第3章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，就可采用各種方法對(duì)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。控制系統(tǒng)的時(shí)域分析包括三個(gè)方面：穩(wěn)定性，暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)在某一個(gè)輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的函數(shù)，是描述系統(tǒng)的微分方程的解。 控制系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)的性質(zhì)，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及輸入信號(hào)的形式。在實(shí)際的使用中，控制系統(tǒng)的輸入信號(hào)是多種多樣的。為了簡(jiǎn)化問題，在分析系統(tǒng)時(shí)，采用典型的輸入信號(hào)。典型的輸入信號(hào)常用的典型輸入信號(hào)有以下種.階躍函數(shù))(tr，t0 A，t0sAsR)(A=1時(shí)，為單位階躍函數(shù)典型的輸入信號(hào)斜坡函數(shù))(tr，t0At，t02

2、)(sAsRA=1時(shí)，為單位斜坡函數(shù)。斜坡函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是階躍函數(shù)。典型的輸入信號(hào)3.加速度函數(shù))(tr，t0 A，t02t32)(sAsR21A時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)，這時(shí)在分析隨動(dòng)系統(tǒng)時(shí)常用斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)。31)(ssR典型的輸入信號(hào).脈沖函數(shù))(tr0,At)0(t當(dāng)時(shí)，令得單位脈沖函數(shù)，的面積等于，即有的積分就是單位階躍函數(shù) 的拉氏變換為1。0)(t)(t 1)(dtt)(t)(t典型的輸入信號(hào)正弦函數(shù)tAtrsin)(系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)，在第五章將專門討論，這一章僅討論系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)，也就是時(shí)域響應(yīng)。一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)一階系統(tǒng)的框圖如下系

3、統(tǒng)的傳函為11)()(ssRsC分析系統(tǒng)在零初始條件下對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)01)(11) 1(1)(1)(tetcsssssCssRt，單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條指數(shù)曲線，它的特點(diǎn)是：（）在t=0處，曲線的斜率為 。（）t=時(shí)，曲線上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。（）t=時(shí)，輸出達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%， ?？梢娨浑A系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，響應(yīng)快。13%984時(shí)，1當(dāng)系統(tǒng)的輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%或98%時(shí)，我們認(rèn)為系統(tǒng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間稱為系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，對(duì)于一階系統(tǒng)，響應(yīng)時(shí)間為。)43(一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)單位斜坡響應(yīng)0)1 ()(,11111)(,1

4、)(2222tetettcssssssCssRtt，輸出與輸入的誤差為0),1 ()()()(tetctrtet當(dāng)時(shí)，t)(te越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)01)(11)(1)(tetcssCsRt，也可直接由單位階躍響應(yīng)的求導(dǎo)得出上式結(jié)果一階系統(tǒng)的特征可用一個(gè)參量時(shí)間常數(shù)來表示一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)響應(yīng)時(shí)間為（）t=0時(shí)，單位階躍響應(yīng)的變化率為t=0時(shí)，單位脈沖響應(yīng)的幅值為單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)可以看出，系統(tǒng)對(duì)某信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)反之，系統(tǒng)對(duì)某信號(hào)積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)該信號(hào)響應(yīng)

5、的積分。這是線性定常系統(tǒng)不同于線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的重要特性。11二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)在分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性常被視為一種基準(zhǔn)，雖然實(shí)際中的系統(tǒng)不盡是二階系統(tǒng)，但高階系統(tǒng)?？梢杂枚A系統(tǒng)近似。因此對(duì)二階系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行重點(diǎn)討論。21221)()(kksskksRsC212211kksskk二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)令則,21,221nnkk2222)()(nnnsssRsC上式為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。阻尼比或衰減系數(shù)無阻尼自然震蕩角頻率由系統(tǒng)的特征方程不難求出閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為nnss)1()1(2221n二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)一二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的響應(yīng)分

