冪級數(shù)laurent級數(shù)Fourier級數(shù)課件

1、第第3 3節(jié)節(jié) 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)與留數(shù)解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)與留數(shù) 留數(shù)是區(qū)別解析點(diǎn)與孤立奇點(diǎn)的重要標(biāo)志；留數(shù)揭示了孤立奇點(diǎn)與圍道積分的內(nèi)在聯(lián)系。一.孤立奇點(diǎn)及其分類定義1 若 在 不解析，但在 的某一去心鄰域0z0z)(zf00zz內(nèi)解析，則稱 是 的孤立奇點(diǎn)。)(zf0z非孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)0z)(zf（1） 為 的可去奇點(diǎn)：nnnzzC)(0若 中無負(fù)冪項000000)()(zzzzCzfzzCnnn解析，且在則重新定義000)(,)(zzfCzf000,)()(zzzzCzfnnn0)(lim0Czfzz根據(jù)Laurent級數(shù)的形式分類：0z00zz)(zf0z設(shè) 為 的孤立奇點(diǎn),在

2、的去心鄰域)(zf內(nèi) ， 的Laurent 展式為:nnnzzCzf)()(0孤立奇點(diǎn)可按以下兩種方式分類：0z)(zf（3） 為 的本性奇點(diǎn)：若 中負(fù)冪項有nnnzzC)(0無窮多項,)()()()( ),()()(00202010內(nèi)解析在其中zzzzCzzCzzCCzgzgzzzfmnnnmmmm不存在也不為)(lim0zfzz（2） 為 的( m 級)極點(diǎn)：0z)(zfnnnzzC)(0若 中負(fù)冪項只有有限項(m項)()()( )()(,0010101000zzCCzzCzzCzzCzfzzmmmnnn)(lim0zfzz不存在且不為存在且有界本性奇點(diǎn)極點(diǎn)可去奇點(diǎn))(lim)(lim)(

3、lim000zfzfzfzzzzzz定義2 級零點(diǎn)。的為則稱為一正整數(shù)，解析且在其中能表示成若mzfzmzzzzzzzfzfm)(,0)()(),()()()(0000根據(jù) 的極 限分類：)(0zfzz時的零點(diǎn)。為則稱若)(, 0)(00zfzzf AzfzzAznnn)(lim, ),(00使得的點(diǎn)列存在趨向于有限或無窮數(shù)為本性奇點(diǎn). 0)(),1, 1 , 0(0)(0)(0)(zfmnzfmn性質(zhì)1級零點(diǎn)的為則解析在若mzfzzzf)(,)(00性質(zhì)2級零點(diǎn)的為級極點(diǎn)的為mzfzmzfz)(1)(00例1 求下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并指出其類型：12)1(sin)()1(zzzf解為非孤立奇點(diǎn)0

4、 z為極點(diǎn)，), 2, 1(kzk級極點(diǎn)為10)1sin()(1( ,0)(12kzkzzzzfzfk0lim)., 2, 1(1, 0:kkkzkkzz奇點(diǎn))(limzfkzz2222)1(sin)1()()2(zzzzzf解1, 1, 0:zzz奇點(diǎn)為極點(diǎn)，0)(lim0zzfz級極點(diǎn)為10)1()1(! 311)(2222zzzzzzf級極點(diǎn)為 21z為可去奇點(diǎn)1z)1(1)()3(2zezzf級零點(diǎn)的為零點(diǎn)級的為級零點(diǎn)的為級零點(diǎn)的為1)1()(1), 1(,3)1()(1011), 1, 0(2,20222zkzzkezzfkzezzfzekikzzz解級極點(diǎn)的為級極點(diǎn)的為1)(),

5、1(2,3)(0zfkikzzfzkzzzf1cos)()4(0:z奇點(diǎn)解1)!2()1(1!411!2111cos)(242nnznzzzzzzf的本性奇點(diǎn)為)(0zfz 以上討論了當(dāng) 為有限奇點(diǎn)時，孤立奇點(diǎn)的分類。0z現(xiàn)討論若 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析（這時)(zf處的性態(tài)。在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)）稱)(,zf內(nèi)解析的去心鄰域在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)設(shè)zRzzf)(zt1內(nèi)解析的去心鄰域在Rtttft100)1()(Laurent 展式為:nnnzCzf)(Laurent 展式為:nnntCt)(本性奇點(diǎn)級極點(diǎn)的可去奇點(diǎn)為稱本性奇點(diǎn)時，級極點(diǎn)的可去奇點(diǎn)為規(guī)定：當(dāng),)(,)(0mzfzmtt為本性奇點(diǎn)z)

