帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法

1、一、帶電粒子在有界磁場中運動的分析方法1圓心的確定因為洛倫茲力F指向圓心，根據(jù)Fv，畫出粒子運動軌跡中任意兩點（一般是射入和射出磁場兩點），先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個洛倫茲力F的方向畫其延長線，兩延長線的交點即為圓心，或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置，如圖1所示。2半徑的確定和計算利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑（或圓心角），并注意以下兩個重要的幾何特點：粒子速度的偏向角等于轉(zhuǎn)過的圓心角，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角）的2倍，如圖2所示，即=2。相對的弦切角相等，與相鄰的弦切角互補，即+=180°。3粒子在磁場中運動時間的確定若要計算轉(zhuǎn)

2、過任一段圓弧所用的時間，則必須確定粒子轉(zhuǎn)過的圓弧所對的圓心角，利用圓心角與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形內(nèi)角和等于360°計算出圓心角的大小，并由表達式，確定通過該段圓弧所用的時間，其中T即為該粒子做圓周運動的周期，轉(zhuǎn)過的圓心角越大，所用時間t越長，注意t與運動軌跡的長短無關(guān)。4帶電粒子在兩種典型有界磁場中運動情況的分析穿過矩形磁場區(qū)：如圖3所示，一定要先畫好輔助線（半徑、速度及延長線）。a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角由sin=L/R求出；（、L和R見圖標(biāo)）b、帶電粒子的側(cè)移由R2=L2-（R-y）2解出；（y見所圖標(biāo)）c、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由得出。穿過圓形磁場區(qū)：如圖4所示

3、，畫好輔助線（半徑、速度、軌跡圓的圓心、連心線）。a、帶電粒子在穿過磁場時的偏向角可由求出；（、r和R見圖標(biāo)）b、帶電粒子在磁場中經(jīng)歷的時間由得出。二、帶電粒子在有界磁場中運動類型的分析（一）軌跡的確定（1）確定入射速度的大小和方向，判定帶電粒子出射點或其它【例1】（2001年江蘇省高考試題）如圖5所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點射入磁場，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為。若粒子射出磁場時的位置與O點的距離為l，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q/m。解析：帶正電粒子射入磁場后，由于受到洛侖茲力的作用，

4、粒子將沿圖6所示的軌跡運動，從A點射出磁場，O、A間的距離為l，射出時速度的大小仍為v0，射出方向與x軸的夾角仍為。由洛侖茲力公式和牛頓定律可得，（式中R為圓軌道的半徑）解得R=mv0/qB圓軌道的圓心位于OA的中垂線上，由幾何關(guān)系可得l/2=Rsin聯(lián)立、兩式，解得。點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射點和出射點，求該粒子的電量和質(zhì)量之比，也可以倒過來分析，求出射點的位置。在處理這類問題時重點是畫出軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系確定軌跡半徑。（2）確定入射速度的方向，而大小變化，判定粒子的出射范圍【例2】如圖7所示，矩形勻強磁場區(qū)域的長為L，寬為L/2。磁感應(yīng)強度為B，質(zhì)量為m，電荷量為e 的

5、電子沿著矩形磁場的上方邊界射入磁場，欲使該電子由下方邊界穿出磁場，求：電子速率v 的取值范圍？解析：（1）帶電粒子射入磁場后，由于速率大小的變化，導(dǎo)致粒子軌跡半徑的改變，如圖所示。當(dāng)速率最小時，粒子恰好從d點射出，由圖可知其半徑R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得當(dāng)速率最大時，粒子恰好從c點射出，由圖可知其半徑R2滿足，即R2=5L/4，再由R2=mv2/eB，得電子速率v的取值范圍為：。點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的方向，由于入射速度的大小發(fā)生改變，從而改變了該粒子運動軌跡半徑，導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出臨界狀態(tài)粒子運動的軌跡圖，再根據(jù)幾何關(guān)

6、系確定對應(yīng)的軌跡半徑，最后求解臨界狀態(tài)的速率。（3）確定入射速度的大小，而方向變化，判定粒子的出射范圍【例3】（2004年廣東省高考試題）如圖8所示，真空室內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度的大小B=060T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個點狀的放射源S，它向各個方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是v=30×106m/s，已知粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=50×107C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運動的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域的長度。解析：粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，用R表示軌道半徑，有

