2015年《高校自主招生考試》數(shù)學(xué)真題分類解析之7、解析幾何

1、專題之7、解析幾何一、選擇題。1(2009年復(fù)旦大學(xué))設(shè)ABC三條邊之比ABBCCA=324,已知頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,0),B的坐標(biāo)是(a,b),則C的坐標(biāo)一定是2(2009年復(fù)旦大學(xué))平面上三條直線x2y+2=0,x2=0,x+ky=0,如果這三條直線將平面劃分成六個(gè)部分,則k可能的取值情況是A.只有唯一值B.可取二個(gè)不同值 C.可取三個(gè)不同值D.可取無窮多個(gè)值3(2010年復(fù)旦大學(xué))已知常數(shù)k1,k2滿足0<k1<k2,k1k2=1.設(shè)C1和C2分別是以y=±k1(x1)+1和y=±k2(x1)+1為漸近線且通過原點(diǎn)的雙曲線,則C1和C2的離心率之比等于5(

2、2011年復(fù)旦大學(xué))A.sin =1B.cos =1C.cos =1D.sin =16(2011年復(fù)旦大學(xué))設(shè)直線L過點(diǎn)M(2,1),且與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),滿足|MA|=|MB|,即點(diǎn)M(2,1)是A,B的連接線段的中點(diǎn),則直線L的方程是A.y=x1B.y=x+3C.2y=3x4D.3y=x+57(2011年復(fù)旦大學(xué))設(shè)有直線族和橢圓族分別為x=t,y=mt+b(m,b為實(shí)數(shù),t為參數(shù))和(a是非零實(shí)數(shù)),若對于所有的m,直線都與橢圓相交,則a,b應(yīng)滿足A.a2(1b2)1B.a2(1b2)>1 C.a2(1b2)<1D.a2(1b2)18(2011年復(fù)旦大學(xué))極坐

3、標(biāo)表示的下列曲線中不是圓的是A.2+2(cos +sin )=5B.26cos 4sin =0 C.2cos =1D.2cos 2+2(cos +sin )=19.10.(2012年復(fù)旦大學(xué))A.圓或直線B.拋物線或雙曲線 C.雙曲線或橢圓D.拋物線或橢圓11(2011年同濟(jì)大學(xué)等九校聯(lián)考)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,且ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn),若BC邊所在直線的方程為4x+y20=0,則拋物線方程為A.y2=16xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=8xA.2B.2C.4D.413(2011年清華大學(xué)等七校聯(lián)考)AB為過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的弦

4、,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且OFA=135°,C為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),則ACB的正切值為14(2012年清華大學(xué)等七校聯(lián)考)橢圓長軸長為4,左頂點(diǎn)在圓(x4)2+(y1)2=4上,左準(zhǔn)線為y軸,則此橢圓離心率的取值范圍是二、解答題。15(2009年華南理工大學(xué))設(shè)三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,1),B(1,2),C(3,1),D,E分別為AB,BC上的點(diǎn),M是DE上一點(diǎn),且(1)求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍;(2)求點(diǎn)M的軌跡方程.16(2009年南京大學(xué))在x軸上方作與x軸相切的圓,切點(diǎn)橫坐標(biāo)為,過B(3,0),C(3,0)分別作圓的切線,兩切線交于點(diǎn)P,Q是C在銳角BPC的平分線

5、上的射影.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程及其橫坐標(biāo)的取值范圍;(2)求點(diǎn)Q的軌跡方程.17(2010年南京大學(xué))設(shè)|y216x|=25616|x|.(1)記方程表示的曲線圍成的封閉區(qū)域?yàn)镈,試作出這個(gè)區(qū)域D;(2)過拋物線y2=16x焦點(diǎn)的直線l與該拋物線交于P,Q兩點(diǎn),若|PQ|=a,求SOPQ;(3)當(dāng)過拋物線y2=16x焦點(diǎn)的直線l與該拋物線在區(qū)域D內(nèi)的部分相交于P,Q時(shí),求SOPQ的最大值.18(2009年浙江大學(xué))雙曲線 =1(a>0,b>0)的離心率為,A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)在雙曲線上,且x1x2.(1)若線段AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)Q(4,0),且線段

