拉格朗日乘數(shù)法與條件極值

1、淮北煤炭師范學(xué)院信息學(xué)院 2005 級學(xué)士學(xué)位論文 拉格朗日乘數(shù)法與條件極值系 別: 數(shù)學(xué)系 專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 學(xué) 號: 200518440039 姓 名: 劉志華 指 導(dǎo) 教 師: 陳 昊 指導(dǎo)教師職稱: 講 師 2009年 04月 05日拉格朗日乘數(shù)法與條件極值 劉志華（淮北煤炭師范學(xué)院信息學(xué)院，淮北，235000） 摘 要拉格朗日乘數(shù)法是數(shù)學(xué)分析中的基本方法。在數(shù)學(xué)分析中,它作為一種基本方法在計算中起著非常重要的作用，在解決實(shí)際問題過程中,它對一些實(shí)際問題的分析、并利用微積分這一工具去解決問題,具有重要實(shí)際意義。眾所周知,在現(xiàn)實(shí)生活中，許多實(shí)際問題都?xì)w結(jié)為極值問題，解決條件極值有

2、許多種方法，而拉格朗日乘數(shù)法是解決條件極值的一個有效工具。正文的內(nèi)容部分包括：第一章是引言部分；第二章、第三章介紹了拉格朗日乘數(shù)法定理和條件極值的概論及它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用；第四章主要介紹了用拉格朗日乘數(shù)法去解決實(shí)際生活中的條件極值問題。關(guān)鍵詞 拉格朗日乘數(shù)法，條件極值，多元函數(shù)Lagrange Multiplier Method and the Conditional ExtremeLiu Zhihua(Huaibei Coal Industry Teachers College Information Institute, Huaibei, 235000)AbstractLagrange m

3、ultiplier method is a basic method of the mathematical analysis. In the mathematical analysis,it plays an important role as a basic method in the calculation, in the process of solving practical problems, its analysis of a number of practical issues and use the tools of calculus to solve the problem

4、, is of great practical significance.As we all known, in real life, many practical problems are reduced to extremal problems solving the extreme conditions have a lot of ways, and lagrange multiplier method to is an effective tool of solving extremal conditions. The contents of the text include: Cha

5、pter I is the summary;Chapter II, Chapter III introduced the Lagrange multipliers and introduction to the extreme conditions,and their application of mathematics; Chapter IV introduces extreme conditions by lagrange multiplier method to solve the real-life problem.Keywords Lagrange multiplier method

6、,extremal conditions,multi-function目錄一 引言1 （一）問題提出 1 （二）拉格朗日乘數(shù)法概述 1二 拉格朗日乘數(shù)法概論及其應(yīng)用1 （一）拉格朗日乘數(shù)法定理 1 （二）用拉格朗日乘數(shù)法證明對稱不等式 5 （三）拉格朗日乘數(shù)法在幾何中的幾點(diǎn)應(yīng)用 6三 條件極值問題及其應(yīng)用 10 （一）條件極值10 （二）條件極值的兩個應(yīng)用13四 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法的實(shí)際應(yīng)用 16 （一）用拉格朗日乘數(shù)法求實(shí)際氣體任意過程溫度的最值16 （二）條件極值在生產(chǎn)者行為決策中的應(yīng)用17參考文獻(xiàn)20一 引言(一) 問題提出拉格朗日乘數(shù)法是一種基本的數(shù)學(xué)方法，它來自生產(chǎn)實(shí)踐應(yīng)用于生

7、產(chǎn)實(shí)踐。伴隨著計算技術(shù)的發(fā)展，計算機(jī)的存儲量日益增大，計算速度也迅速提高，在計算機(jī)上可以求解的條件極值的規(guī)模也越來越大，求解條件極值有許多方法，而拉格朗日乘數(shù)法在求解條件極值較之其他方法更為簡便。在自然科學(xué)和社會科學(xué)的許多領(lǐng)域中，許多實(shí)際的條件極值問題都可以用拉格朗日乘數(shù)法來進(jìn)行巧妙的求解。特別是近年來計算機(jī)的普及應(yīng)用，又極大地推動了這方面的研究和應(yīng)用。隨著科技迅猛發(fā)展，拉格朗日乘數(shù)法的應(yīng)用也日益增多，特別是在電子計算機(jī)廣泛使用以后，由于航空、造船、精密機(jī)械加工等實(shí)際問題需要，使得拉格朗日乘數(shù)法在求解條件極值計算方面的應(yīng)用尤為重要。（二） 拉格朗日乘數(shù)法概述拉格朗日乘數(shù)法是數(shù)學(xué)分析中的基本方法