7、qvB=mv2/R，由此得   R=mv/qB，代入數(shù)值得R=10cm。可見，2R>l>R，如圖9所示，因朝不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點P1就是粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點。為定出P1點的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點，過Q作ab的垂線，它與ab的交點即為P1。，再考慮N的右側(cè)。任何粒子在運動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點。由圖中幾何關(guān)系得，所求長度為 P1P2=NP1+NP2，

8、代入數(shù)值得 P1P2=20cm。點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小，其對應(yīng)的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發(fā)生改變，從而改變了該粒子運動軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出臨界狀態(tài)粒子運動的軌跡圖（對應(yīng)的臨界狀態(tài)的速度的方向），再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出射范圍。2給定動態(tài)有界磁場（1）確定入射速度的大小和方向，判定粒子出射點的位置【例4】（2006年天津市理綜試題）在以坐標(biāo)原點O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖10所示。一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v

9、沿-x方向射入磁場，恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿+y方向飛出。（1）請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷q/m；（2）若磁場的方向和所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強度的大小變?yōu)锽，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°角，求磁感應(yīng)強度B多大？此次粒子在磁場中運動所用時間t是多少？解析：（1）由粒子的飛行軌跡，利用左手定則可知，該粒子帶負(fù)電荷。如圖11所示，粒子由A點射入，由C點飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑 r=R，又，則粒子的荷質(zhì)比為  。（2）粒子從D點飛出磁場速度方向改變了60°角，故AD

10、弧所對圓心角60°，粒子做圓周運動的半徑，又，所以 ，粒子在磁場中飛行時間：。點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度的大小和方向，但由于有界磁場發(fā)生改變（包括磁感應(yīng)強度的大小或方向的改變），從而改變了該粒子在有界磁場中運動的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出磁場發(fā)生改變后粒子運動的軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的出射點的位置。（二）已知入射速度和出射速度，判定動態(tài)有界磁場的邊界位置【例5】（1994年全國高考試題）如圖12所示，一帶電質(zhì)點，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點能從

11、x軸上的b點以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€垂直于xy平面、磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計。解析：質(zhì)點在磁場中作半徑為R的圓周運動，qvB=（Mv2）/R，得R=（MV）/（qB）。根據(jù)題意，質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖13所示，過a點作平行于x軸的直線，過b點作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相距R的O點就是圓周的圓心。質(zhì)點在磁場區(qū)域中的軌道就是以O(shè)為圓心、R為半徑的圓（圖中虛線圓）上的圓弧MN，M點和N點應(yīng)在所求圓形磁場區(qū)域的邊

12、界上。在通過M、N兩點的不同的圓周中，最小的一個是以MN連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為：，所求磁場區(qū)域如圖13所示中實線圓所示。點評：本題給定帶電粒子在有界磁場中運動的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁場發(fā)生改變（磁感應(yīng)強度不變，但磁場區(qū)域在改變），從而改變了該粒子在有界磁場中運動的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點位置變化。在處理這類問題時重點是畫出磁場發(fā)生改變后粒子運動的軌跡圖，確定臨界狀態(tài)的粒子運動軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對應(yīng)的磁場區(qū)域的位置。綜上所述，運動的帶電粒子垂直進入有界的勻強磁場，若僅受洛侖茲力作用時，它一定做勻速圓周運動，這類問題雖然比較

13、復(fù)雜，但只要準(zhǔn)確地畫出運動軌跡圖，并靈活運用幾何知識和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑R、周期T的關(guān)系，求出粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運動時間不太難。3（2007年武漢市理綜模擬試題）如圖16所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從y軸上的P（0，a）點以初速度v0平行于x軸射出，為了使電子能夠經(jīng)過x軸上的Q（b，0）點，可在y軸右側(cè)加一垂直于xoy平面向里、寬度為L的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，該磁場左、右邊界與y軸平行，上、下足夠?qū)挘▓D中未畫出）。已知，Lb。試求磁場的左邊界距坐標(biāo)原點的可能距離。（結(jié)果可用反三角函數(shù)表示）答案：當(dāng)r>L時（r為電子的軌跡半徑），磁場左邊界距坐標(biāo)原

