,z),由u uur得n1 CAx . 3z 0x .3y 2,

28、3z 0解得x辰，yir z,取r(j3,1,1) .又平面bcd勺法向量為nir r 貝U cos ni, nir rni n(0,0,1)，設(shè)所求二面角為，則sin【規(guī)范解答】取CD中點(diǎn)Q連OB OM則OBL CD OMLCD又平面MCD 平面BCD ,則MO_平面BCD .以O(shè)為原點(diǎn)，直線 OC BO OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.OBOM=J3,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為 O(0, 0, 0), C (1, 0, 0), M (0,0,褥)，B (0, -73, 0), A (0, -73, 2平),(1)設(shè)直線AM與平面BCM成的角為.uuurr因AM (0, J3, J3)

29、,平面BCD的法向量為n (0,0,1).則有精品文檔6.已知正方體 ABCD A BC D的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn).(I)求證：OM為異面直線 AA和BD的公垂線;(n)求二面角 M BC B的大??；(出)求三棱錐M OBC的體積.【命題立意】本題主要考查異面直線、直線與平面垂直、 二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)撥】方法一：幾何法 問題(I),分別證明OM AA , OM BD即可.問題（II ）首先利用三垂線定理，作出二面角M BC B的平面角， 然后通

30、過平面角所在的直角三角形，求出平面角的一個(gè)三角函數(shù)值，便可解決問題問題（出）選擇便于計(jì)算的底面和高，觀察圖形可知，OBC和 OAD都在平面 BCD A內(nèi)，且S OBC S OAD， 故VmOBCVMOA DVOMA D，利用三棱錐的體積公式很快求出VOMAD .方法二：建立一空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解 【規(guī)范解答】（方法一）：（I）連結(jié)AC .取AC的中點(diǎn)K ,則K為BD的中點(diǎn)，連結(jié) OK .丁點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)。是BD的中點(diǎn)，-二 由 AA AK ,得 OM AA . AK BD, AK BB , . . AK 平面 BDD B . . . AK BD . . . OM

31、BD .又二 OM與異面直線 AA和BD都相交， 故OM為異面直線 AA和BD的公垂線，（II ）取BB的中點(diǎn)N ,連結(jié)MN ,則MN 平面BCC B ,過點(diǎn)過點(diǎn)N作NH BC于H ,連結(jié)MH ,則由三垂線定理得，BC MH .MN 1,NHBN sin 45o 1 / Z224在 Rt MNH 中.tan MHNMN 1 八。一一 2i=2 2 yl 2 故一面角 MNH .2 4BC B 的大小為 arctan 272 .(III )易知,S OBCS OAD，且OBC和 OAD都在平面 BCD A內(nèi)，點(diǎn)O到平面 MAD的距離12'OBCOADMA D1s h-S MA D h31

32、24MHN為二面角M BC B的平面角.（方法二）：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D xyz,則 A(1，0，0), B(1,1，0), C(0，1，0) , A(1，0，1), C (0,1,1), D (0,0,1)（I）點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn) O是BD的中點(diǎn),11 1 1 uuu 11M(1,0,-) ,O(-,-,-) , OM (-, -,0)22 2 222uuiruuuuAA (0,0,1) , BD ( 1, 1,1).精品文檔uuuu uuuruuuu uuur 11OM AA 0 , OM BD0 0,2 2 OM AA , OM BD ,又二 MO與異面直

33、線AA和BD都相交,精品文檔故MO為異面直線AA和BD的公垂線,uruuuui uuuu(II )設(shè)平面 BMC 的一個(gè)法向量為 n1 (x,y,z), BM (0, 1,一)，BC ( 1,0,1).2ir uuuu B BM ir uuuu nBC0,即 0.2z 0，z 0.ir1. n1ur(2,1,2).取平面BCB的一個(gè)法向量n2 (0,1,0).ur uucos ni, n2ur urur uTr -一, 由圖可知，二面角 M BC B的平面角為銳角, n1n2v9 1 3故二面角M BC B的大小為arccos1 . 3(III )易知，S obc11-2uu .Szg邊形bc

34、d A 1 v2 ,僅平面 OBC 的一 法向里為 n3(x1, y1,z1),444uuuruuirBD1 ( 1, 1,1), BC ( 1,0,0),uu uuuun3 BD1 0, uu uur 即n3 BC 0.x1ylz10,x10.ID 取 z11,則 y11 ,從而 n3(0,1,1).點(diǎn)M到平面OBC的距離duuuu uuBM n3T-1n3212 2.2 .3 S OBC d1 22 _1_ 13 42,2 24【跟蹤模擬訓(xùn)練】、選擇題(每小題6分，共36分)1 .已知點(diǎn)A (-3,1,-4 ),則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()(A) (3-1,4 ) (B)(-3,-1