8、。在數(shù)學(xué)分析中作為一種基本方法在一些計算中起著重要的作用。條件極值問題是實(shí)踐中經(jīng)常遇到的應(yīng)用問題，拉格朗日乘數(shù)法是解決條件極值問題的一個有效的工具，極大的提高了實(shí)際問題的分析能力、并利用微積分這一工具解決問題具有重要的實(shí)際意義。二 拉格朗日乘數(shù)法概論及其應(yīng)用(一) 拉格朗日乘數(shù)法定理1 拉格朗日乘數(shù)法下面我們介紹拉格朗日乘數(shù)法的有關(guān)知識，如下:定理(拉格朗日乘數(shù)法) 設(shè)函數(shù) 與 的所有偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) 的某鄰域G內(nèi)連續(xù)，且矩陣 (2.1)的秩為m,若點(diǎn)是目標(biāo)函數(shù)在滿足聯(lián)系方程組 (2.2) 的極值點(diǎn),則存在常數(shù),而和點(diǎn) 的n個坐標(biāo) 必同時滿足下列方程組: (2.3)證明：記向量，稱為函數(shù)的梯度。因?yàn)?/p>

9、矩陣(2.1)的秩為m，為了確定起見，不妨設(shè)函數(shù)行列式：則根據(jù)隱函數(shù)組存在定理，方程組(2.2)可確定唯一一組具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)組： （2.4）且有 （2.5）于是這樣目標(biāo)函數(shù)在滿足聯(lián)系方程組（2.2）下的條件極值問題轉(zhuǎn)化為多元函數(shù)無條件極值問題而多元函數(shù)有極值的必要條件是：其中記則有由于所以線性無關(guān)，他們張成維的線性子空間由（2.5）得，記，則上式可以寫為。由此可知與均為子空間的正交子空間中的向量，因?yàn)?2.1)的秩為m，故線性無關(guān)，于是它們構(gòu)成m維線性子空間的基，因此存在m個數(shù)，使得由上式及條件（2.2）即得方程組（2.3）證畢上述證明過程具有明顯的幾何直觀性。例1 目標(biāo)函數(shù)及聯(lián)系方程

10、組為滿足定理相應(yīng)的條件。解：由上述推導(dǎo)過程知，線性相關(guān)，即共面。由條件可設(shè)，且，其中t為中的某一個，則有：于是在曲線的法平面上，從而在由與所確定的平面內(nèi)，這個平面是曲線在極值點(diǎn)處的法平面，就是說，是沿著曲線在點(diǎn)處取到了極值，此時在點(diǎn)處沿的方向?qū)?shù)為零。（二） 用拉格朗日乘數(shù)法證明對稱不等式定義2.1 設(shè)是兩個輪回對稱函數(shù)，若欲證明無約束不等式，可以增加約束條件并利用拉格朗日乘數(shù)法來證。約束條件要選取為對稱方程才能便于計算，如：等。以下通過例題加以說明。例1 若，證明不等式。證明：現(xiàn)增設(shè)約束條件：。在此約束條件下證明 ，即在 的條件下，函數(shù) 的最小值為 我們利用拉格朗日乘數(shù)法：令，作下列方程組：

11、解得： 故 為z的最小值。又當(dāng)為任何其他值時，故知由于約束條件中的s任意性，題設(shè)不等式得證。（三） 拉格朗日乘數(shù)法在幾何中的幾點(diǎn)應(yīng)用多元函數(shù)極值問題是應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個重要問題。設(shè)n元函數(shù) （2.6） 在點(diǎn)的鄰域內(nèi)存在所有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)取極值，則必有 （2.7）對于實(shí)際問題，若存在極值的目標(biāo)函數(shù)的所有偏導(dǎo)存在，且只能在定義域I內(nèi)部取得極值，那么滿足式( 2.7)的駐點(diǎn)就是問題的極值點(diǎn)。 對于條件極值問題，拉格朗日乘數(shù)法是求解問題的有效方法.給定函數(shù)（2.6）和條件組 （2.8） 其中在某區(qū)域D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，欲求函數(shù)組（2.6）在條件組(2.8)下的極值。作拉格朗日函數(shù) （2.9）若區(qū)域D

12、的內(nèi)點(diǎn)是上述問題的極值點(diǎn)，且矩陣在的秩為m,則存在m個常數(shù) 使得為函數(shù)(2.9)的駐點(diǎn)即為方程組的解。1 求點(diǎn)到直線的距離設(shè)已知點(diǎn)和直線 ，改寫成矢量形式分別為點(diǎn)和直線 ，其中矢量點(diǎn)P到直線的距離d的平方是函數(shù)滿足條件的極值.即d的平方是函數(shù) （2.10）的最小值，這里 ，其余亦然。令導(dǎo)數(shù) ，可解得駐點(diǎn)再代入到（2.10）式得： =所以點(diǎn)P到直線的距離為：2 求點(diǎn)到平面的距離設(shè)已知點(diǎn)和平面方程,顯然,點(diǎn)P到平面的距離d的平方是三元函數(shù)在條件 下的最小值,設(shè) (2.11)解方程組： 由前三式得 (2.12)代入第四式得 (2.13)將式(2.13)、(2.12)代入(2.11)得，從而由求得點(diǎn)P