14、點的距離為：（其中）；（2）當(dāng)rL時，磁場左邊界距坐標(biāo)原點的距離為：。最小磁場面積1、磁場范圍為圓形例1一質(zhì)量為、帶電量為的粒子以速度從O點沿軸正方向射入磁感強度為的一圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區(qū)后，從處穿過軸，速度方向與軸正向夾角為30°，如圖1所示（粒子重力忽略不計）。試求：（1）圓形磁場區(qū)的最小面積；（2）粒子從O點進入磁場區(qū)到達點所經(jīng)歷的時間；（3）點的坐標(biāo)。解析：（1）由題可知，粒子不可能直接由點經(jīng)半個圓周偏轉(zhuǎn)到點，其必在圓周運動不到半圈時離開磁場區(qū)域后沿直線運動到點?？芍?，其離開磁場時的臨界點與點都在圓周上，到圓心的距離必相等。如圖2，過點逆著速度

15、的方向作虛線，與軸相交，由于粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的半徑一定，且圓心位于軸上，距O點距離和到虛線上點垂直距離相等的點即為圓周運動的圓心，圓的半徑。由 ，得。弦長為：，要使圓形磁場區(qū)域面積最小，半徑應(yīng)為的一半，即：，面積（2）粒子運動的圓心角為1200，時間。（3）距離 ，故點的坐標(biāo)為（，0）。點評：此題關(guān)鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁場邊界的臨界點，注意圓心必在兩臨界點速度垂線的交點上且圓心到這兩臨界點的距離相等；還要明確所求最小圓形磁場的直徑等于粒子運動軌跡的弦長。2、磁場范圍為矩形例2如圖3所示，直角坐標(biāo)系第一象限的區(qū)域存在沿軸正方向的勻強電場?，F(xiàn)有一質(zhì)量為，電量為的電子從第一象限的某點（，）

16、以初速度沿軸的負(fù)方向開始運動，經(jīng)過軸上的點（，0）進入第四象限，先做勻速直線運動然后進入垂直紙面的矩形勻強磁場區(qū)域，磁場左邊界和上邊界分別與軸、軸重合，電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，并沿軸的正方向運動，不計電子的重力。求（1）電子經(jīng)過點的速度；（2）該勻強磁場的磁感應(yīng)強度和磁場的最小面積。解析：（1）電子從點開始在電場力作用下作類平拋運動運動到點，可知豎直方向：，水平方向：。解得。而，所以電子經(jīng)過點時的速度為：，設(shè)與方向的夾角為，可知，所以300。（2）如圖4，電子以與成30°進入第四象限后先沿做勻速直線運動，然后進入勻強磁場區(qū)域做勻速圓周運動恰好以沿軸向上的速度經(jīng)過點?？芍獔A周運動

17、的圓心一定在軸上，且點到O點的距離與到直線上M點（M點即為磁場的邊界點）的垂直距離相等，找出點，畫出其運動的部分軌跡為弧MNO，所以磁場的右邊界和下邊界就確定了。設(shè)偏轉(zhuǎn)半徑為，由圖知，解得，方向垂直紙面向里。矩形磁場的長度，寬度。矩形磁場的最小面積為：點評：此題中粒子進入第四象限后的運動即為例1中運動的逆過程，解題思路相似，關(guān)鍵要注意矩形磁場邊界的確定。3、磁場范圍為三角形例3如圖5，一個質(zhì)量為，帶電量的粒子在BC邊上的M點以速度垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點（CMCN）垂真于AC邊飛出ABC，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋€垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場。若此磁

18、場僅分布在一個也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計粒子的重力。試求：（1）粒子在磁場里運動的軌道半徑及周期T；（2）該粒子在磁場里運動的時間t；（3）該正三角形區(qū)域磁場的最小邊長；解析：（1）由和，得：    ，     （2）由題意可知，粒子剛進入磁場時應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn)，不可能直接在磁場中由M點作圓周運動到N點，當(dāng)粒子剛進入磁場和剛離開磁場時，其速度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖6作出圓O，粒子的運動軌跡為弧GDEF，圓弧在點與初速度方向相切，在F點與出射速度相切。畫出三角形，其與圓弧在D、E兩點相切，并與圓交于F、G

19、兩點，此為符合題意的最小磁場區(qū)域。由數(shù)學(xué)知識可知FOG600，所以粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角為3000，運動的時間   （3）連接并延長與交與點，由圖可知，點評：這道題中粒子運動軌跡和磁場邊界臨界點的確定比較困難，必須將射入速度與從AC邊射出速度的反向延長線相交后根據(jù)運動半徑已知的特點，結(jié)合幾何知識才能確定。另外，在計算最小邊長時一定要注意圓周運動的軌跡并不是三角形磁場的內(nèi)切圓。4、磁場范圍為樹葉形例4在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)O不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖7所示?，F(xiàn)加一個垂直于平面向內(nèi)、磁感強度為的勻強磁場，要求這些電子穿過磁場后都能平行于軸向正方向