6、三種情況討論過阻尼的情況閉環(huán)極點(diǎn)為）（1nnss)1()1(2221是小于零的兩個(gè)實(shí)根21,1ss，二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可求得如下：22110212222)()2()(ssAssAsAsssssssssCnnnn按不同極點(diǎn)的情況求系數(shù)210,AAA)1(121)()()1(121)()(1)(222222110021ssssssssCAsssCAssCA二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)求拉氏反變換，得 0,111211)(2)1(2)1(222teetcttnn可見，單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量?jī)刹糠纸M成，而暫態(tài)分量包含兩項(xiàng)衰減的指數(shù)項(xiàng)比較兩項(xiàng)的衰減指數(shù)，當(dāng) 時(shí)，后一項(xiàng)的衰減指數(shù)遠(yuǎn)大于前

7、一項(xiàng)，就是后一項(xiàng)衰減得很快，只在響應(yīng)的初期有影響。所以對(duì)過阻尼二階系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)，可以近似為一階系統(tǒng)，將后一項(xiàng)忽略。得到近似傳遞函數(shù)：222211)()(sssssRsCnnnn二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)近似傳函與原傳函的初始值和終值保持不變。01)()1(2tetctn，系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間為）達(dá)到%95()1(32n相當(dāng)于慣性時(shí)間常數(shù)n)1(12在工程上，當(dāng)時(shí)，使用上述近似關(guān)系已有足夠的準(zhǔn)確度了5 . 1此時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)欠阻尼的情況系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為10nnjsjs)1()1(2221是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因?yàn)閷?shí)部極點(diǎn)為負(fù)所以位于左半平面。單位階躍輸入時(shí)，輸出的拉氏變換為：),(n)

8、1)(1()(222nnnnnjsjsssC 二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)查拉氏變換表，可求得：0),1arctan1sin(111)(222ttetcntn欠阻尼時(shí)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 的第一項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)分量，第二項(xiàng)是振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的阻尼正弦振蕩，其振蕩頻率為)(tc21ndd稱為阻尼自然振蕩頻率。響應(yīng)為時(shí)，可得系統(tǒng)的無阻尼當(dāng)0ttcncos1)(是無阻尼等幅振蕩，為系統(tǒng)的無阻尼自然頻率。越小。的范圍在越大的總是小于dnd),10( ,n.臨界阻尼的情況) 1(1當(dāng)時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)為：ns2, 1單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為22)()(nnsssc求其拉氏反變換，得0)1 (1)(ttetcntn，此時(shí)二階系統(tǒng)的

9、單位階躍響應(yīng)為單調(diào)上升曲線。二階系統(tǒng)有兩個(gè)參數(shù)和，阻尼比是二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)，不同阻尼比的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)有很大區(qū)別。n二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)取橫坐標(biāo)為，不同阻尼比值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線族如圖所示：tn從圖可見：（）越小，振蕩越厲害，當(dāng)增大到以后，曲線變?yōu)閱握{(diào)上升。（）之間時(shí)，欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。（）在無振蕩時(shí)，臨界阻尼系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)。（）過阻尼系統(tǒng)過渡過程時(shí)間長(zhǎng)。8 . 05 . 0二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)響應(yīng)二二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)二二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無阻尼自然振蕩角頻率對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)具有決定性的影響?，F(xiàn)在針

10、對(duì)阻尼的情況，討論暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與特征參量的關(guān)系。欠阻尼時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為n) 10(0),1arctan1sin(11)(222ttetcntn（）（）1.上升時(shí)間在暫態(tài)過程中，第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間在（）式中令c(t)=1，可得rt0)1arctan1sin(1222tentn故只有時(shí)，, 0rntrett0)1arctan1sin(22tn.2 , 1 , 0,1arctan122nntrn則必有二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)響應(yīng)因?yàn)樯仙龝r(shí)間是第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，故取n=1,于是)1arctan(111arctan222dnrt峰值時(shí)間響應(yīng)由零上升到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間pt對(duì)（）求一階系

