特殊平行四邊形典型例題解析題

1、一、參考例題例 1如下圖， ABC 中，點(diǎn) O 是 AC 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) O 作直線 MNBC，設(shè) MN 交 BCA 的平分線于點(diǎn) E，交 BCA 的外角平分線于點(diǎn) F.(1)求證： EO=FO(2)當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF 是矩形？并說(shuō)明你的結(jié)論.分析： (1)要證明 OE=OF，可借助第三條線段 OC，即證： OE=OC，OF=OC，這兩對(duì)線段又分別在兩個(gè)三角形中，所以只需證 OEC、 OCF 是等腰三角形，由已知條件即可證明 .(2)假設(shè)四邊形 AECF 是矩形，則對(duì)角線互相平分且相等，四個(gè)角都是直角.由已知可得到： ECF=90°，由 (1)可證得 OE=

2、OF，所以要使四邊形AECF 是矩形 ,只需OA=OC.證明： (1) CE、 CF 分別是 ACB、 ACD 的平分線 . ACE=BCE， ACF= DCFMN BC OEC=ECB， OFC= FCD ACE=OEC， ACF=OFCOE=OC，OF=OC OE=OF(2)當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)動(dòng)到 AC 的中點(diǎn)時(shí)，即 OA=OC又由 (1)證得 OE=OF四邊形 AECF 是平行四邊形 (對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)由(1)知： ECA+ACF= 1ACB+ 1 ACD=1(ACB+°222ACD)=90即 ECF=90°四邊形 AECF 是矩形 .因此：當(dāng)點(diǎn) O 運(yùn)

3、動(dòng)到 AC 的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF 是矩形 .例 2如下圖，已知矩形 ABCD 的對(duì)角線 AC、BD 相交于 O，OFAD 于 F，OF=3 cm， AEBD 于 E，且 BE ED=13，求 AC 的長(zhǎng) .分析：本題主要利用矩形的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算 .即：由矩形的對(duì)角線互相平分且相等；可導(dǎo)出 BE=OE，進(jìn)而得出 AB=AO，即得出 BE=OF=3 cm，求出 BD 的長(zhǎng)，即 AC 的長(zhǎng) .解：四邊形 ABCD 是矩形 . AC=BD,OB=OD=OA=OC 又 BEED=13 BEBO=12 BE=EO 又 AEBO ABE ADEAB=OA 即 AB=AO=OB BAE=EAO=30&

4、#176;， FAO=30° ABE AOF BE=OF=3 cm,BD=12 cm AC=BD=12 cm二、參考練習(xí)1.如圖，有一矩形紙片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，將紙片沿 EF 折疊，使點(diǎn) B 與 D 重合，求折痕 EF 的長(zhǎng) .解：連結(jié) BD、 BE、 DF由折疊的意義可知： EFBD，EF 平分 BD.BE=ED,BF=FD四邊形 ABCD 為矩形AB=CD，AD=BC， C=90°， AD BC EDO=FBO點(diǎn) B和D重合BO=DO， BOF= DOE BOF DOE ED=BF， ED=BF=FD=BE四邊形 BFDE 是菱形S菱形= 1&#

5、215; BD× EF=BF×CD2BF=DF，可設(shè) BF=DF=x則 FC=8x在 RtFCD 中，根據(jù)勾股定理得：x22+62=(8x)x= 25 18262EF256EF=7.5424因此，折痕 EF 的長(zhǎng)為 7.5 cm.2.當(dāng)平行四邊形 ABCD 滿足條件 _時(shí)，它成為矩形 (填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可 ).答案： BAC=90°或AC=BD 或 OA=OB 或 ABC+ ADC=180°或 BAD+ BCD=180°等條件中的任一個(gè)即可.典型例題例 1?如圖，在菱形 ABCD中， E 是 AB的中點(diǎn)，且，求：（1）的度數(shù)；（ 2）