20、運動，求符合該條件磁場的最小面積。解析：電子在磁場中運動半徑是確定的，設(shè)磁場區(qū)域足夠大，作出電子可能的運動軌道如圖8所示，因為電子只能向第一象限平面內(nèi)發(fā)射，其中圓O1和圓O2為從圓點射出，經(jīng)第一象限的所有圓中的最低和最高位置的兩個圓。圓O2在軸上方的個圓弧odb就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點O為圓心，以R為半徑的圓弧O1OmO2 。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場，故由幾何知識知電子的飛出點必為每條可能軌跡的最高點?？勺C明，磁場下邊界為一段圓弧，只需將這些圓心連線（圖中虛線O1O2）向上平移一段長度為的距離即圖9中的弧ocb就是這些圓的最高點的連線，即為磁場區(qū)域

21、的下邊界。兩邊界之間圖形的陰影區(qū)域面積即為所求磁場區(qū)域面積：。還可根據(jù)圓的知識求出磁場的下邊界。設(shè)某電子的速度V0與x軸夾角為，若離開磁場速度變?yōu)樗椒较驎r，其射出點也就是軌跡與磁場邊界的交點坐標(biāo)為（x，y），從圖10中看出，即（x0，y0），這是個圓方程，圓心在（0，R）處，圓的 圓弧部分即為磁場區(qū)域的下邊界。點評：這道題與前三題的區(qū)別在于要求學(xué)生通過分析確定磁場的形狀和范圍，磁場下邊界的處理對學(xué)生的數(shù)理結(jié)合能力和分析能力要求較高。由以上題目分析可知，解決此類問題的關(guān)鍵是依據(jù)題意，分析物體的運動過程和運動形式，扣住運動過程中的臨界點，應(yīng)用幾何知識，找出運動的軌跡圓心，畫出粒子運動的部分軌跡，

22、確定半徑，再用題目中規(guī)定形狀的最小磁場覆蓋粒子運動的軌跡，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)工具和相應(yīng)物理規(guī)律分析解出所求的最小面積即可。（三）動態(tài)圓法巧解帶電粒子運動問題 帶電粒子在垂直于磁場方向的平面上受洛倫茲力做圓周運動，以恒定的速率從某點A開始運動，隨方向不同，軌跡不同。但無論方向向哪里，所有軌跡一定會過定點A，并且所有軌跡的半徑相等，A點是帶電粒子在磁場中所有圓周運動的公共點，如圖1所示。利用這一個規(guī)律，可以幫助同學(xué)們分析解決帶電粒子在磁場中運動的問題，可以化難為易，直觀、形象、簡捷。解題時只需將圓一轉(zhuǎn)，思路即出?；驹恚簬щ娏Ｗ釉诖怪庇诖艌龅钠矫鎯?nèi)的運動軌跡是一個半徑為的圓，帶電粒子可能到達

23、的地方就在半徑為的圓繞A點轉(zhuǎn)動所掃過的面積范圍內(nèi)。例1. 如圖2所示，真空室內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于圖中紙面向里，磁感應(yīng)強度的大小B0.6T。磁場內(nèi)有一塊平面感光平板ab，板面與磁場方向平行。在距ab的距離為L16cm處。有一個點狀的粒子放射源S，它向各個方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是。已知粒子的電荷與質(zhì)量之比。現(xiàn)在只考慮在圖紙平面中運動的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域的長度。解析：粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，用R表示軌道半徑，有：由此得，代入數(shù)據(jù)得R10cm?？梢?，。因向不同的方向發(fā)射粒子的圓軌跡都經(jīng)過了S，由此可知，將通過S點半徑為R的圓，繞S點轉(zhuǎn)動，此

24、圓就會與ab直線相交，其相交部分就是題里要求的ab直線上粒子打中的區(qū)域的長度。其中圓與ab右側(cè)最遠(yuǎn)點相交于點，且，繼續(xù)轉(zhuǎn)動圓，此圓會與ab線相交于許多點，構(gòu)成線段，圓與ab直線上最左邊的交點為圓與ab的切點，即為ab直線上粒子打中區(qū)域的左側(cè)最遠(yuǎn)點，如圖3所示。作SNab，由幾何知識得由圖中的幾何關(guān)系得：所求的寬度為：即ab上被粒子打中的區(qū)域的長度為：例2. 如圖4所示，在xOy平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m，電量為e），從坐標(biāo)原點O不斷的以相同大小的速度沿不同方向射入I象限，現(xiàn)加一個垂直于xOy平面的磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，要求這些電子穿過該磁場后都能平行于x軸向x方向運動，試求符合該