11、數(shù)，并令其為零，得0)sin(1)cos(1)(22pdtnpdtdtttetedttdcnnp二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)響應(yīng)移項(xiàng)并約去公因子后得21)tan(ndpdt到達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)，從而得pdt21ndptpnpntt一定時(shí)，一定時(shí)，二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)響應(yīng)3最大超調(diào)量pM最大超調(diào)量發(fā)生在時(shí)刻，將代入（）式，便得ptt ptt %10021eMp從上式可見，完全由決定，pMpM01%1000ppMM，調(diào)整時(shí)間st)(tc與穩(wěn)態(tài)值之間的差值達(dá)到允許范圍（取或）時(shí)的暫態(tài)過程時(shí)間)(c)02. 0(05. 0)sin(11)()(2或tetccedtn滿足上式的值有多個(gè)，按定義，其中最小的值是調(diào)整時(shí)間s

12、tst為簡(jiǎn)單起見，采用近似的計(jì)算方法，認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到0.05或0.02時(shí)，暫態(tài)過程結(jié)束，因此忽略正弦函數(shù)的影響，得到二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)響應(yīng))02.0(05.0112或tne由此可求得nnsnnstt4)1ln(2141%)2(3)1ln(2131%)5(229 . 00st近似與成反比n在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，通常由要求的決定，所以由所決定pMstn二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)響應(yīng)結(jié)論：（）根據(jù)值的大小可以間接判斷一個(gè)二階系統(tǒng)的暫態(tài)特性 ，單位階躍響應(yīng)為單調(diào)曲線，沒有超調(diào)和振蕩，但調(diào)整時(shí)間較長(zhǎng)，系統(tǒng)反應(yīng)遲緩 ，響應(yīng)為單調(diào)曲線，調(diào)整時(shí)間比的情況短 ，輸出為等幅振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。a.一般希望二階系統(tǒng)工作在欠阻

13、尼狀態(tài)下，但不能過小，否則大，多，長(zhǎng)，為了限制超調(diào)量，應(yīng)在0.40.8之間，這時(shí)超調(diào)量將在25%2.5%之間 101110pMst二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)響應(yīng)因?yàn)橹缓陀嘘P(guān)，常根據(jù)允許的來選擇pMpM（）以閉環(huán)極點(diǎn)在平面上的位置可以大致估計(jì)和的大小 與閉環(huán)極點(diǎn)，到實(shí)軸的距離成反比 可近似地認(rèn)為與閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離成反比a.在一定時(shí)，可通過改變來改變，越大，越短stptpt21nst21nstnnst二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)響應(yīng)例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)2(4)(sssG確定系統(tǒng)的和，并求最大超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間npMst解：因?yàn)榭傻胹teMsssssGnspnnnn33%)5(%3.16%1005

14、.02224)2(4)2()(212，二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)響應(yīng)三二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)三二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)2222)(nnnsssc通過對(duì)單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)可得到單位脈沖響應(yīng)時(shí)1001sin1)(22ttetcntnn，10)(2ttetctnn，101212)()1(2)1(222teetctntnnn，二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)響應(yīng)臨界阻尼和過阻尼情況，單位脈沖響應(yīng)總是大于，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是單調(diào)曲線欠阻尼時(shí)，響應(yīng)曲線圍繞零值衰減振蕩根據(jù)單位階躍響應(yīng)與單位脈沖響應(yīng)之間的關(guān)系，單位脈沖響應(yīng)以一段曲線下所包圍的面積等于，曲線與t 軸所包圍面積的總和（或數(shù)和）為ptt0pM1高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)凡是用高階微分方

