第07章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理中的應(yīng)用 數(shù)字圖像處理 北航

1、第七章 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理中的應(yīng)用一、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)概述二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理四、灰值形態(tài)學(xué)1、起源： 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（Mathematics Morphology）形成于1964年，法國巴黎礦業(yè)學(xué)院馬瑟榮（G. Matheron）和其學(xué)生賽拉（J. Serra）從事鐵礦核的定量巖石學(xué)分析，提出了該理論。一、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)概述2、發(fā)展： 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門建立在嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的學(xué)科，其基本思想和方法對(duì)圖像處理的理論和技術(shù)產(chǎn)生了重大的影響。目前，形態(tài)學(xué)圖像處理已成為數(shù)字圖像處理的一個(gè)主要研究領(lǐng)域。在文字識(shí)別、顯微圖像分析、醫(yī)學(xué)圖像、工業(yè)檢測(cè)、機(jī)器人視覺都有很成功的應(yīng)用。一、數(shù)學(xué)形

2、態(tài)學(xué)概述3、定義： 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（Mathematical Morphology）是分析幾何形狀和結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)方法，它建立在集合代數(shù)的基礎(chǔ)上，是用集合論方法定量描述目標(biāo)幾何結(jié)構(gòu)的學(xué)科。 這種結(jié)構(gòu)表示的可以是分析對(duì)象的宏觀性質(zhì)，例如，在分析一個(gè)工具或印刷字符的形狀時(shí)，研究的就是其宏觀結(jié)構(gòu)；也可以是微觀性質(zhì)，例如，在分析顆粒分布或由小的基元產(chǎn)生的紋理時(shí)，研究的便是微觀結(jié)構(gòu)。一、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)概述4、形態(tài)學(xué)研究幾何結(jié)構(gòu)的基本思想：利用一個(gè)結(jié)構(gòu)元素（相當(dāng)于模板）去探測(cè)一個(gè)圖像，看是否能將這個(gè)結(jié)構(gòu)元素很好地填放在圖像的內(nèi)部，同時(shí)驗(yàn)證填放結(jié)構(gòu)元素的方法是否有效。 通過對(duì)圖像內(nèi)適合放入結(jié)構(gòu)元素的位置做標(biāo)記，就可得到

3、關(guān)于圖像結(jié)構(gòu)的信息。這些信息與結(jié)構(gòu)元素的尺寸和形狀都有關(guān)。構(gòu)造不同的結(jié)構(gòu)元素，便可完成不同的圖像分析，得到不同的分析結(jié)果。B圖1 形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算A一、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)概述1、基本概念 ABABAB圖2 包含、擊中和擊不中示意圖 a) B 包含于A A, ,b) B 擊中（hit）A A, ,c) B 擊不中(miss)A A，AB A!BAB集合關(guān)系：設(shè) A 和 B 為R2的子集，A 為物體區(qū)域，B為某種結(jié)構(gòu)元素，則 B 結(jié)構(gòu)單元對(duì) A 的關(guān)系有三類： 二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法平移：將一個(gè)集合A平移距離x可以表示為A+x，其定義為：|AaxaxA1、基本概念 AA+xaa+x圖3 二值圖象的平移x二、

4、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法1、基本概念 對(duì)稱集：設(shè)有一幅圖像A，將A中所有元素相對(duì)原點(diǎn)轉(zhuǎn)180o，即令(x，y)變成(-x，-y)，所得到的新集合稱為A的對(duì)稱集，記為-A.a-aA-A圖4 相對(duì)原點(diǎn)轉(zhuǎn)180o二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法:AxBxA B =2、腐蝕與膨脹 腐蝕：集合 A 被集合 B 腐蝕,表示為 ,數(shù)學(xué)形式為B圖5 腐蝕類似于收縮AA B二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法A B 表示將 B 平移 x 但仍包含在A 內(nèi)的所有點(diǎn) x 組成. 若把 A 看作輸入圖像, B 看作模板,則 由在平移模板的過程中,所有可以添入 A 內(nèi)部的模板的原點(diǎn)組成.A BA BB圖6 腐蝕不是輸入圖像的子圖像A BA 一般,如