25、條件的磁場的最小面積。解析：設(shè)磁場B的方向垂直紙面向里，當(dāng)電子以與x軸成角從O點進入B中做圓周運動，從A點出磁場時其速度方向平行于x軸，也就是圓弧在y軸正向的最高點，如圖5所示，所有滿足題意的點可看作是過定點O，以半徑為的圓在紙面內(nèi)繞O轉(zhuǎn)動90°角過程中圓弧最高點的集合，如圖5所示。（A為其上一點）。設(shè)A點坐標(biāo)為（x，y），對應(yīng)于圓心為，由幾何關(guān)系知：可得由圓的知識得，滿足題意要求的磁場區(qū)域邊界是一段圓弧，對應(yīng)圓心為，坐標(biāo)（O，R）。最小磁場區(qū)域的面積即為圖中陰影部分面積，由幾何關(guān)系得：點評：解本類題的關(guān)鍵就是弄清楚題目設(shè)立的情景，而這種情景比較抽象，學(xué)生不易理解。教師講解時可用硬紙

26、板提前制作一個圓（學(xué)生解題時也可以自己簡單的做一個圓），分析例1時讓圓繞S點做圓周運動，與ab依次相交于、還有其他許多點最后是圓與ab相切，切點為，線段即為帶電粒子與ab交點的集合；分析例2時，也是將圓繞O點轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中將圓的最頂端（切點）依次描下來即為所求軌跡。用此法可以使抽象問題形象化，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和分析問題的能力。例3、（11廣東）如圖19（a）所示，在以O(shè)為圓心，內(nèi)外半徑分別為和的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)，存在輻射狀電場和垂直紙面的勻強磁場，內(nèi)外圓間的電勢差U為常量，,一電荷量為+q，質(zhì)量為m的粒子從內(nèi)圓上的A點進入該區(qū)域，不計重力（1）已知粒子從外圓上以速度射出，求粒子在A點的初速

27、度的大小（2）若撤去電場，如圖19（b）,已知粒子從OA延長線與外圓的交點C以速度射出，方向與OA延長線成45°角，求磁感應(yīng)強度的大小及粒子在磁場中運動的時間（3）在圖19（b）中，若粒子從A點進入磁場，速度大小為，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應(yīng)強度應(yīng)小于多少？【解析】(1)根據(jù)動能定理，qUmvmv，所以v0 .(2)如圖所示，設(shè)粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，由幾何知識可知R2R2(R2R1)2，解得RR0.根據(jù)洛倫茲力公式qv2Bm，解得B.根據(jù)公式，2Rv2T，qv2Bm，解得t.(3)考慮臨界情況，如圖所示qv3B1m，解得B1，qv3B2m，解得B2

28、，綜合得：B<.【例1】如圖1所示，經(jīng)X軸的上方（）存在著垂直紙面向外的磁場，磁感應(yīng)強度為B，在原點O處有一離子源向X軸上方任意方向發(fā)射質(zhì)量為m，電量為q的正離子，速率都為V。對那些在XOY平面內(nèi)運動的離子，在磁場中可能達到的最大位移X= ，最大位移Y= 。（重力不計）圖2圖1【分析與解答】x············yBO·yxBACDOQP由于離子在O點向X軸上方任意方向以相同的速率V發(fā)射，很容易確定全部離子在磁場中做圓周運動的動態(tài)圓的圓心，都 在以O(shè)為圓心

29、、半徑為的半圓周ADC弧上，如左圖。很顯然，沿Y軸入射以D為圓心做圓周運動的離子將在X軸上有最大位移X，且X=OP=2；同理沿X軸負(fù)方向入射的離子，在Y軸上有最大的位移Y，且Y=OQ=2?！军c評】離子以相同的速率、不同方向射入磁場，動態(tài)圓的圓心在半個圓周上?！纠?】如圖,在邊界為AA/、DD/狹長區(qū)域內(nèi)，勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面向里，磁場區(qū)域?qū)挾葹閐。電子以不同的速率V從邊界AA/的S處沿垂直于磁場方向射入磁場，入射方向跟AA/的夾角為.已知電子的質(zhì)量為m，帶電量為e。為使電子能從另一邊界DD/射出，問電子的速率應(yīng)滿中足什么條件？（重力不計）DD/××