35、,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)2 .在正三棱柱 ABC-A1B1cl中，D是AC的中點(diǎn)，AB1 1 BC1 ,則平面DBq與平面CBC所成的角為()(A)30 °(B)45°(C)60(D)903 .設(shè)動(dòng)直線x a與函數(shù)f(x) 2sin2( x)和g(x) J3cos2x的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則4精品文檔精品文檔|MN |的最大值為（A . 72B73C 2 D . 34.在直角坐標(biāo)系中,設(shè)A（3, 2） , B（ 2，3）,沿y軸把坐標(biāo)平面折成120o的二面角后,AB的長(zhǎng)為（A.娓 B, 42C. 2出D. 2布5.矩形 ABCD 中，AB=4

36、BC=3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC -D,則四面體ABCD的外接球的體積為（125A. 12B.1259C.1256125D.36.如圖：在平行六面體ABCD ABCD中，M為ACB1D1的交點(diǎn)。a AD b AA1 c則下列向量中與 BM相等的向量是（1 '1 ua b(A)221 . a (B) 21b 2c(C)1 11 .a b c (D) 22二、填空題（每小題6分，共18分）7. OX , OY, OZ是空間交于同一點(diǎn)的互相垂直的三條直線，點(diǎn)P到這三條直線的距離分別為而,a,b,則OP 而，則a2 b28.平行六面體 ABCD-A1B1C1D1 中，A

37、B=2AA1=2 , AD=1 ,且AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為 600,則ACi?BDi=9 .將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角后，有下列四個(gè)結(jié)論：（1）AC BD； （2） ACD是等邊三角形；（3） AB與平面BCD成60。；（4） AB與CD所成的角為60°.其中正確結(jié)論的序號(hào)為 （填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）.三、解答題（共46分）10 .如圖，在四棱錐P ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為 2的菱形，/BAD=60° ,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,PO 石,E、F分別是BC、AP的中點(diǎn).（1）求證：EF/平面PCD;（2）求二面角 A BP D的余弦值.B AC

38、D組成，如圖所示，其中，AB BC .它的11.某組合體由直三棱柱 ABCA1B1Cl與正三棱錐（1）求直線CA1與平面ACD所成角的正弦;2 2+1(2)在線段AC1上是否存在點(diǎn)P,使B1P 平面ACD ,若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由.12.如圖，三棱柱ABC AB1ci中，AA面ABC,BC AC BC AC 2 AAD為AC的中點(diǎn)。(I)求證：ABi 面 BD。；(n)求二面角C1 BD C的余弦值參考答案1 .【解析】選A. 丁點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的規(guī)律是在 x軸上的坐標(biāo)不變，在 y軸，z軸上的坐標(biāo)分別變?yōu)橄?反數(shù)，點(diǎn)A (-3, 1, -4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3

39、,-1,4 ).2 .【解析】選B.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AG AA1分別為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a.側(cè)棱長(zhǎng)為2b.則 A(0.0.0)C(0,2a»0). DCOPa.O),B( aO) vQ (O,2a4b>Bi( 底-如2b),由A1_L6C；.將AB； Bd=0/即2酎一a分別再出平面DBG與平面CBG的一個(gè)法向量社 *h利用公式8碉=-7 " ?陰8=45：1 44. I3 . D 4. D 5. C 6. A 7. 648. 39. (1) (2) (4)10.解：(1)證明：取 PD的中點(diǎn)G,連接FG、CG FG是 PAD的中衛(wèi)縣，F(xiàn)G

40、2,在菱形ABCD中，ADBC,又E為BC的中點(diǎn)，CE2FG, 四邊形EFGC是平行四邊形,EF/ CG又 EF 面 PCD, CG 面 PCD, EF/W PCD(2)法1:以。為原點(diǎn)，OB, OC, OP所在直線分別為x、y、z軸建立如H'圖所示的空間直角坐標(biāo)系。則 0 (0, 0,0), A (0,”3,0), B (1,0, 0) P (0, 0,石)一 廠 一 廠V：力不；AB=(1,寸3 , 0)AP=(0 V3，3) 1 設(shè)面ABP的發(fā)向量為n (x, y, z),則n AB 0 x ，3y 0 x. 3yn AP 0,即 v3y ,3z 0即 zy取 n (亞 U) 又

