高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版第二節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分ppt課件

1、第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 一、一、 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功.),(, ),(),(yxQyxPyxF1kMkMABxyL),(kkFkykxnkW10limkkkkkky)Q(x)P,(其中 為 n 個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)2. 定義定義. 設(shè) L 為xoy 平面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧,若對(duì) L 的任意分割和在局部弧段上任意取

2、點(diǎn), 都存在,在有向曲線弧 L 上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.在 L 上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxFLxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ稱為對(duì) x 的曲線積分;稱為對(duì) y 的曲線積分.L 稱為積分弧段 或 積分曲線 .稱為被積函數(shù) , ),(yxQ其中, ),(yxP3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 假設(shè) L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(

3、kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 那么LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(那么 定積分是第二類曲線積分的特例定積分是第二類曲線積分的特例.說(shuō)明說(shuō)明: : 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),存在, 且有 假如 L 的方程為,:),(baxxy那么xxxQx

4、xPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(空間光滑曲線弧 :有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx例例1. 計(jì)算計(jì)算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2xyxy 54從點(diǎn)的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx例例2. 計(jì)算計(jì)算其中 L 為yBAoaa x(1) 半徑為 a 圓心在原點(diǎn)的上半圓周, 方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?(2) 從點(diǎn) A ( a , 0 )沿 x 軸到點(diǎn) B ( a ,

5、 0 ). ,d2xyL334a0yxo例例3. 計(jì)算計(jì)算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 例例4. 設(shè)在力場(chǎng)設(shè)在力場(chǎng)作用下, 質(zhì)點(diǎn)由沿移動(dòng)到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222k其中為),(zxyFBAzyx點(diǎn) O 的距離成正比,例例 5. 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在),(yxM處受恒指向原點(diǎn),)0,(aA沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)12222byax

6、沿逆時(shí)針移動(dòng)到, ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bBF 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. F)(222bakozyx例例6. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI,2122zyxyx從 z 軸正向看為順時(shí)針?lè)较?2)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz例例7. 知知為折線 ABCOA(如圖), zyyxIddd211 yx1 zy計(jì)算三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧 L 以弧長(zhǎng)為參數(shù) 的參數(shù)方程為)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦為sys

7、xddcos,ddcos則兩類曲線積分有如下聯(lián)系LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯(lián)系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令A(yù)sA d, ),(RQPA)d,d,(ddzyxr )cos,cos,(cos rA d rA dsAd記投影為例例9.9.將積分yyxQxyxPLd),(d),(化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從oyxBsyxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L 沿上半圓周例例8. 設(shè)設(shè),max22QPM曲線段 L 的長(zhǎng)度為s, 證明),(, )

8、,(yxQyxP續(xù),sMyQxPLdd在L上連 1. 定義kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性質(zhì)(1) L可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)3. 計(jì)算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對(duì)有向光滑弧 對(duì)有向光滑弧baxxyL:

9、, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 對(duì)空間有向光滑弧 :作業(yè)作業(yè) P200 (2), (4), (6), (8) 7 8第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的 等價(jià)條件等價(jià)條件格林公式及其應(yīng)用 LD區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無(wú)“洞區(qū)域 )復(fù)連通區(qū)域 ( 有“洞區(qū)域 ) 域 D 邊界L 的正向: 觀察者左側(cè)定理定理1. 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線是由分段光滑正向曲線 L 圍成圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一