30、5;×××××××××AA/SV【分析與解答】由，得：圖3圖4不同速率的電子以相同的方向射入磁場后，做半徑不同的圓周運動。由左手定則決定的這些動態(tài)圓的圓心都 在與V方向垂直的射線SP上，如圖A所示。圖中沿1、2軌跡運動的電子均從AA/射出，而沿4、5軌跡運動的電子均從DD/射出。于是動態(tài)圓由1、2向4、5漸變過程中，總存在一個臨界圓，相應(yīng)的臨界半徑為r0,如圖4中軌跡3所示。當(dāng)r<r0jf ,電子從AA/射出；當(dāng)r>r0時，電子從DD/射出。因此，該臨界圓心與DD/相切。由幾何關(guān)系得：將代入上

31、式求解，得臨界速率為：故當(dāng)時，電子俑從另一邊界DD/射出?！军c評】電子以相同方向不同大小的速率由同一點射入磁場，動態(tài)圓的半徑不同，但其圓心都在過入射點且與初速度方向垂直的射線上?！纠?】如圖5，在邊界AA/、DD/狹長區(qū)域內(nèi)，勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，方向街紙面向里，磁場區(qū)域的寬度為d。電子槍S發(fā)射質(zhì)量為m、電量為e的電子，當(dāng)電子槍水平發(fā)射時；在DD/右側(cè)發(fā)現(xiàn)了電子當(dāng)電子槍在豎直平面內(nèi)發(fā)射時，剛剛在AA/左側(cè)發(fā)現(xiàn)了電子，試畫出電子在磁場中運動的軌跡，并計算該電子在邊界AA/的射入點和射出點間的距離（電子射入的速度始終為V0）【分析解答】在0-范圍內(nèi)由電子槍S射入磁場的電子，其動態(tài)圓的圓心都 在

32、以S為圓心，半徑為r的圓周EOF上，如圖5中的紅線所示，當(dāng)電子水平發(fā)射時，在DD/的右側(cè)發(fā)DD/××××××××××××AA/SV圖5CSrEFOQBdV現(xiàn)電子，由得到一隱含的重要的約束條件：。因此。只有圓心在O，動態(tài)圓剛好與DD/相切所對應(yīng)的電子才能從AA/邊界射出，所以該電子在磁場中的運動軌跡是弧線SQC，由幾何關(guān)系，得：AA/DD/V0OrCSBB圖6【點評】很多同學(xué)求解的結(jié)果看似正確，但卻畫出了如圖6所示的錯誤軌跡圖，其原因在于忽略了r>d這一隱含約束條件。如果

33、能從動態(tài)圓這一思維過程考慮，就能有效地避免錯誤。××××××××××××××××××××××××××××MNSB圖7【例4】如圖7所示，點S為一電子源，它可以在紙面內(nèi)的3600的范圍內(nèi)發(fā)射速率相同、質(zhì)量為m，電量為e的電子、M慢一塊足夠在的擋板，與點S的距離OS=L。擋板下面即電子源一側(cè)充滿垂直于紙面向里的勻強磁場，磁

34、感應(yīng)強度為B，問：（1） 若使電子源發(fā)射的電子有可能到達擋板，則發(fā)射的電子速率至少是多大？發(fā)射方向如何？（2） 若發(fā)射的電子的速率為（1）中所求的速率的2倍，則擋板被電子擊中的區(qū)域范圍有多大？發(fā)射方向的范圍如何？【分析與解答】（1）由：evB=mv2/r,得：MNObvb/PQaBACSB圖8因此，欲使電子能到達擋板，且速率最小的條件是r0=L/2，其電電子的最小速率為：，由左手定則，電子應(yīng)平行于MN板水平向左發(fā)射。（3） 當(dāng)V=2V0時，電子在磁場中做圓周運動的半徑r=2r0=L在由左手定則所確定的所有動態(tài)圓中，其圓心都應(yīng)在以S為圓心、半徑為L的圓周上，如圖8所示。在這個圓周上，只有以上半圓