15、程描述的系統(tǒng)，稱為高階系統(tǒng)。高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳函分母中s的最高幕次n2.高階系統(tǒng)閉環(huán)傳函的一般形式為qirknknkkimjjnnnnmmmmsspszsKsRsCasasasabsbsbsbsRsC1122111101110)2()()()()()()(或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)數(shù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)個(gè)數(shù)，rqrqn2高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為0)1cos(1)(121tteDeAtcrkkknktkqitpinkki，數(shù)。是由零、極點(diǎn)確定的常式中knkiDA,從上式可見，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量?jī)蓚€(gè)部分組成。而暫態(tài)分量又是由一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)分量的合成.高階系統(tǒng)暫態(tài)響

16、應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)決定。系統(tǒng)極點(diǎn)在左半平面離虛軸越遠(yuǎn)，響應(yīng)的分量衰減得越快。高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng).各暫態(tài)分量的系數(shù)還和零點(diǎn)的位置有關(guān)。若一對(duì)零、極點(diǎn)很靠近，則該極點(diǎn)對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響很?。ù藭r(shí)對(duì)應(yīng)的系數(shù)很?。Ｈ裟硞€(gè)極點(diǎn)附近沒有零點(diǎn)，且距離原點(diǎn)較近，則就大，對(duì)暫態(tài)分量的影響就大。由于以上兩點(diǎn)，對(duì)于系數(shù)很小的分量和衰減很快的分量常常忽略，用低階系統(tǒng)的響應(yīng)去近似高階系統(tǒng)的響應(yīng)。這就是合理的簡(jiǎn)化，既不改變問題的性質(zhì)，又使處理過程簡(jiǎn)單。iAiAiA高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng).如果高階系統(tǒng)中距虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部比其他極點(diǎn)實(shí)部的五分之一還要小，并且附近不存在零點(diǎn)可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點(diǎn)決定這些

17、對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點(diǎn)，稱為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)如果找到一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)就可近似地作為二階系統(tǒng)分析。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一穩(wěn)定的基本概念一穩(wěn)定的基本概念一個(gè)線性系統(tǒng)正常工作的首要條件是系統(tǒng)必須保持穩(wěn)定這向我們提出兩個(gè)問題：什么樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的；線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是什么一個(gè)控制系統(tǒng)，如果在擾動(dòng)的作用下，偏離了原有的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后，又能回到原來的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；反之，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)不能回到原有的平衡狀態(tài)，或偏離量隨時(shí)間增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，則該系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)在實(shí)際使用中，系統(tǒng)總要受到各種擾動(dòng)的作用，顯然不穩(wěn)定系統(tǒng)就無法工作線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性高階系統(tǒng)的單位階躍響

18、應(yīng)為rkkknktkqitpiteDeAtcnkki121)1cos(1)(如果系統(tǒng)穩(wěn)定，其暫態(tài)分量的各個(gè)項(xiàng)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)應(yīng)很快趨近于，從上式看：指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)為負(fù)值，就是說實(shí)數(shù)極點(diǎn)應(yīng)位于負(fù)實(shí)軸上；振蕩衰減項(xiàng)的指數(shù)部分應(yīng)為負(fù)值，也就是說共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部應(yīng)為負(fù)，即共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)位于左半平面；系統(tǒng)中只要有一個(gè)極點(diǎn)位于右半平面，或虛軸上，暫態(tài)分量就是發(fā)散的或不衰減的，系統(tǒng)就不穩(wěn)定iPnkk由此可得到線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件系統(tǒng)特征方程的所有根（系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)），均位于左半平面線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性二勞斯穩(wěn)定判據(jù)二勞斯穩(wěn)定判據(jù)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定與否，取決于特征根的實(shí)部是否均為負(fù)值（左半平面）但是求解高階系

19、統(tǒng)的特征方程是相當(dāng)困難的而勞斯判據(jù)，避免解特征方程，只需對(duì)特征方程的系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，就可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此這種數(shù)據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式0121110nnnnnasasasasa線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性并將各系數(shù)排列成勞斯表.170613150412130211aaaaabaaaaabaaaaab線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性表中的有關(guān)系數(shù)為一直進(jìn)行到求得的b值全部等于零為止。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性這一計(jì)算過程一直進(jìn)行到與對(duì)應(yīng)的一行為止。為了簡(jiǎn)化數(shù)值運(yùn)算，可以用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一行的各項(xiàng)，并不改變結(jié)論的性質(zhì)。.141713131512121311bbaabbbbaabcbb