5、果原點(diǎn)在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)部,則腐蝕后的圖像為輸入圖像的子集;如果原點(diǎn)不在結(jié)構(gòu)元素的內(nèi)部,則腐蝕后的圖像可能不在輸入圖像的內(nèi)部，但輸出形狀不變.二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法2、腐蝕與膨脹 腐蝕例 數(shù)字圖像S和結(jié)構(gòu)元素E，求腐蝕結(jié)果如下：011101011001010S1101ES E0110000100000002、腐蝕與膨脹 膨脹: 是腐蝕運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算，可以通過對(duì)補(bǔ)集的腐蝕來定義。A 被 B 膨脹表示為 , 其定義為： 二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法BA BAAC (-B )C圖7 利用圓盤膨脹ABBA2、腐蝕與膨脹 膨脹:二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法膨脹的等效方程：膨脹可以通過相對(duì)結(jié)構(gòu)元素的所有點(diǎn)平移輸入圖像，然后

6、計(jì)算其并集得到。:BbbABA用膨脹的等效方程計(jì)算膨脹結(jié)果A B 膨脹結(jié)果二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法3、開、閉運(yùn)算開運(yùn)算：利用圖像 B 對(duì)圖像 A 做開運(yùn)算，用符號(hào) 表示，其定義為：BABBABA)(圖10 開運(yùn)算BAA B A B例：011101011001010S1101E000000011000010011000010000000001100001000000011100011000010S E001100001000000EES)(EESES)(二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法3、開、閉運(yùn)算閉運(yùn)算：是開運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算,定義為先作膨脹然后再作腐蝕. 利用 B 對(duì) A 作閉運(yùn)算表示為 ,其定義為:BA)

7、()(BBABAAB)( BA(-B )圖3.2 閉運(yùn)算閉運(yùn)算實(shí)例011101011001010S1101E01110111111111101111)( ES1011E00000011101111001110ES二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法3、開、閉運(yùn)算開、閉運(yùn)算的濾波性質(zhì)： 開運(yùn)算可以濾掉背景（并）噪聲胡椒狀噪聲 閉運(yùn)算可以濾掉前景（差）噪聲沙眼噪聲二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法4、擊中擊不中變換定義：擊中擊不中變換需要兩個(gè)結(jié)構(gòu)基元E和F，這兩個(gè)基元被作為一個(gè)結(jié)構(gòu)元素對(duì)B=(E, F)，一個(gè)探測(cè)圖像內(nèi)部，一個(gè)探測(cè)圖像外部，其定義為：顯然FE EF擊中結(jié)構(gòu)元素 擊不中結(jié)構(gòu)元素 輸入圖像 擊中擊不中輸出)()

8、(FAEABAC二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法4、擊中擊不中變換利用擊中擊不中變換進(jìn)行物體識(shí)別 利用與目標(biāo)相同的結(jié)構(gòu)元素做腐蝕二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法4、擊中擊不中變換利用擊中擊不中變換進(jìn)行物體識(shí)別利用擊中擊不中變換識(shí)別物體的過程擊中結(jié)構(gòu)元素?fù)舨恢薪Y(jié)構(gòu)元素二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本算法4、擊中擊不中變換利用擊中擊不中變換細(xì)化利用一個(gè)結(jié)構(gòu)對(duì)的順序細(xì)化EFSS1S2S3S4S5 在實(shí)際應(yīng)用中，通常選擇一組結(jié)構(gòu)元素對(duì)，迭待過程不斷在這些結(jié)構(gòu)對(duì)中循環(huán)，當(dāng)一個(gè)完整的循環(huán)結(jié)束時(shí)，如果所得結(jié)果不再變化，則終止迭待過程。例如，下面是用于細(xì)化的8個(gè)方向結(jié)構(gòu)對(duì)圖中 表示擊中結(jié)構(gòu)元素E， 表示擊不中結(jié)構(gòu)元素F。細(xì)化中結(jié)構(gòu)元素對(duì)的選取

9、三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理1、基本概念強(qiáng)鄰接象素：兩個(gè)象素在豎直方向或水平方向上相鄰。弱鄰接象素：兩個(gè)象素在對(duì)角方向上相鄰相對(duì)原點(diǎn)的各種鄰接象素模板(a) 強(qiáng)鄰接象素模板 (b)弱鄰接象素模板 (c)鄰接象素模板 三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理1、基本概念強(qiáng)連通：假設(shè)x和y為區(qū)域中的任意兩個(gè)象素，在x和y之間存在一個(gè)象素序列，若這個(gè)象素也在這個(gè)區(qū)域中，并且序列中的象素之間為強(qiáng)鄰接的，則這個(gè)區(qū)域是強(qiáng)連通的。連通：序列中所有的象素之間都具有鄰接關(guān)系。 非連通：任意兩個(gè)象素之間不存在鄰接的象素序列(a)強(qiáng)連通區(qū)域 (b) 連通區(qū)域 (c)非連通區(qū)域三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理2、邊界檢測(cè)對(duì)于圖像A和圓盤B， 給