35、周上各點為圓心的動態(tài)圓上的電子才能擊中擋板。因此，電子發(fā)射方向只能在沿SO和SA發(fā)射方向左側(cè)的0-范圍內(nèi)，如圖8所示的箭頭所示的角度范圍內(nèi)。在如圖8所示中，由SA方向順時針方向至SP方向發(fā)射的電子，其圓心在相應(yīng)的弧OQ上，打在板上的點b/ 到點b上，與最遠(yuǎn)點b對應(yīng)的圓心為點Q，發(fā)射方向為SO，由幾何關(guān)系，得Ob=L,所以板MN上被 電子打中的范圍為線段ab，則：ab=oa+ob=【點評】確定動態(tài)圓圓心的軌跡考慮電子在磁場中順時針運動才能擊中板的約束條件，進一步確定電子發(fā)射方向的范圍，再由動態(tài)圓的漸變到突變，在臨界狀態(tài)通過簡單的幾何關(guān)系求解極值，是解決這類問題的有效方法。如果能用動態(tài)圓

36、模型（紙板）直觀教學(xué)和練習(xí)，學(xué)生更是一目了然。常見題型1、帶電粒子速度大小相同，方向不同旋轉(zhuǎn)的動態(tài)圓例1（全國I卷第26題）如圖1所示，在0區(qū)域內(nèi)存在與平面垂直的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B。在時刻，一位于坐標(biāo)原點的粒子源在平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0180°范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在時刻剛好從磁場邊界上點離開磁場。求：(1)粒子在磁場中做圓周運動的半徑R及粒子的比荷；(2)此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與軸正方向夾角的取值范圍； (3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間?！窘馕觥?1)具體思路是做出從P點

37、離開磁場的帶電粒子的運動軌跡，如圖2所示，由幾何關(guān)系求出半徑，對應(yīng)的圓心角為，周期，在由周期得，也容易得弦OP與y軸正方向夾角為60°。 (2)下面重點分析此問，由于帶電粒子的初速度大小相同，可見半徑R相同，做出從不同方向射出的粒子的運動軌跡，其動態(tài)圓如圖3所示的。結(jié)合帶電粒子在磁場中做勻速圓周速度的特點，可知同一時刻仍在磁場內(nèi)的粒子到O點距離相同。在時刻仍在磁場內(nèi)的粒子應(yīng)位于以O(shè)點為圓心、OP為半徑的圓弧上，如圖4所示。設(shè)此時位于P、M、N三點的粒子初速度分別為、。由幾何關(guān)系可知，與OP、與OM、與ON的夾角均為60°，故所求答案為60°120°。(3

38、)由上面的分析也易得在磁場中飛行時間最長的粒子的運動軌跡應(yīng)與磁場右邊界相切，如圖5所示，由幾何關(guān)系可知OP=OM=MF，運動軌跡對應(yīng)的圓心角為240°，故所求答案為。需要說明的是求R還要其他數(shù)學(xué)方法，本文不做一一分析。例2（全國新課標(biāo)卷第25題）如圖6所示，在0、0范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B。坐標(biāo)原點O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在090°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于到之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁

39、場中做圓周運動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的(1)速度大小；(2)速度方向與y軸正方向夾角正弦。【解析】與上題分析類似，做出從不同方向射出的粒子的運動軌跡，動態(tài)圓如圖7所示的。設(shè)初速度與y軸正向的夾角為，當(dāng)較小時，粒子從磁場上邊界離開，越大，粒子在磁場中的運動時間越長；當(dāng)較大時，粒子從磁場右邊界或x軸正向離開，越大，粒子在磁場中的運動時間越短?？梢娮詈箅x開磁場的粒子即在磁場中運動時間最長的粒子，其軌跡圓應(yīng)與磁場的上邊界相切，如圖8所示。具體的求解是設(shè)粒子的發(fā)射速度大小為，則做圓周運動的半徑，由該粒子在磁場運動的時間為T/4得：OCA=90°由幾何關(guān)系可得：又聯(lián)立

40、解得：、。 2、帶電粒子速度方向相同，大小不同膨脹的動態(tài)圓例3（全國II卷第26題）如圖9所示左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U；兩板之間有勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點H射入磁場區(qū)域。不計重力。(1)已知這些離子中的離子甲到達磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質(zhì)量；(2)已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(圖中未畫出)穿出磁場，且GI長為3a/4，求離子乙的質(zhì)量；(3)若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達？【解析】由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運動，則有，解得粒子速度（為一定數(shù)值）本題雖然速度大小不變，但質(zhì)量m變，結(jié)合帶電粒子