6、(limzfz存在且有界)(limzfz不含正冪項（)(zRzCzfnnn為可去奇點(diǎn)z為極點(diǎn)z只含有限個正冪項（)(zRzCzfnnn含無窮多個正冪項（)(zRzCzfnnn不存在且不為)(limzfz223!51!311sinzzzz例如關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)的分類可以轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)情況或者利用已知函數(shù)的展開式來判定，當(dāng)然這個展開式必須是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)去心鄰域內(nèi)的Laurent展式。的本性奇點(diǎn)為級極點(diǎn)的為)(,2)(0zfzzfz3!3111sinzzz的可去奇點(diǎn)為的本性奇點(diǎn)為)(,)(0zfzzfz二.留數(shù)0z00zz)(zf0z設(shè) 為 的孤立奇點(diǎn),在 的去心鄰域)(zf內(nèi) ， 的Laurent 展

7、式為:nnnzzCzf)()(0對上式兩邊積分得的任一條簡單閉曲線，內(nèi)包含為000zzzL12)(iCdzzfL10001)(21),(Res,),(Res)()(21CdzzfizzfzzfzzfdzzfiCLL即的留數(shù)，記為在為稱1)(21),(ReCdzzfizfsL無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)內(nèi)解析的去心鄰域在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)設(shè)zRzzf)(處的留數(shù)定義為在則簡單閉曲線，內(nèi)任一條逆時針方向的為)(zfzRL的系數(shù)中展式內(nèi)的在為其中11Laurent)(zzCzRzfCnnn0),(Res0zzf)()(lim),( sRe000zfzzzzfzz)()(lim)!1(1),( sRe01100zfzzdz

8、dmzzfmmmzz留數(shù)計算法：則的可去奇點(diǎn)為若,)() 1 (0zfz則級極點(diǎn)的為若,1)()2(0zfz則級極點(diǎn)的為若,)()3(0mzfz , 0)(, 0)(, 0)()()(,)()()()4(0000則解析，且在及設(shè)zQzQzPzzQzPzQzPzf0 ,z1)z1(Res),(zRes )5(2ff)()(),(zRes 000zQzPzf1m),(Re)(3) 1()(2)!1(lim)!1(1)()(lim)!1(10120100101100zzfsCzzCmzzCmCmmzfzzdzdmzzmmmzz于是證明,)()3(0級極點(diǎn)的為若mzfz的去心鄰域內(nèi)則在0z)()()(

9、 )(0101010zzCCzzCzzCzfmm,)()()()(001010mmmmzzCzzCCzfzz0mC）；即得（）中取（注：2, 13. 1m2.從證明過程不難看出，即使極點(diǎn)的級數(shù)小于m,也可當(dāng)作級數(shù)為m 來計算。這是因為表達(dá)式)()()()()(00101010zzCzzCzzCCzzzfmmmm這不影響證明結(jié)果。的系數(shù) 中可能有一個或幾個為零而已，,1mmCC例2 求下列函數(shù)的奇點(diǎn)并計算留數(shù)：)2(23)()1 (2zzzzf解法1為可去奇點(diǎn)級極點(diǎn)為級極點(diǎn)為zzz,12,2012322321)2(23212),(Res2222zLLzzdzzzzidzzzzizf1)223()

10、!12(122321)2(23210),(Res022zLLzzdzzzzidzzzzizf0)223(23()223223(21)2(23)2(23(21)2(2321)2(2321),(Res0222222222121zzLLLLLLzzzzdzzzzdzzzzidzzzzdzzzzidzzzzidzzzzizf 法2123lim)()2(lim2),(Res222zzzfzzfzz1)2(4lim )(lim)!12(10),(Res2020zzfzzfzz1)2(223 )2(232),(Res2222zzzzzzzzzzf或00 ,2z12z3Res 0 ,z1)z1(Res),(z

11、Res 22ff法3級數(shù)內(nèi)展成在將Laurent220)( zzf4121)2(1 21)2(1 43)22(221 21)22(221 43222222zzzzzzzzz22222221 121221 143)2(2)2(42)2(3)2(2)2(4)2( 3)(zzzzzzzzzzf.12),(Re1Czfs級數(shù)內(nèi)展成在將Laurent20)( zzf)21 (2431)243(1)(22zzzzzf42111)8421 (2312322zzzzzzz.10),(Re1Czfs級數(shù)內(nèi)展成在將Laurent2)( zzf)21 (431)243(1)(22zzzzzzf432322243)8