6、AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),試求x0的值;(2)雙曲線上是否存在這樣的點(diǎn)A與B,滿足OAOB?19(2011年同濟(jì)大學(xué)等九校聯(lián)考)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(1,0),F2(1,0),且橢圓與直線y=x相切.(1)求橢圓的方程;(2)過F1作兩條互相垂直的直線l1,l2與橢圓分別交于P,Q及M,N,求四邊形PMQN面積的最大值與最小值.20(2012年同濟(jì)大學(xué)等九校聯(lián)考)拋物線y2=2px(p>0),F為拋物線的焦點(diǎn),A、B是拋物線上兩點(diǎn),線段AB的中垂線交x軸于D(a,0),a>0,(1)證明:a是p、m的等差中項(xiàng);(2)若m=3p,l為平行于y軸的直線,其被以AD為直徑的圓所

7、截得的弦長為定值,求直線l的方程.21(2009年清華大學(xué))有限條拋物線及其內(nèi)部能否覆蓋整個(gè)坐標(biāo)平面?證明你的結(jié)論.22(2009年清華大學(xué))已知|PM|PN|=2,M(2,0),N(2,0).(1)求點(diǎn)P的軌跡W;(2)直線y=k(x2)與W交于點(diǎn)A,B,求SOAB(O為原點(diǎn)).23(2009年清華大學(xué))橢圓C: + =1(a>b>0),直線l過點(diǎn)A(a,0),與橢圓交于點(diǎn)Q,與y軸交于點(diǎn)R,過原點(diǎn)的平行于l的直線l'與橢圓交于點(diǎn)P,證明:|AQ|, |OP|,|AR|成等比數(shù)列.24(2010年清華大學(xué)等五校聯(lián)考)設(shè)A,B,C,D 為拋物線x2=4y上不同的四點(diǎn),A,D

8、關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱,BC 平行于該拋物線在點(diǎn)D 處的切線l.設(shè)D 到直線AB,AC 的距離分別為d1,d2,()判斷ABC是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中的哪一種三角形,并說明理由;()若ABC 的面積為240,求點(diǎn)A 的坐標(biāo)及直線BC的方程.25 (2011年清華大學(xué)等七校聯(lián)考)F1、F2分別為C的左、右焦點(diǎn),P為C右支上一點(diǎn),(1)求C的離心率e;(2)設(shè)A為C的左頂點(diǎn),Q為第一象限內(nèi)C上的任意一點(diǎn),問是否存在常數(shù)(>0),使得QF2A=QAF2恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.26(2012年清華大學(xué)等七校聯(lián)考)(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)已知過點(diǎn)

9、B的直線交曲線C于x軸下方不同的兩點(diǎn)M,N,設(shè)MN的中點(diǎn)為R,過R與點(diǎn)Q(0,2)作直線RQ,求直線RQ斜率的取值范圍.27(2010年北京大學(xué)等三校聯(lián)考)A,B為y=1x2上在y軸兩側(cè)的點(diǎn),求過A,B的切線與x軸圍成的圖形面積的最小值.28(2011年北京大學(xué)等十三校聯(lián)考)C1和C2是平面上兩個(gè)不重合的固定圓,C是該平面上的一個(gè)動(dòng)圓,C與C1、C2都相切,則C的圓心的軌跡是何種曲線?說明理由.29(2011年北京大學(xué)等十三校聯(lián)考)求過拋物線y=2x22x1,y=5x2+2x+3交點(diǎn)的直線方程.1.A【解析】如圖,2.C【解析】三條直線相交于一點(diǎn)或者其中兩條直線平行,則平面被分成六個(gè)部分.(1

10、)當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)(2,2),對應(yīng)一個(gè)k值;(2)當(dāng)直線x+ky=0與x2y+2=0或者x2=0平行,則對應(yīng)兩個(gè)不同的k值.因此共有三個(gè)不同的k值.3.C4.A【解析】本題可以采用特殊值和特殊位置來分析,結(jié)合具體的選項(xiàng),得到正確結(jié)果.當(dāng)n=4時(shí),相鄰兩射線的夾角為,然后可以讓A1,A2,A3,A4正好為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn),容易得到|OAk|2=2(a2+b2),結(jié)合各選項(xiàng)知A正確.7.B【解析】由得直線方程為y=mx+b,由消去y得(x1)2+a2(mx+b)2a2=0,即(1+a2m2)x2+(2a2mb2)x+(1+a2b2a2)=0,由于直線與橢圓相交,所以=(2a2mb2)24(1+a2