6、對(duì)角線 AC的長(zhǎng)；（ 3）菱形 ABCD的面積分析?（ ）由E 為 AB的中點(diǎn)，可知DE是 AB的垂直平分線，從而，1且，則是等邊三角形，從而菱形中各角都可以求出（ 2）而，利用勾股定理可以求出AC（ 3）由菱形的對(duì)角線互相垂直，可知解? （1）連結(jié) BD，四邊形 ABCD是菱形，是 AB的中點(diǎn)，且，是等邊三角形，也是等邊三角形（2）四邊形 ABCD是菱形， AC與 BD互相垂直平分，（3）菱形 ABCD的面積說(shuō)明：本題中的菱形有一個(gè)內(nèi)角是 60°的特殊的菱形，這個(gè)菱形有許多特點(diǎn)，通過(guò)解題應(yīng)該逐步認(rèn)識(shí)這些特點(diǎn)例 2? 已知：如圖，在菱形ABCD中，于于 F求證：分析 ? 要證明，可以

7、先證明，而根據(jù)菱形的有關(guān)性質(zhì)不難證明，從而可以證得本題的結(jié)論證明 ? 四邊形 ABCD是菱形，且，例 3 已知：如圖，菱形ABCD中， E，F(xiàn) 分別是 BC，CD上的一點(diǎn)，求的度數(shù) .?解答：連結(jié) AC.?四邊形 ABCD為菱形，.?與為等邊三角形 .?， ，為等邊三角形 .?，說(shuō)明 本題綜合考查菱形和等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連 AC，證.?例 4 ? 如圖，已知四邊形和四邊形都是矩形，且求證：垂直平分分析 ? 由已知條件可證明四邊形是菱形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線平分對(duì)角以及等腰三角形的“三線合一”可證明垂直平分證明：四邊形、都是矩形，四邊形是平行四邊形，在和中四邊形平分垂直平分例 5? 如圖

8、，求證：分析? 要證?，是平行四邊形四邊形是菱形? 平分? 中，、在直線上，且，關(guān)鍵是要證明四邊形是菱形，然后利用菱形的性質(zhì)證明結(jié)論證明 ?四邊形，是平行四邊形，在和中 ? 同理：? 四邊形是平行四邊形? 四邊形是菱形?典型例題例 1? 一個(gè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角是它鄰角的 3 倍，那么這個(gè)平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角各是多少度？分析 ? 根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)可以求出四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)解?設(shè)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為x，則它的鄰角的度數(shù)為x，根據(jù)題意，得3，解得，這個(gè)平行四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為 45°， 135°， 45°， 135°例2?已知：

9、如圖，的周長(zhǎng)為，對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) O，的周長(zhǎng)60cm比的周長(zhǎng)多 8cm，求這個(gè)平行四邊形各邊的長(zhǎng)分析 ? 由平行四邊形對(duì)邊相等， 可知平行四邊形周長(zhǎng)的一半30cm，又由的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多 8cm，可知cm，由此兩式，可求得各邊的長(zhǎng)解? 四邊形為平行四邊形，答：這個(gè)平行四邊形各邊長(zhǎng)分別為19cm，11cm，19cm， 11cm說(shuō)明：學(xué)習(xí)本題可以得出兩個(gè)結(jié)論：（ 1）平行四邊形兩鄰邊之和等于平行四邊形周長(zhǎng)的一半（2）平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，相鄰兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之差等于鄰邊之差例 3已知：如圖，在中，交于點(diǎn) O，過(guò) O點(diǎn)作 EF交 AB、CD于 E、 F，那么 OE、OF是否相等，

10、說(shuō)明理由分析 ? 觀察圖形，從而可說(shuō)明證明? 在中，交于 O，例 4? 已知：如圖，點(diǎn) E 在矩形 ABCD的邊 BC上，且，垂足為 F。求證：分析 ? 觀察圖形，與都是直角三角形，且銳角，斜邊，因此這兩個(gè)直角三角形全等。在這個(gè)圖形中，若連結(jié)AE，則與全等，因此可以確定圖中許多有用的相等關(guān)系。證明 ? 四邊形 ABCD是矩形，又，。若例 5O是ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，的周長(zhǎng)為 59，則_，與的周長(zhǎng)之差為，則，ABCD的周長(zhǎng)=_.?15_解答：ABCD中，.?的周長(zhǎng).?在ABCD中，.?的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)? ABCD的周長(zhǎng)說(shuō)明：本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將與的周長(zhǎng)的差轉(zhuǎn)化為兩條線段的差 .?例 6?