20、aabc0S 勞斯判據(jù)：系統(tǒng)極點(diǎn)實(shí)部為正實(shí)數(shù)根的勞斯判據(jù)：系統(tǒng)極點(diǎn)實(shí)部為正實(shí)數(shù)根的數(shù)目等于勞斯表中第一列的系數(shù)符號(hào)改變的數(shù)目等于勞斯表中第一列的系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。系統(tǒng)極點(diǎn)全部在復(fù)平面的左半平面的次數(shù)。系統(tǒng)極點(diǎn)全部在復(fù)平面的左半平面的充分必要條件是方程的各項(xiàng)系數(shù)全部為正值，充分必要條件是方程的各項(xiàng)系數(shù)全部為正值，并且勞斯表的第一列都具有正號(hào)。并且勞斯表的第一列都具有正號(hào)。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性KsssKKsssKsRsC56)5(1)()(2305623Ksss例3-2 設(shè)反饋控制系統(tǒng)如圖 所示，求滿足穩(wěn)定要求時(shí)K的臨界值。解：閉環(huán)傳函系統(tǒng)的特征方程為列出勞斯表根據(jù)勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其第一列均

21、為正數(shù)，即K0，30-K0 0K30得到滿足穩(wěn)定的臨界值30CK線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性（1）若得 負(fù)值 ，應(yīng)將結(jié)果改 假定我們不取K為負(fù)值。（2）實(shí)際上要求系統(tǒng)工作在K小于臨界值的狀態(tài)，當(dāng)K=臨界值時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是等幅振蕩，相當(dāng)于有一對(duì)共軛負(fù)數(shù)極點(diǎn)位于虛軸上。顯然不能正常工作。CK CK 02 .勞斯判據(jù)的兩種特殊情況（1）某行第一列的系數(shù)為零，該行其余各項(xiàng)中某些項(xiàng)不等于零。在這種情況下，可以用一個(gè)很小的正數(shù) 來代替零值項(xiàng)，然后按通常的方法計(jì)算勞斯表中其余各項(xiàng)。如果 上面一行的系數(shù)符號(hào)與 下面一行的系數(shù)符號(hào)相反，表明有一個(gè)符號(hào)變化。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性例3-3 特征方程為0122234ssss勞

22、斯表為考察第一列各項(xiàng)系數(shù)。當(dāng)時(shí)，是一個(gè)很大的負(fù)數(shù)因此第一列各項(xiàng)數(shù)值的符號(hào)改變了兩次。按勞斯判據(jù)，該系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)具有正實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的022 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性（）某行所有系數(shù)均為零的情況如果出現(xiàn)這種情況，則表明在平面中有對(duì)稱于原點(diǎn)的實(shí)根，或共軛虛根存在。可用下述方法處理第一步：取元素全為零的前一行，以其系數(shù)組成輔助方程，式中的均為偶次（根是對(duì)稱出現(xiàn)的）第二步：求輔助方程對(duì)的導(dǎo)數(shù)，以其系數(shù)代替全為零值的一行，第三步：用通常的方法繼續(xù)求下面各行的系數(shù)，并判斷穩(wěn)定性第四步：解輔導(dǎo)方程，得各對(duì)稱根線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性例已知系統(tǒng)特征方程，判斷穩(wěn)定性01616201282)(23456sssssssD勞斯