10、出外邊界 給出內(nèi)邊界 給出跨騎在實(shí)際歐氏邊界上的邊界，又稱形態(tài)學(xué)梯度。ABA )()(BAA)()(BABAA BABA )()( BAA)( )(BABA(a) 輸入圖像(b) 膨脹/強(qiáng)連通外邊界(c) 腐蝕/強(qiáng)連通內(nèi)邊界(d) 形態(tài)學(xué)梯度例，用原點(diǎn)鄰接象素模板得到強(qiáng)連通邊界。(a) 輸入圖像(b) 膨脹/弱連通外邊界(c) 腐蝕/弱連通內(nèi)邊界(d) 形態(tài)學(xué)梯度例，用原點(diǎn)強(qiáng)鄰接象素模板得到弱連通邊界。3、條件膨脹定義：假設(shè)有輸入圖像A, 結(jié)構(gòu)元素B，集合C，則利用B相對(duì)C對(duì)A作條件膨脹，可以通過將平移限制在C之內(nèi)得到，其結(jié)果為：三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理:)(:AaCaBCBACABBACBA

11、:結(jié)構(gòu)元素B二值輸入圖象A, 為標(biāo)記點(diǎn)3、條件膨脹應(yīng)用連通成分重建：利用給定的標(biāo)記進(jìn)行膨脹，找出二值圖像中含有某種標(biāo)記的連通成分，這個(gè)標(biāo)記可以是一個(gè)象素，也可以是一個(gè)連通子區(qū)域。三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理第一步把整個(gè)原始圖像數(shù)據(jù)作為條件C，抽取連通成分。第二步第三步第四步注：結(jié)構(gòu)元素的選擇很重要。例：填充一個(gè)用曲線圍成的區(qū)域結(jié)構(gòu)元素輸入圖像第一步第二步第三步第四步第五步4、骨架化基本概念：最大圓盤：對(duì)于一個(gè)目標(biāo)S，S內(nèi)的最大圓盤不是其他任何完全屬于S的圓盤子集，并且至少有兩點(diǎn)與目標(biāo)邊界輪廓相切。三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理xD(x)wD(w)最大圓盤非最大圓盤4、骨架化基本概念：骨架：所有最大圓盤的

12、圓心構(gòu)成了圖像的骨架。三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理最大圓盤定義的骨架4、骨架化數(shù)字情況下圓盤的選擇：令B為一種結(jié)構(gòu)元素，最大圓盤可表示為0B，1B，nB。其中三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理 次nBBBnB用鄰接象素模板作結(jié)構(gòu)元素時(shí)的數(shù)字圓盤0B1B2B3Bn=0 n=1 n=2輸入圖像最終骨架);(nSSkelnBnSSkel);(kBkSSkelnk0);(n=0 n=1 n=2利用骨架子集進(jìn)行數(shù)據(jù)重建的過程4、骨架化數(shù)字骨架的應(yīng)用：數(shù)據(jù)壓縮（有損或無損） 、字符識(shí)別三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理5、流域分割方法問題：分割下面兩個(gè)互相重疊的球狀物體三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理ab5、流域分割方法基本概念三、二值

13、圖像的形態(tài)學(xué)處理極限腐蝕：對(duì)于給定圖象A，用結(jié)構(gòu)元素B對(duì)其不斷進(jìn)行腐蝕，在腐蝕過程中，不連通的區(qū)域不斷產(chǎn)生，某些區(qū)域又不斷消失，一個(gè)連通成分在消失前的最后一步，稱為最終連通成分。所有最終連通成分的并就是相對(duì)B的極限腐蝕，用 來表示。)(AUlt5、流域分割方法基本概念三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理距離函數(shù)：對(duì)于A內(nèi)給定一點(diǎn)x，距離函數(shù)dist(x)為從x到A的補(bǔ)集的距離。輸入圖象 距離函數(shù)圖5、流域分割方法流域分割原理三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理x- dist(x)距離函數(shù)反相圖- dist(x)相對(duì)通過圓盤水平線做出的 -dist(x)圖形5、流域分割方法流域分割原理三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理地形浸沒過