11、m2)(1+a2b2a2)>0,整理得(a21)m22bm+(1b2)>0,上式對于任意的實(shí)數(shù)m恒成立,所以有,整理得a2(1b2)>1.8.D【解析】在D選項(xiàng)中,由2cos 2+2(cos +sin )=1得2(cos2sin2)+2(cos +sin )=1,2cos22sin2+2cos +2sin =1,由于x=cos ,y=sin ,代入可得x2y2+2x+2y1=0,顯然這不是一個(gè)圓的方程.9.A【解析】依題意知,橢圓上的各個(gè)點(diǎn)中到圓心(0,6)的距離最大的點(diǎn)是橢圓的下頂點(diǎn)(0,4),最大距離為10,因此橢圓上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值等于11.10.D【解析】

12、設(shè)圓錐曲線上任一點(diǎn)M(,),焦點(diǎn)F到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為P,則=為三種圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程,0<e<1時(shí)曲線表示橢圓,e=1時(shí)曲線表示拋物線,e>1時(shí)曲線表示雙曲線右支,允許<0表示整個(gè)雙曲線.由知識(shí)拓展中圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程知:=,則0<e=1,故極坐標(biāo)方程所表示的曲線為橢圓或拋物線(當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)曲線為拋物線).11.A【解析】由題意可設(shè)拋物線方程為y2=2px(p0),A(x3,y3),B(x1,y1),C(x2,y2),ABC的重心為G(,0).聯(lián)立,得2y2+py20p=0,有,又,得,即A(10,),代入拋物線方程可得=2

13、p(10),故p=8,拋物線方程為y2=16x.故選A.12.D【解析】利用C2的短軸長與C1的實(shí)軸長的比值等于C2的離心率找到k和a之間的關(guān)系,再利用k和a表示出C1在C2的一條準(zhǔn)線上截得線段的長,整理可得最終結(jié)果.由C2的短軸長與C1的實(shí)軸長的比值等于C2的離心率可知,= ,故k(a24)=4,C2的右準(zhǔn)線方程為x=,代入C1的方程得  =k,整理可得y=±2,故C1在C2的右準(zhǔn)線上截得線段的長為4,選D.13.A解法二如圖,14.B15.(1)如圖所示,16.(1)設(shè)x軸與圓的切點(diǎn)為D,PB,PC分別切圓于E,F,17.(1)首先,25616|x|0,|x|16,16

14、x16.y216x=25616|x|.i)當(dāng)0x16時(shí),y2=256, y=±16(0x16),圖象是兩條線段;ii)當(dāng)16x<0時(shí),y2=256+32x=32(x+8)(8x<0),圖象是拋物線y2=32(x+8)的一段;(3)18.(1) x0=2.   (2)不存在19.(1)橢圓方程為+y2=1.(2) S四邊形PMQN的最小值為,最大值為2【解析】20.(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線的定義知21.與拋物線對稱軸不平行的直線與拋物線的位置關(guān)系有以下三種:(1)總有兩個(gè)交點(diǎn);(2)相切;(3)無公共點(diǎn).對于(1),拋物線及其

15、內(nèi)部僅覆蓋該直線上的一段線段;對于(2),拋物線及其內(nèi)部僅覆蓋該直線上的一個(gè)點(diǎn);對于(3),拋物線及其內(nèi)部不能覆蓋該直線上的任意一點(diǎn).根據(jù)以上三種情況,我們知道:用有限條拋物線及其內(nèi)部不能覆蓋與這有限條拋物線的對稱軸均不平行的直線,而平面中存在這樣的直線.于是,用有限條拋物線及其內(nèi)部不能覆蓋一條直線,當(dāng)然不能覆蓋整個(gè)坐標(biāo)平面.22.(1)由題意可得點(diǎn)P的軌跡W是雙曲線的右支:x2y2=2(x>0).23.設(shè)l:y=k(x+a)(易知斜率存在,否則點(diǎn)Q不存在),則l':y=kx.24.如圖.所以×8|4|=240,解得x0=±8,所以A(8,16)或A(8,16