12、421 (431zzzzzzzz.0),(Re1Czfsze11)2(解3213211)1(! 31)1(!21)1(1)1 (1! 31)1 (1!21111zzzzzzez時的可去奇點(diǎn)為的本性奇點(diǎn)為10)(,)(1zzfzzfz.11),(Re1Czfs時 z1232232112111 )21(!21)111 (11 )11(!2111111)1 (1! 31)1 (1!21111zzzzzzzzzzzzzez.1),(Re1Czfs. 1221210 ,Re0 ,1)1(Re),(Re0121212zzzLzzzzeiidzzeizeszzfszfs 或或421)()3(zezfz140

13、442!2!1)2(111)(nnnnzznnzzzezf.340),(Re1Czfs341lim! 310),(Re)3(4240zezzfszz解 法1)(zf所以，0為 的三級極點(diǎn)，且法2 因為0是分子的一級零點(diǎn)，是分母的四級零點(diǎn)，)(zf所以0是 的三級極點(diǎn)，取 m=4,由公式 2 得.34),(Re1CzfsLnkkzzfsidzzf1),(Re2)(三.留數(shù)定理)(zf定理定理1 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點(diǎn)nzzz,21外處處解析，L是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條逆時針方向簡單閉曲線，那么由復(fù)合閉路定理,得利用這個定理，可將求沿封閉曲線L的積分，轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在L中的各孤立奇點(diǎn)處

14、的留數(shù)。0),(Re),(Re1nkkzzfszfs)(zf定理定理2 如果函數(shù) 在擴(kuò)充的復(fù)平面內(nèi)除有限個點(diǎn)）的留數(shù)的總和必等于零,即)(zf孤立奇點(diǎn)外解析，那么 在所有各奇點(diǎn)（包括逆時針。),(2:d)1()1(1)1 (2222yxyxLzzzIL例3 計算下列積分：解2)4121(2)()(lim )()1(lim)!12(1i2),(Res1),(i(Res2I21iizfizzfzizfzfizz由留數(shù)定理1，得.2)1()1(:, 1, 1)1()1(1)(2222內(nèi)在的奇點(diǎn)為yxLizzizzzzzf逆時針。,25:d)1)(3(1)2(5zLzzzIL.3),4, 3,2, 1

15、,0(01)(5外在奇點(diǎn)的五個根奇點(diǎn)為內(nèi)在LzkzzzfLk由留數(shù)定理1，2，得,2421)()3(lim3),(Res3zfzzfz其中121)02421(2),(Re3),(Re(2),(Re251iizfszfsizzfsiIkk解)111)(931 (1)11 ()31 (1)1)(3(110526555zzzzzzzzzzz時 z3.0),(Re1Czfs00 ,)1)(31 (Re0 ,1)1(Re),(Re542可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)或或zzzszzfszfs四.利用留數(shù)計算某些實積分,)sin,(cos) 1 (20型dRizdzizzzzRdRzezi)2,2()sin,(cos1

16、1120.)cos32202xdx（計算122202)21321)cos32zizdzzzxdx（例4解.2 , 0cossin)sin,(cos 上連續(xù)的有理函數(shù)，在，為其中R4)3(lim234) 1343431122zziizzzdzizz（,)()2(型dxxR滿足：),0, 0()()()(1010nmnnmmnmbaxbxbbxaxaaxQxPxR則在實軸上無奇點(diǎn)，即在實軸上)(, 0)()2(, 2) 1 (zRzQmnn),(Re2)(kzzRsidxxR點(diǎn)。在上半平面內(nèi)的所有奇為其中)(zRzk其中證由留數(shù)定理得軸所圍的區(qū)域內(nèi)。與內(nèi)的所有奇點(diǎn)都在在上半平面適當(dāng)大，使的半圓周。

17、取為半徑的在上半平面以原點(diǎn)為中心，xCzRRRCRR)(:),(Re2)()(kCRRzzRsidzzRdxxRR上在RC)()()()(1101101010nnnmnmmmnnmmnmbzbzbzazazazbzbbzazaazQzPzR充分大，使取RnRMzR)(RMRRMdzzRdzzRRRCC2)()()(0R于是得兩邊令等式,),(Re2)()(RzzRsidzzRdxxRkCRRR),(Re2)(kzzRsidxxR. ), 0, 0()22222bababxaxdx（計算)1)(2222222222bxaxdxbzazzf（232222223222)(2)2()(21)(432)()(lim) )()(lim2),(Re),(Re2abbaababbiabiaabizfbizzfaizibizfsaizfsibizaiz例5解.)1032 xdx（計算dxxdxxzzf3232032)1121)11)11)(（163)(12lim21 )()(lim)!13(1),(Re22133 izizfiziizfsiiziz例6解,)0()()3(型adxexRiax滿足：),0, 0()()()(1010nmnnmmnmbaxbxbbxaxaaxQxPxR,)(Re2)(kiaxiaxzezRsidx