14、程說明5、流域分割方法實(shí)現(xiàn)三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理a) 對(duì)圖像做極限腐蝕，生成距離函數(shù)反相圖 - dist(x) ，記下極限腐蝕位置b) 水從最深處開始上漲，給每個(gè)新出現(xiàn)的積水盆一個(gè)新的標(biāo)記，水面上漲過程中不同積水盆相接時(shí)，筑起一道壩最終的壩就是分割線6、顆粒分析 離散粒度分布 局部顆粒分析三、二值圖像的形態(tài)學(xué)處理g在f的下方：對(duì)于定義域內(nèi)任意一點(diǎn)x，都有 ，則稱g在f的下方，記為 。利用結(jié)構(gòu)元素g對(duì)信號(hào)f的腐蝕定義為：fg )()(xfxg四、灰值形態(tài)學(xué)1、灰值腐蝕:max)(fygyxgfxtfg利用半圓形結(jié)構(gòu)元素的腐蝕0.5tgf四、灰值形態(tài)學(xué)1、灰值腐蝕腐蝕的等價(jià)定義：: )()(mi

15、n)(xgDzzgzfxgf推導(dǎo)：假設(shè)在點(diǎn)x處，f被g腐蝕的值為y，則)()(zfzgy)()(zgzfy)()()()(min(zgzfzgzf)()(min(zgzfy例1 )01695120* (f)455(g)430445* (gf541 , 52 , 50min)2)(gf例2：*12201*1611*12760*12621*12220*f4330g*234*323*3223*3212*gf四、灰值形態(tài)學(xué)2、灰值膨脹定義：f被g膨脹可逐點(diǎn)地定義為：)( :min)(fygyxgfx等價(jià)定義為：: )(gDxxgfgfxgtftgf g四、灰值形態(tài)學(xué)2、灰值膨脹計(jì)算過程：1）對(duì)結(jié)構(gòu)元素

16、g的定義域Dg中的每一點(diǎn)x將信號(hào)f平移x；2）再對(duì)平移信號(hào)的值加上g(x)；3）對(duì)所有這些信號(hào)逐點(diǎn)取最大值。)9983897(f) 303(g) *6650564(31f) *9983897* (00f) 6650564* (31f)699858974(gf例1：注：定義域擴(kuò)展了例2：*12201*1611*12760*12621*12220*01 ,0f*12201*1611*12760*12621*12220*f4330g*45534*4944*451093*45954*45553*30, 0f*566554*4510954*56111093*5610964*569653*455530*g

17、f四、灰值形態(tài)學(xué)3、灰值開、閉運(yùn)算 灰值開運(yùn)算ggfgf)( 灰值閉運(yùn)算ggfgf)(四、灰值形態(tài)學(xué)3、灰值開、閉運(yùn)算 開、閉運(yùn)算的濾波性質(zhì)g輸入信號(hào)腐蝕膨脹g開運(yùn)算四、灰值形態(tài)學(xué)4、灰值形態(tài)學(xué)算法 灰值形態(tài)學(xué)梯度)()()(gfgffGRAD扁平結(jié)構(gòu)元素 定義域上取常數(shù)的結(jié)構(gòu)元素四、灰值形態(tài)學(xué)4、灰值形態(tài)學(xué)算法 Top-Hat變換)()(gfffHAT 有檢測(cè)波峰的作用，對(duì)在較亮的背景中求暗的象素聚集體(顆粒)，或在較暗的背景中求亮的象素聚集體非常有效。輸入信號(hào)腐蝕g開運(yùn)算Top-Hat變換四、灰值形態(tài)學(xué)4、灰值形態(tài)學(xué)算法 Top-Hat變換Top-Hat的對(duì)偶算子波谷檢測(cè)器fgffBTH)()(四、灰值形態(tài)學(xué)4、灰值形態(tài)學(xué)算法流域分割（watershed變換）地形浸沒過程說明原理：模仿地形浸沒的過程四、灰值形態(tài)學(xué)4、灰值形態(tài)學(xué)算法流域分割（watershed變換）一組分割實(shí)例四、灰值形態(tài)學(xué)4、灰值形態(tài)學(xué)算法基于標(biāo)記的流域分割（watershed變換