數(shù)列求和方法總結(jié)

1、數(shù)列求和方法總結(jié)1直接求和適用于等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和（指前n項(xiàng)和）問題，在四個(gè)量ai，d（或q）,n,an中，已知三個(gè)量時(shí)，可以求出Sn來，我們簡(jiǎn)稱為“知三求和”問題.它們的求和問題可以直接利用求和公式解決.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：已知ai,n,an時(shí)，利用公式Snna1 an求和;已知d，d,n時(shí)，利用公式Snnaid求和.2等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：已知ai，n,q時(shí)，利用公式nSn21)求和;已知ai,q,an時(shí)，利用公式Sna1 anq ( q 1)求和. i q此式可看為一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且此等比數(shù)列首項(xiàng)為一一1一.1,公比為g,故可直接運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sna1（1q）（

2、q1）求和.1q1 (1)n解Sn021UTd132nI一2例2一個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于m,前m項(xiàng)和等于n(其中mn),試求這個(gè)數(shù)列的前mn項(xiàng)和.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式運(yùn)用所需的條件最好先求出數(shù)列首項(xiàng)al與公差d，然后運(yùn)用Snai藝Ud求和.解設(shè)這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)為a,公差為d,根據(jù)已知條件，有naman(n1).dm2m(m1),dn21m2n得mnd(n1)(m1)=m2n2.2因?yàn)閚m,所以d2(mn).mn22由此得mmnnmnmn于是,這個(gè)數(shù)列的前mn項(xiàng)和為cmnmn1,Smnmnad222mmnnmnnm12mnmnmn2mn2轉(zhuǎn)化求和適用于不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，不便直接求其前n

3、項(xiàng)和的數(shù)列.倒序相加法將 Snaia2an 與 Snanan 1a1兩式相加，如果得到一個(gè)常數(shù)列，其和為A,那么SnA.2例3已知fx滿足x1,x2R,當(dāng)x1x21時(shí)，fxifx21,若212n1.Snf0f-f-ff1,nN,求Sn.nnn,1.由fxfx2'知只要自變量xx21即成立，又知21n1一,1,011-1,，則易求Sn.nn解因?yàn)镾nf0f1f-fUf1,nnn一n11所以Snf1f口f1f0.nn+,得1n2Snf0f1f-fnn11-1n1.所以Sn(n1).224錯(cuò)項(xiàng)相減法如果數(shù)列anbn中的an和必分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列且等比數(shù)列公比為q(q 1),那么 Sna

4、1bla2b2anbn 與qSnaib2a2b3anbn 1兩式“錯(cuò)項(xiàng)相減”可以求出Sn.例4求和：12n22n132n2n2n11.數(shù)列2n,2n1,2n2,2,1與1,2,3,，n,n1分別是等比數(shù)列(q 1)與等差數(shù)列(d2和.解令 Sn 1 2n 2 2n 1 3 2r則1 Sn 1 2n 1 2 2n 22-，得工Sn 2n 2n12c 0 c122n 1)212 1n 1 n2.2則 Sn 2n 2 n 3.1),可考慮用“錯(cuò)項(xiàng)相減法”求n 2 n 1 11 本(n 1) 2 n 1 + n 1 (222n 22 1 1 n 12n 1 n 1.22- n 1223.23裂項(xiàng)求和將

5、數(shù)列的每一項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差，如果求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),除首尾若干項(xiàng)外，其余各項(xiàng)可以交叉相消.例6求Sn此數(shù)列an5555555555n個(gè)5n個(gè)9555555-(9999)-(10n1)故知拆項(xiàng)后是99個(gè)等比數(shù)列.n個(gè)5n個(gè)955n解因?yàn)閍n5555-(9999)-(101),所以Sn5(101)5(1021)5(10n1)99952n-(101010n)9510(10n1)910150(10n1)5n819例7求證13 1!114 2! 5 3!11<102 100! 2此為分?jǐn)?shù)數(shù)列求和問題，仍然用裂項(xiàng)求和法，難點(diǎn)在于分母出現(xiàn)了階乘，為此，需將數(shù)列的第k項(xiàng)作一些恒等變形，以便將其分裂為兩項(xiàng)之差.因?yàn)?quot;(k2)!1 (k1)!1(k 2)!(k1,2,100)所以,