課時2數(shù)列求和的歸納概括與提高(使用2)

1、1數(shù)列求和求數(shù)列求數(shù)列的前的前項和項和.n例例11111 ,2 ,3 ,248解：解： 設數(shù)列的通項為設數(shù)列的通項為,na則則12nnan1231111(1) (2) (3)()2482nnnSaaaan1 1 11(1 2 3) ()2 4 82nn (1)1122nn n 22122nnn求數(shù)列求數(shù)列111,1223(1)n n的前的前項和項和.n例例2111(1)1nbn nnn則則解：解： 設數(shù)列的通項為設數(shù)列的通項為 ，nb12111111()()()12231nnSbbbnn1 1111111 2231nnn 1nn【小結】裂項的目的是為使部分項相互抵消.大多數(shù)裂項相消的通項均可表

2、示為bn=其中an是公差d不為0的等差數(shù)列，則b1+b2+bn=111111()nnnna ad aa122311111111(.)nnd aaaaaa2()1nn 變式訓練變式訓練( (學生課堂練習學生課堂練習) )：（1）求和）求和:n+32113211211112112()(1)(1)12nan nn nnn11111112(1)223341122(1)11nSnnnnn1(22)nn 221(2)1 (12)(122 )(1222)n求和：21nna 解：231(2222 )2(21)22nnnnSnnn注：注：“錯位相減法錯位相減法”求和求和,常應用于型如常應用于型如anbn的數(shù)列的

3、數(shù)列求和求和,其中其中an為等差數(shù)列為等差數(shù)列, bn 為等比數(shù)列為等比數(shù)列.222nnnS 三、錯位相減法三、錯位相減法錯位相減法錯位相減法: :是推導等比數(shù)列前是推導等比數(shù)列前n n項和的方法項和的方法23 1 22 23 22_nn 例例2 2. .1(1)22nn （2）求數(shù)列）求數(shù)列 x，3x2，5x3, ,(2n-1)xn ,的前的前n項和項和 1232482:.nnnS 求求習習1 1）和和：練練（ 對于等差對于等差數(shù)列和等比數(shù)數(shù)列和等比數(shù)列的前列的前n n項和可項和可直接用求和公直接用求和公式式. .方法總結方法總結公式求和拆項重組裂項相消錯位相減 利用轉化利用轉化的思想的思想

4、, ,將數(shù)列將數(shù)列拆分、重組轉拆分、重組轉化為等差或等化為等差或等比數(shù)列求和比數(shù)列求和. .拆項重組裂項相消方法總結方法總結公式求和錯位相減方法總結方法總結公式求和拆項重組裂項相消錯位相減對于通項型如對于通項型如 的數(shù)列的數(shù)列, ,在求和時將每項在求和時將每項分裂成兩項之差的形式分裂成兩項之差的形式, ,一般除首末兩項或附近一般除首末兩項或附近幾項外幾項外, ,其余各項先后抵其余各項先后抵消消, ,可較易求出前可較易求出前n n項和項和. . 11nnnbba(其中其中 為等差數(shù)列）為等差數(shù)列）nb是等比數(shù)列是等比數(shù)列,的前的前n n項和項和, ,可用錯位可用錯位相減法相減法. . 如果如果

5、是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,那么求數(shù)列那么求數(shù)列 nanbnnba 方法總結方法總結公式求和拆項重組裂項相消錯位相減 知識要點求數(shù)列的前n項和Sn基本方法： 1.直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，等比數(shù)列求和時注意分q=1、q1的討論； 2.拆項分解求和法：把數(shù)列的每一項分成幾項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求和； 3.錯位相減法：若一個數(shù)列具備有如下特征:它的各項恰好是由某個等差數(shù)列與某個等比數(shù)列之對應項相乘所構成的,其求和則用錯位相減法 (此法即為等比數(shù)列求和公式的推導方法)；數(shù)列求和4.裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成幾項之差,使在求和時能出現(xiàn)隔項相消(正負相消),剩下（首尾）若干項求和

6、.如: (1) (2) (3)111;(1)1n nnn1111().(21)(21)2 2121nnnn11().ababab5.倒序相加法：即等差數(shù)列求和公式的推導方法；鞏固練習鞏固練習(今日作業(yè)今日作業(yè))：111,13 3557求的前n項和22222111312243611482nn（ ）求和9 , 9 9 , 9 9 9 , 求數(shù)列 n的前項和1 1111(2 13351111)(1)212122121nSnnnnn解（1）、1 0 (11 0)( 2 )11 01 0(1 01)9nnnSnn、2111 113()2(2)22nannn nnn（ ）、11111111(1)23243

7、521111323(1)221242(1)(2)nSnnnnnnn18 提高練習提高練習 題題1 已知數(shù)列已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, 且且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求求數(shù)列數(shù)列 an 的通項公式的通項公式; (2)令令 bn=an 3n, 求數(shù)列求數(shù)列 bn 前前 n 項和的項和的公式公式.解解: (1)設數(shù)列設數(shù)列 an 的公差為的公差為 d, 則由已知得則由已知得 3a1+3d=12, d=2. an=2+(n- -1) 2=2n. 故數(shù)列故數(shù)列 an 的通項公式的通項公式為為 an=2n. (2)由由 bn=an 3n=2n 3n 得數(shù)列得數(shù)列 bn 前前

8、 n 項和項和 Sn=2 3+4 32+(2n- -2) 3n- -1+2n 3n 3Sn=2 32+4 33+(2n- -2) 3n+2n 3n+1 將將 式減式減 式得式得: - -2Sn=2(3+32+3n)- -2n 3n+1=3(3n- -1)- -2n 3n+1. 2Sn= +n 3n+1. 3(1- -3n) 又又 a1=2, 1923123( )()nnf xa xa xa xa xnN12,na aa2(1)fn na1( )3f解解(1)f(1)=a1+a2+a3+an=n2 an=n2-(n-1)2=2n-112323231111( )311111(2) ( )13 ( )5 ( )(21)