23、表為行的各項(xiàng)組成輔助方程將4sssdssdAsssA124)(86)(324將輔助方程求導(dǎo)后的系數(shù)作為行的元素，并往下計(jì)算各行，得：3s線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性勞斯表的第一列各項(xiàng)符號(hào)沒有改變，因此系統(tǒng)在右半平面沒有極點(diǎn)但由于行的各項(xiàng)為零，說明有共軛虛數(shù)極點(diǎn)?？捎奢o助方程求出。解3s220864, 32, 124jsjsss，得線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性小結(jié)：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的特征根位于左半平面勞斯判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的某一參數(shù)的范圍。勞斯判據(jù)沒有也不能說明為避免系統(tǒng)不穩(wěn)定，應(yīng)該爭(zhēng)取的校正途徑系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析我們?cè)?jīng)規(guī)定了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)現(xiàn)在要討論系統(tǒng)跟蹤輸入信號(hào)的精確度或

24、抑制干擾信號(hào)的能力穩(wěn)態(tài)誤差：一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)經(jīng)過足夠長(zhǎng)的時(shí)間后其暫態(tài)響應(yīng)已衰減到微不足道，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之間的誤差我們不考慮由于元件的不靈敏，零點(diǎn)漂移和老化所造成的永久性誤差穩(wěn)態(tài)誤差只與輸入信號(hào)的形式和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量有關(guān)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性型系統(tǒng)型型分別稱為節(jié)個(gè)數(shù)開環(huán)傳函中串聯(lián)積分環(huán)系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，系統(tǒng)的總開環(huán)增益OvvTK, 2 , 1 , 0) 1() 1() 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(112121vnjjvmiivnvmsTssksTsTsTsssksHsG一、控制系統(tǒng)的類型一、控制系統(tǒng)的類型對(duì)控制系統(tǒng)按照跟蹤階躍輸入信號(hào)，斜坡輸入信號(hào)和拋物線輸入信號(hào)的能力進(jìn)行分類

25、設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、誤差傳遞函數(shù)、單位反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)閉：)()(11)()(1)()()()()(sRsGsRsGsGsRsCsRsE)(1)()()(sGsGsRsC)(11)()(sGsRsE)(1)(lim)(lim)(limsGsRssSEteesstsr誤差信號(hào)定義為單位反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差可由終值定理求得，為：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性例一階系統(tǒng)TsTsTssRsE1111)()(a)(b)TsTsTssessRsTsTssessRssrssr202011lim1)(011lim1)(，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性例二階系統(tǒng)222)2()()(nnns

26、ssssRsE(a)(b)nnnnssrnnnssrssssssessRssssssessR212)2(lim1)(012)2(lim1)(22202220，這兩個(gè)都是型系統(tǒng)（ =1），對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為，對(duì)斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一個(gè)常數(shù)。v線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性擾動(dòng)誤差傳遞函數(shù)干擾誤差傳函的形式隨干擾信號(hào)源在系統(tǒng)中作用點(diǎn)的改變而不同，現(xiàn)只說明一種情形，根據(jù)同樣方法可以推出其他情形的擾動(dòng)誤差傳函。)()(1)()()(212sGsGsGsNsC令，得等效框圖0)(sR線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差)()()(1)(1lim2120sNsGsGsGsessn)()(1)()()(212sGsGsGsN

27、sEn擾動(dòng)誤差傳函而在時(shí)，0)(sR)()(sCsEn線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性三靜態(tài)誤差系數(shù)三靜態(tài)誤差系數(shù)靜態(tài)位置誤差系數(shù)靜態(tài)位置誤差系數(shù)在單位階躍信號(hào)作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差pK)0()0(111)()(1lim0HGssHsGsessr令)0()0()()(lim0HGsHsGKsp為靜態(tài)位置誤差系數(shù)，則穩(wěn)態(tài)誤差終值為psrKe11線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性a.型系統(tǒng)KeKsTsKKsrnjjmiisp11)1()1(lim110b.型、型系統(tǒng)0)1()1(lim110srvnjjvmiispesTssKK21或v線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論結(jié)論： （1）當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳函中無積分環(huán)節(jié)時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，欲減小穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增大開環(huán)增益K。但K的增大受系統(tǒng)穩(wěn)定性的制約。