13、到平面的距離3 求兩異面直線間的距離 設(shè)兩異面直線，矢量表示成，其中由異面條件得在兩直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，記，那么，兩直線的距離d的平方應(yīng)是函數(shù)= （2.14）的最小值，由解得駐點(diǎn) (2.15) (2.16)將（2.15）、（2.16）代入（2.14）得，因此，兩異面直線的距離三 條件極值問題及其應(yīng)用(一) 條件極值 條件極值問題是實(shí)踐中經(jīng)常遇到的應(yīng)用問題，Lagrange乘數(shù)法是解決條件極值問題的一個有效的工具。1 目標(biāo)函數(shù)在m個約束條件下的極值一般地，考慮目標(biāo)函數(shù)在m個約束條件下的極值，這里具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且Jacobi矩陣在滿足約束條件的點(diǎn)處是滿秩的，即。那么我們有下述類似的結(jié)論： 定理3

14、.1 （條件極值的必要條件） 若點(diǎn)為函數(shù)滿足約束條件的條件極值點(diǎn)，則必存在個常數(shù)，使得在點(diǎn)成立于是可以將Lagrange乘數(shù)法推廣到一般情形。同樣地構(gòu)造Lagrange函數(shù) L那么條件極值點(diǎn)就在方程組 （3.1）的所有解所對應(yīng)的點(diǎn)中。定理3.2 設(shè)點(diǎn)及m個常數(shù)滿足方程組（3.1），則當(dāng)方陣 為正定（負(fù)定）矩陣時，為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲迭c(diǎn)，因此為滿足約束條件的條件極?。ù螅┲?。注意，當(dāng)這個定理中的方陣為正定時，并不能說明不是極值。例如，在求函數(shù)在約束條件下的極值時，構(gòu)造Lagrange函數(shù)，并解方程組得。而在點(diǎn)方陣 是正定的。但在約束條件下，即是條件極小值。 2 舉例 在實(shí)際問題中往往

15、遇到的是求最值問題，這時可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)判定最值的存在性（如前面的例子）。這樣的話，只要把用Lagrange乘數(shù)法所解得的點(diǎn)的函數(shù)值加以比較，最大的（最小的）就是所考慮問題的最大值（最小值）。例 求函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值和最小值。 解 首先考察函數(shù)在D的內(nèi)部的極值，這是無條件極值問題。為此解線性方程組：由假設(shè)知道方程組的系數(shù)行列式不等于零，因此只有零解，即點(diǎn)是駐點(diǎn)。易計算在點(diǎn) 因此。而，所以點(diǎn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為 再考察函數(shù)在D的邊界上的極值，這是條件極值問題。為此作Lagrange函數(shù)：并得方程組 將方程組中的第一式乘以x，第二式乘以y后相加，再用第三式代入就得到 這說明在上的極

16、大值與極小值包含在方程組關(guān)于的解中。下面來求的值。 下面來求的值由聯(lián)立方程組中的，可知二元一次方程組有非零解,因此系數(shù)行列式等于零，即 解這個關(guān)于的方程，得到 （注意根號中=>0）。由于連續(xù)函數(shù)在緊集上必可取到最大值與最小值，因此在D的邊界上的最大值為 最小值為 再與在D內(nèi)部的極值比較，就得到在D上的最大值為最小值為 。（二） 條件極值的應(yīng)用 多元函數(shù)條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，具有廣泛的應(yīng)用，本文用此方法分別給出一個在幾何和代數(shù)方面的應(yīng)用。1 邊長一定的四邊形的最大面積例1 求出邊長為的四邊形的最大面積。解：由于四邊形具有不穩(wěn)定性，但以為邊長的四邊形一定有面積最大 (當(dāng)然對四邊形是有一定

17、要求的)。設(shè)兩邊的夾角為兩邊的夾角為y。，則四邊形的面積：約束條件為 令則 （3.2） （3.3） （3.4）由（3.2）得到 同理由（3.3）得到：由此可得代入（3.4）得：則 于是 記 并代入中： =其中 。此為四邊形最大值特別地，當(dāng)a=b=c=d時， 。 當(dāng)然在解題過程中首先限定了，這就保證四邊形為凸四邊形，若取消此限定，可能出現(xiàn)凹四邊形，顯然在四條邊確定的四邊形中，凹四邊形不可能面積最大。2 實(shí)對稱陣一定存在實(shí)特征根 例1 任何一個實(shí)對稱矩陣，至少存在一個實(shí)特征值(根)。 設(shè)是一個n階實(shí)對稱矩陣，其中，記，考察實(shí)二次型：在單位球面上的最大、最小值。設(shè)解方程組由此可得 ，即以及 ，也就是