41、 OA OP 0, OA OB 0,OAL面 PBD, OA 為面 PBD 的發(fā)向量，, OA=(0,cos n,OAn OA.3_5.51n |OA| MS 5 .所以所求二面角的余弦值為5法2:在菱形ABCD 中，ACXBD ,OPXW ABCD , AC 面 ABCD ,- AC ±OP, OP BD=0,，AC，面 PBD, AC ±BP,在面PBD中，過。作ON，PB,連ANPBXW AON ,則AN ±PBo即/ANO為所求二面角的平面角AO=ABcos30=J3 在 RtAPOB 中,OP OBON BPANOA2 ON2.152cos/ANOONA

42、N,32、152O所以所求二面角的余弦值為解：（1）設(shè)BABCBDa, BB1 b1 2 ab -a 由條件 21a2 1，則2以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BC、B+ BA為通、y軸、卻建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)(0,0,、2),C(,.2,0,0), D(0, '.2,0), Bi(0,2,0),Ci( .2,2,0), Ai(0,2, 2)Q ACD的重心 G ,uur 22 2BG=,為平面ACD的法向量.2、2633 3umr_,r uuur又CA1 ( 我,2, &)，則 cos(a,CA，“、.6 所求角的正弦值為6精品文檔uuu uuuu _令 AP mAC172m, 2m,

43、V2muuir uuur uuu _一 rBiP BiA AP .2m, 2m 2, 2 . 2m a2m 工32m 2 無(wú)解3.2 2m -23不存在滿足條件的點(diǎn) P.12.解：(1)連接B1Q交BC1于點(diǎn)O,則O為B1C的中點(diǎn)，. D為 AC中點(diǎn)，OD/ B1A又 B1A 平面 BDC1, OD 平面 BDC1，B1A/平面 BDC1(2) AA1X面 ABC BC±AC, AA1/I CC1. . CC1L面 ABC 貝U BCL平面 AC1, CCUAC如圖以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA所在直線為X軸，CB所在直線為Y軸，CCl所在直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 C1(0,0,3)

44、B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)_ruuur ruur設(shè)平面ClDB的法向量為n(x,y,z)由nCiD,nGB得rx 3z 0,2y 3z 0,取 z 2, 則 n (6,3,2)C1C n 2uuurC1C, n ：- -又平面 BDC勺法向量為 CC1 (0,0,3) cos1cle 11n | 72二面角C1BDC的余弦值為7【備課資源】1 .已知兩條異面直線 a、b所成的角為40。，直線l與a、b所成的角都等于。， 則。的取值范圍是().(A) 20° ,90 ° (B) 20° ,90 ° ) (C)(20° ,

45、40 ° (D) 70° ,90 ° 【解析】選A.精品文檔精品文檔取空間任一點(diǎn) O,將直線a,b, l平移到過O點(diǎn)后分別為a' ,b ' , l ',則l '與a' ,b '所成的角即為l與 a,b所成的角.當(dāng)l '與a' ,b 共面時(shí)。最小為20。.當(dāng)l '與a' ,b '確定的平面垂直時(shí)，。最大為90。. 故。的取值范圍為20° ,90 ° .2. （2003 -鄭州模微）如圖.E 推住ABC - A BC中 拈AC中點(diǎn).若AB =2MA 區(qū)求 點(diǎn)A到

46、到率BEC（的距:離；精品文檔（2）當(dāng)"？為何值時(shí),二面角E- BG （：的E弦時(shí) 為??？鼻3】“上由越急如A燈羋面BEC,的拉禹亭十羔C到 平面BECr的距高.VABC aB1G是西三楠腥.二1m一手面ACU A .HE：羋面 . .,，邛而 BKC ±4-* ACCi A, 過點(diǎn)C柞CH_C E于點(diǎn)H,則CH-平面HEC， ACHAC村用面BEG的正&在阪CICC中. CELCC 砂.CE 啟.山面積相凈可將CH.fa:,'A到手桅BFC的花離為 3（幻過II竹HG- BC于6.迷姑（：（；.由三生線度理得 QZLDC.故/CCH為二曲角E BC C的平面向.設(shè) AA - i.AB -Zd. l'J CH ab .“仃十5義CG展 RcACGH Jr/CGHCHC