第2章第3節(jié) (2)

1、第二章第三節(jié)1(2014·廣東六校聯(lián)考)若偶函數(shù)f(x)在(，0)內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式f(1)f(lg x)的解集是()A(0,10)BCD(10，)解析：選D因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(|x|)，因?yàn)閒(x)在(，0)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增故|lg x|1，即lg x1或lg x1，解得x10或0x.2(2014·東北三校模擬)若偶函數(shù)f(x)在(，1上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是()Af<f(1)<f(2)Bf(1)<f<f(2)Cf(2)<f(1)<fDf(2)<f<f(1)解析：選D

2、因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(2)f(2)，又f(x)在(，1上是增函數(shù)，且2<<1，所以f(2)<f<f(1)，選D.3(2014·東北三校聯(lián)考)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)1，f(2)2，則f(3)f(4)()A1B1C2D2解析：選A函數(shù)f(x)的周期為5，f(3)f(4)f(2)f(1)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，f(2)f(1)f(2)f(1)211.4已知函數(shù)f(x)x|x|2x，則下列結(jié)論正確的是()Af(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，)Bf(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(，1)Cf(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(1,1)Df(x

3、)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(，0)解析：選Cf(x)，當(dāng)x>0時(shí)，x<0，f(x)(x)22·(x)x22x(x22x)f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，x>0，f(x)(x)22(x)(x22x)f(x)；又f(0)0，故f(x)是奇函數(shù)畫出圖象知遞減區(qū)間為(1,1)，遞增區(qū)間為(，1)和(1，)，故選C.5(2014·合肥檢測(cè))已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2x13，則f(f(1)()A1B1C2D2解析：選A依題意得f(1)2032，f(f(1)f(2)f(2)(213)1，故選A.6(2014·沈陽(yáng)模擬)已知偶

4、函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞減，則滿足不等式f(2x1)>f成立的x的取值范圍是()ABCD解析：選B因?yàn)榕己瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在區(qū)間0，上單調(diào)遞減，所以f(x)在(，0上單調(diào)遞增，若f(2x1)>f，則<2x1<，故<x<，故選B.7已知函數(shù)f(x)是(，)上的偶函數(shù)，若對(duì)于x0，都有f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,2)時(shí)，f(x)log2(x1)，則f(2 011)f(2 012)()A1log2 3B1log2 3C1D1解析：選Cf(x)是(，)上的偶函數(shù)，f(2 011)f(2 011)當(dāng)x0時(shí)，f(x4)f(x2)f(x)，則f(x)是以4

5、為周期的函數(shù)又2 0114×5023,2 0124×503，f(2 011)f(3)f(12)f(1)log2(11)1，f(2 012)f(0)log2 10，f(2 011)f(2 012)1，故選C.8(2014·長(zhǎng)春調(diào)研)設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的x都有f(x)f(x)0恒成立如果實(shí)數(shù)m、n滿足不等式f(m26m21)f(n28n)<0，那么m2n2的取值范圍是()A(9,49)B(13,49)C(9,25)D(3,7)解析：選A依題意得f(x)f(x)，因此由f(m26m21)f(n28n)<0得f(m26m21)<f

6、(n28n)f(n28n)又f(x)是定義在R上的增函數(shù)，于是有m26m21<n28n，即(m3)2(n4)2<4.在坐標(biāo)平面mOn內(nèi)該不等式表示的是以點(diǎn)(3,4)為圓心、2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn)，m2n2可視為該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(m，n)與原點(diǎn)間的距離的平方，結(jié)合圖形可知m2n2的取值范圍是(9,49)，選A.9(2014·寧波模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)exa，若f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最小值是_解析：1依題意得f(0)0.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>e0aa1.若函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)是R上的單調(diào)增

7、函數(shù)，則有a10，a1，因此實(shí)數(shù)a的最小值是1.10(2014·孝感調(diào)研)已知yf(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且0x2時(shí)，f(x)x22x，則10x12時(shí)，f(x)_.解析：x222x120因?yàn)閒(x)在R上是周期為4的奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，f(x4)f(x)f(x12)f(x)設(shè)0x2，則0x2，f(x)f(x)x22x.當(dāng)10x12時(shí)，2x120，f(x)f(x12)(x12)22(x12)x222x120.11(2012·上海高考)已知yf(x)x2是奇函數(shù)，且f(1)1，若g(x)f(x)2，則g(1)_.解析：1yf(x)x2為奇函數(shù)f(x)(x)

