復(fù)變函數(shù)與積分變換在電路中的應(yīng)用

1、 <<復(fù)變函數(shù)與積分變換>>結(jié)業(yè)論文 復(fù)變函數(shù)與積分變換 在電路中的應(yīng)用 系 別： 電氣與電子工程系專 業(yè)： 自動(dòng)化姓 名： 444444444學(xué) 號(hào)： 555555555555555指導(dǎo)教師： 秦志新 摘要：眾所周知，復(fù)變函數(shù)在眾多專業(yè)課程中都有著非常重要的作用，就如在正弦穩(wěn)態(tài)電流分析中，將復(fù)雜的三角函數(shù)方程利用歐拉公式轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)求解相量法或利用運(yùn)算法拉斯變換，從而把正弦穩(wěn)態(tài)問題歸結(jié)為以相量或象函數(shù)為變量的線性代數(shù)方程。 關(guān)鍵詞：相量法，拉斯變換，正弦穩(wěn)態(tài)，電路分析，復(fù)變函數(shù)，運(yùn)算法。相量法是分析研究正線電流穩(wěn)定狀態(tài)的一種簡(jiǎn)單易行的方法，它是在數(shù)學(xué)理論和電路理論的

2、根底上建立的一種系統(tǒng)的方法。例1 ：R=15W, L=12mH, C=5mF, ， 求電路中的電流i和各元件的電壓相量，以及電路的等效導(dǎo)納和并聯(lián)等效電路。畫出相量模型 解；求出相關(guān)變 正弦穩(wěn)態(tài)電路方程是一組同頻正弦函數(shù)描述的代數(shù)方程，電路根本定律所涉及的正弦電流，電壓的運(yùn)算，不會(huì)改變電流電壓同頻正弦量的性質(zhì)，即正弦量乘常數(shù)Ri、正弦量的微分，正弦量的微分和同頻正弦量的代數(shù)和KCL、KVL等運(yùn)算，其結(jié)果仍是同頻正弦量?？梢钥闯觯魍l正弦電流電壓之間，在有效值、初相上的“差異和聯(lián)系寓于正弦函數(shù)描述電壓、電流表達(dá)式及電路方程中。無(wú)疑，求解和分析正弦函數(shù)所描述的電路方程，將能獲得正確的結(jié)果或結(jié)論，但

3、這一方法對(duì)于復(fù)雜電路將顯得非常繁瑣，使分析求解相當(dāng)困難?；谶@個(gè)問題，我們可以根據(jù)歐拉公式，將正弦函數(shù)用富指數(shù)函數(shù)表示，如前所述正弦量Us和i可表示為公式2(者不知道)上述變換說(shuō)明，一個(gè)正弦量可以分解為一對(duì)共軛的復(fù)指數(shù)函數(shù)。根據(jù)疊加定理和數(shù)學(xué)理論，只要對(duì)其中一個(gè)分量進(jìn)行求解就能寫出全部結(jié)果，大大簡(jiǎn)化了求解的過(guò)程。例題 圖1所示電路中，, ， 求電壓和。 解：為了幫助理解和防止錯(cuò)誤，可根據(jù)原電路圖畫出對(duì)應(yīng)的相量模型，它是將時(shí)域中的正弦電壓、電流用相量標(biāo)記，電路中的電阻、電感和電容元件根據(jù)VCR的相量形式分別用復(fù)數(shù)形式的R, ,標(biāo)記，而其他與原電路相同。根據(jù)相量形式的電路圖就可以直接寫出相量形式的

4、電路方程。圖a所示電路相對(duì)應(yīng)的相量形式的電路圖如圖b所示。圖中根據(jù)元件的的相量形式有根據(jù),有 所以上述變換只是數(shù)學(xué)形式上的變換，與式編號(hào)相比，并無(wú)實(shí)質(zhì)性的區(qū)別，但在形式上實(shí)現(xiàn)了非常有益的轉(zhuǎn)換，它將與時(shí)間有關(guān)的同頻正弦函數(shù)的電路方程轉(zhuǎn)化為與時(shí)間無(wú)關(guān)的復(fù)代數(shù)形式的電路方程。更重要的是，它將正弦穩(wěn)態(tài)中全部同頻的正弦電壓、電流轉(zhuǎn)化為由個(gè)正弦量的有效值和初相組合成的復(fù)數(shù)表示，如:寫出以下正弦電流對(duì)應(yīng)的相量解：根據(jù)國(guó)家規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)一用表示，因此，電流的表達(dá)式可改寫為 電流相量可按定義直接寫成 使同頻的各正弦量在有效值、初相上的“差異和聯(lián)系，在電路方程中表現(xiàn)的更清晰、更直觀，這將大大簡(jiǎn)化對(duì)正弦穩(wěn)態(tài)的表述和分

5、析求解的過(guò)程。拉普拉斯變換在復(fù)頻域分析中的應(yīng)用對(duì)于具有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件的復(fù)雜電路，除了將時(shí)域函數(shù)轉(zhuǎn)換到復(fù)平面范圍，利用歐拉公式轉(zhuǎn)化為相量式，并用相量法求解外，我們也可以利用積分變換法求解復(fù)頻域分析中的高階微分方程。積分變換法是通過(guò)積分變換，把的時(shí)域函數(shù)變換為頻域函數(shù)，從而把時(shí)域的微分方程化為頻域的代數(shù)方程。求出頻域方程后，再做反變換，返回時(shí)域，可以求得滿足電路初始條件的原微分方程的解答，而不需要確定積分常數(shù)。拉斯變換是一種重要的積分變換，是求解高階復(fù)雜動(dòng)態(tài)電路的有效而重要的方法之一。例：t = 0時(shí)翻開開關(guān) ,求電感電流和電壓。計(jì)算初值 畫運(yùn)算電路注意： ， 所以有： 所以的;一階二階電路應(yīng)用在研究一階電路和二階電路中，所應(yīng)用的方法是根據(jù)電路定律和元件的電壓電流關(guān)系建立描述電路的方程，由上述討論知，我們可以用相量法求解，但是對(duì)于具有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件的復(fù)雜電路，用直接求解微分方程的方法比擬困難。例如對(duì)于一個(gè)n階微分方程，直接求解時(shí)需要知道變量及其各階導(dǎo)數(shù)(知道n-1階導(dǎo)數(shù))在t=0時(shí)刻的值,而電路中給定的初始狀態(tài)是各電感電流和電容電壓在t=0時(shí)刻的值，從這些值求得所需初始條件的工作量很大。 為簡(jiǎn)便求解各