18、 其中 是單位矩陣。此式表明:就是矩陣A的特征根,X是A的屬于的一個特征向量。因?yàn)樵谟薪玳]集S上連續(xù)，故必取到最大值和最小值。而的極值點(diǎn)一定滿足，因此，方程一定有解A，且有這就證明了結(jié)論，順帶可知，在S上的最大值和最小值就是矩陣A的最大和最小特征值。四 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法的實(shí)際應(yīng)用（一） 用拉格朗日乘數(shù)法求實(shí)際氣體任意過程的溫度最值1 實(shí)際氣體經(jīng)過任意過程溫度最值的求解我們知道處于平衡態(tài)的某種物質(zhì)的熱力學(xué)參量(P, V, T)滿足物態(tài)方程，也可表示為。當(dāng)實(shí)際氣體經(jīng)過任意熱力學(xué)過程，在P-V圖中，等溫線可用隱函數(shù)表示。現(xiàn)在的問題是：求滿足的實(shí)際氣體在約束條件下的溫度最值問題，即 (4.1)

19、引人拉格朗日函數(shù)，則有 (4.2)式中為拉格朗日乘數(shù)。對(4.2)式求偏導(dǎo)數(shù)令，則得到三元方程組 (4.3)求解(4.3)式得駐點(diǎn)，則就是在約束條件下可能的極值點(diǎn)。由于溫度最值是客觀存在的，所以(4.3)式的解是可能的最值點(diǎn)。（二） 條件極值在生產(chǎn)者行為決策中的應(yīng)用現(xiàn)實(shí)中，生產(chǎn)和銷售其產(chǎn)品的廠商是一個復(fù)雜和良莠不齊的組織，很難用一種理論全部概括其活動范圍和動機(jī);然而謀求利潤最大化是其主要目標(biāo)。本文旨在從這一目標(biāo)出發(fā)，討論把產(chǎn)出和投人聯(lián)系在一起的技術(shù)規(guī)律生產(chǎn)函數(shù)與生產(chǎn)者行為的密切關(guān)系。在本文中，設(shè)廠商使用各種投入的數(shù)量記為,產(chǎn)出的數(shù)量記為y，則產(chǎn)量y是投入數(shù)量的函數(shù)： (4.4)不同的廠商可以有

20、不同的生產(chǎn)函數(shù)。如果產(chǎn)品的價格為P；投入的價格分別是，從而廠商獲得利潤為 (4.5)廠商所追求的目標(biāo)就表示成 (4.6)對于(4.6)，其取得極值的必要條件是： (4.7)眾所周知，條件(4.7)并不能給出利潤最大問題(4.6)的解。然而我們可以給予它一個簡單的經(jīng)濟(jì)意義解釋:方程(4.7)的右端是額外使用i種投入的單位成本，左端是額外使用i種一個單位的投入對產(chǎn)出的效應(yīng)與產(chǎn)出價格的乘積稱之為邊際生產(chǎn)的值。它是額外使用第i種投入一個單位的收益。如廠商選擇一組投入使得，就可以通過減少的數(shù)量來增加利潤。1 成本最小化 在后面的討論中，我們總認(rèn)為所定義的成本和利潤函數(shù)都是二次可微的，引入 投入向量： 投

21、入價格向量：則 （4.6）、（4.7）分別表示為簡潔的形式： （4.8）及 （4.9）其中 ，設(shè)廠商對其產(chǎn)出為已知的，其目標(biāo)就是獲得這一產(chǎn)出水平的最小成本，于是歸結(jié)為求解約束優(yōu)化問題： （4.10）其中y為常數(shù)，可以利用Lagrange乘數(shù)法處理（4.10）令 （4.11）我們得到約束優(yōu)化問題（4.10）有解的必要條件： （4.12）及 （4.13）這里為Lagrange乘子。（4.12）是關(guān)于變量和的n+1個方程的方程組，求解之得到依賴于數(shù)值和y的一組最優(yōu)化解及。由此得到在給定W和y時的最小成本，記為 （4.14） 由于y的改變將導(dǎo)致成本的改變，顯然C(w，y)是W、y的函數(shù)。關(guān)于Lagrange乘子，我們有如下的定理：定理4.1Lagrange乘子的值是所需產(chǎn)出的改變對成本的效應(yīng)，即是度量出的邊際成本。2 利潤最大化成本最小化問題的討論是如何以