8、2f(x)x2f(x)f(x)2x20f(1)f(1)20f(1)1f(1)3g(x)f(x)2g(1)f(1)2321.12已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則f(25)，f(11)，f(80)從大到小的順序?yàn)開解析：f(11)>f(80)>f(25)因?yàn)閒(x)滿足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)因?yàn)閒(x)在R上是奇函數(shù)，f(0)0，得f(80)f(0)0，f(25)f(1)f(1)，而由f(x4)f(x)，得f(11)

9、f(3)f(3)f(14)f(1)，又f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以f(1)>f(0)0.所以f(1)<0，即f(11)>f(80)>f(25)13(2014·濰坊模擬)已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f(x4)f(x)f(2)，且當(dāng)x0,2時(shí)，yf(x)單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題：f(2)0；x4為函數(shù)yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸；函數(shù)yf(x)在8,10上單調(diào)遞增；若方程f(x)m在6，2上的兩根為x1，x2，則x1x28.以上命題中所有正確命題的序號(hào)為_解析：令x2，得f(2)f(2)f(2)，所以f(2)0，又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故f(2)0；根據(jù)可

10、得f(x4)f(x)，則函數(shù)f(x)的周期是4，由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故x4也是函數(shù)yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸；根據(jù)函數(shù)的周期性可知，函數(shù)f(x)在8,10上單調(diào)遞減，不正確；由于函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x4對(duì)稱，故如果方程f(x)m在區(qū)間6，2上的兩根為x1，x2，則4，即x1x28.故正確命題的序號(hào)為.14已知函數(shù)f(x)x2(x0，常數(shù)aR)(1)判斷f(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(2)若f(1)2，試判斷f(x)在2，)上的單調(diào)性解：(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2，f(x)f(x)，函數(shù)是偶函數(shù)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2(x0，常數(shù)aR)，取x±1，得f(1)f(1)20

11、；f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)故函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)若f(1)2，即1a2，解得a1，這時(shí)f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1<x2，則f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).由于x12，x22，且x1<x2.故x1x2<0，x1x2>，所以f(x1)<f(x2)，故f(x)在2，)上是單調(diào)遞增函數(shù)1設(shè)f(x)是奇函數(shù)，且在(0，)內(nèi)是增函數(shù)，又f(3)0，則x·f(x)<0的解集是()Ax|3<x<0，或x>3Bx|x<3，或0<x<

12、3Cx|x<3，或x>3Dx|3<x<0，或0<x<3解析：選D由x·f(x)<0，得或而f(3)0，f(3)0，即或所以x·f(x)<0的解集是x|3<x<0，或0<x<32函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足：f(x)是偶函數(shù)，f(x1)是奇函數(shù)，若f(0.5)9，則f(8.5)()A9B9C3D0解析：選B因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)，又f(x1)是奇函數(shù)，所以f(x1)f(x1)令tx1，可得f(t)f(t)f(t2)，所以f(t2)f(t4)所以可得f(x)f(x4)所以f(8.5)

13、f(4.5)f(0.5)9.3若偶函數(shù)yf(x)為R上的周期為6的周期函數(shù)，且滿足f(x)(x1)(xa)(3x3)，則f(6)_.解析：1yf(x)為偶函數(shù)，且f(x)(x1)(xa)(3x3)，f(x)x2(1a)xa，1a0.a1.f(x)(x1)(x1)(3x3)f(6)f(66)f(0)1.4關(guān)于函數(shù)，給出下列命題：若函數(shù)f(x)是R上周期為3的偶函數(shù)，且滿足f(1)1，則f(2)f(4)0；若函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x)2 013，則f(x)是周期函數(shù)；若函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，則f(x)x1；函數(shù)y的定義域?yàn)?其中正確的命題是_(寫出所有正確命題的序號(hào))解析：因?yàn)閒(x3)f

14、(x)且f(x)f(x)，所以f(2)f(13)f(1)f(1)1，f(4)f(1)f(1)1，故f(2)f(4)0，正確因?yàn)閒(x1)f(x)2 013，所以f(x1)，f(x2)f(x)所以f(x)是周期為2的周期函數(shù)，正確令x<0，則x>0，g(x)x1.又g(x)為偶函數(shù)，所以g(x)g(x)x1.即f(x)x1，不正確要使函數(shù)有意義，需滿足即0<|2x3|1，所以1x2且x，即函數(shù)的定義域?yàn)?，不正確5已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)設(shè)x<0，則x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x<0時(shí)，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象知所以1<a3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,36已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x)(0<x1)，求x5，4時(shí)