16、),當(dāng)取A(8,16)時(shí),求得B(4,4),又BC的斜率為x0=4,所以直線BC的方程為y4=4(x4),即4xy12=0.同理,當(dāng)取A(8,16)時(shí),求得B(12,36),直線BC的方程為4x+y+12=0.25.(1)如圖,26.27.【解析】設(shè)過A點(diǎn)的切線交x軸于點(diǎn)C,過B點(diǎn)的切線交x軸于點(diǎn)D,直線AC與直線BD相交于點(diǎn)E,如圖.28.假設(shè)圓C1、C2的半徑分別為r1、r2,動(dòng)圓半徑為r.分以下情況進(jìn)行討論:(1)如果r1=r2.當(dāng)圓C1、C2相離時(shí),(a)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓都外切,則|CC1|=r+r1,|CC2|=r+r2,因此|CC1|=|CC2|,動(dòng)圓圓心軌跡為線段C1C2的垂直平

17、分線;(b)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓都內(nèi)切,則|CC1|=rr1,|CC2|=rr2,因此|CC1|=|CC2|,動(dòng)圓圓心軌跡為線段C1C2的垂直平分線;(c)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外切,則C1C2=r1+r2<C1C2,動(dòng)圓圓心軌跡為以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線.當(dāng)圓C1、C2外切時(shí),(a)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓都外切,則C1=r+r1,C2=r+r2,因此C1=C2,動(dòng)圓圓心軌跡為線段C1C2的垂直平分線,但應(yīng)除去兩圓的切點(diǎn);(b)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓都內(nèi)切,則C1=r1,|CC2|=r2,因此C1=C2,動(dòng)圓圓心軌跡為線段C1C2的垂直平分線;(c)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外

18、切,則C1C2r1r2C1C2(或C1C2=r1+r2),動(dòng)圓圓心軌跡為直線C1C2,但應(yīng)除去C1、C2以及兩圓的切點(diǎn).當(dāng)圓C1、C2相交時(shí),(a)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓都外切,則C1=r+r1,C2=r+r2,因此C1=C2,動(dòng)圓圓心軌跡為線段C1C2的垂直平分線,但應(yīng)除去兩圓的公共弦;(b)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓都內(nèi)切,則C1=r1,C2=r2,因此C1=C2,動(dòng)圓圓心軌跡為線段C1C2的垂直平分線;(c)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外切,則C1C2r1r2C1C2,動(dòng)圓圓心軌跡為以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓.(2)如果r1r2 ,不妨設(shè)r1>r2.當(dāng)圓C1、C2相離時(shí),(a)若動(dòng)圓C與兩個(gè)

19、圓都外切,則C1=r+r1,C2=r+r2,因此C2r1r2C1C2,動(dòng)圓圓心軌跡為以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的對應(yīng)焦點(diǎn)為C2的一支;(b)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓都內(nèi)切,則C1=rr1,C2=rr2,因此C1r1r2C1C2,動(dòng)圓圓心軌跡為以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的對應(yīng)焦點(diǎn)為C1的一支;(c)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外切,則C1C2=r1+r2<C1C2,動(dòng)圓圓心軌跡為以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線.當(dāng)圓C1、C2相外切時(shí),(a)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓都外切,則C1=r+r1,C2=r+r2,因此C1C2=r1r2<C1C2,動(dòng)圓圓心軌跡為以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的對應(yīng)焦點(diǎn)為C2的

20、一支,但應(yīng)除去兩圓的切點(diǎn);(b)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓都內(nèi)切,則C1=rr1,C2=rr2,因此C2C1=r1r2<C1C2,動(dòng)圓圓心軌跡為以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的對應(yīng)焦點(diǎn)為C1的一支;(c)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外切,則CC1CC2=r1+r2=C1C2(或CC1CC2=r1+r2),動(dòng)圓圓心軌跡為直線C1C2,但應(yīng)除去C1、C2以及兩圓的切點(diǎn).當(dāng)圓C1、C2相交時(shí),(a)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓都外切,則CC1=r+r1,CC2=r+r2,因此CC1CC2=r1r2<C1C2,動(dòng)圓圓心軌跡為以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的對應(yīng)焦點(diǎn)為C2的一支,但應(yīng)除去兩圓公共區(qū)域內(nèi)的部分;(b)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓都內(nèi)切,則CC1r1,CC2r2,因此CC2CC1=r1r2<C1C2,動(dòng)圓圓心軌跡為以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線,但應(yīng)除去兩圓公共區(qū)域內(nèi)的部分;(c)若動(dòng)圓C與兩個(gè)圓中的一個(gè)內(nèi)切,另一個(gè)外切,則C1CC2=r1+r2>C1C2,動(dòng)圓圓心軌跡為以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓,但應(yīng)除去兩圓公共區(qū)域內(nèi)的部分.當(dāng)圓C1、C