9-5(柱面坐標和球面坐標下的計算)

1、,0 r,20 . z一、利用柱面坐標計算三重積分一、利用柱面坐標計算三重積分的柱面坐標的柱面坐標就叫點就叫點個數(shù)個數(shù)，則這樣的三，則這樣的三的極坐標為的極坐標為面上的投影面上的投影在在為空間內(nèi)一點，并設(shè)點為空間內(nèi)一點，并設(shè)點設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐標與直角坐柱面坐標與直角坐標的關(guān)系為標的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,

2、cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標系如圖，柱面坐標系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 例例1 1 計算計算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為 23242030rrzdzrdrdI.413 面上，如圖，面上，如圖，投影到投影到把閉區(qū)域把閉區(qū)域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例計算計算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞

3、oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲的曲面面與兩平面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體.解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸旋轉(zhuǎn)得，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原式原式 I 345 625 336. 82402022r

4、dzrrdrd 22202022rdzrrdrd二、利用球面坐標計算三重積分二、利用球面坐標計算三重積分的球面坐標的球面坐標就叫做點就叫做點，個數(shù)個數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點點為為的角，這里的角，這里段段逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點與點點點為原為原來確定，其中來確定，其中，三個有次序的數(shù)三個有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點，則點為空間內(nèi)一點，則點設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(,r 0.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：為常數(shù)為常數(shù)

5、r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標與直角坐標的關(guān)系為球面坐標與直角坐標的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點點，面上的投影為面上的投影為在在設(shè)點設(shè)點AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐標系中的體積元素為球面坐標系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d s

6、inr如圖，如圖，例例 3 3 計計算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是錐錐面面222zyx ， 與與平平面面az )0( a所所圍圍的的立立體體.解解 1 采采用用球球面面坐坐標標az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采用柱面坐標采用柱面坐標 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr

7、例例 4 4 求曲面求曲面22222azyx 與與22yxz 所圍所圍 成的立體體積成的立體體積.解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標標，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 補充：利用對稱性化簡三重積分計算補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：使用對稱性時應注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標面的對稱性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標面的對稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標軸、被積函數(shù)在積分區(qū)

8、域上的關(guān)于三個坐標軸的的 一一般般地地，當當積積分分區(qū)區(qū)域域 關(guān)關(guān)于于xoy平平面面對對稱稱，且且被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的奇奇函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為零零，若若被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的偶偶函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為 在在xoy平平面面上上方方的的半半個個閉閉區(qū)區(qū)域域的的三三重重積積分分的的兩兩倍倍.奇偶性奇偶性例例利用對稱性簡化計算利用對稱性簡化計算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域1| ),(222 zyxzyx.解解積分域關(guān)于三個坐標面都對稱，積分域關(guān)于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是被

9、積函數(shù)是 的的奇函數(shù)奇函數(shù),z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 6 6 計算計算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由拋物是由拋物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所圍成的空所圍成的空間閉區(qū)域間閉區(qū)域.其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對對稱稱, 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于yoz面面對對稱稱, 0 xzdv由由對對稱稱性性知知 dvydvx22,則則 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzz

10、x在柱面坐標下：在柱面坐標下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影區(qū)域投影區(qū)域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 （1） 柱面坐標的體積元素柱面坐標的體積元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐標的體積元素球面坐標的體積元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 對稱性簡化運算對稱性簡化運算三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標柱面坐標球面坐標球面坐標三、小結(jié)三、小結(jié)思考題思考題則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為面對稱的有界閉區(qū)域，面對稱的有界閉區(qū)域，中關(guān)于中關(guān)于為為若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),

11、(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時時關(guān)關(guān)于于當當 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf為為偶偶函函數(shù)數(shù)時時關(guān)關(guān)于于當當.1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xy zz2一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所圍圍, ,則三重積分則三重積分 dvzyxf),(表示成直角坐標下表示成直角坐標下的三次積分是的三次積分是_; ;在柱面坐標下在柱面坐標下的三次積分是的三次積分是_; ;在球面坐標下在球面坐標下的三次積分是的三次積分是_. .2 2、 若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所圍所圍,

12、,將將 zdv表為柱面坐標下的三次積分表為柱面坐標下的三次積分_, ,其值為其值為_. .練練 習習 題題 3 3、若空間區(qū)域、若空間區(qū)域 為二曲面為二曲面azyx 22及及 222yxaz 所圍所圍, ,則其體積可表為三重積分則其體積可表為三重積分_; ;或二重積分或二重積分_; ;或柱面坐標下的三次積分或柱面坐標下的三次積分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222zyx 所確定所確定, ,將將 zdv表為球面坐標下的三次積分為表為球面坐標下的三次積分為_；其值為；其值為_. .二、計算下列三重積分二、計算下列三重積分: : 1 1、 dvyx)(22,

13、,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所確定所確定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222czbyaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所圍成的立所圍成的立體的體積體的體積. .四、曲面四、曲面2224aazyx 將球體將球體azzyx4222 分分成兩部分成兩部分, ,試求兩部分的體積之比試求兩部分的體積之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xa

14、yxyxz0, 0 zy 所所圍圍成成立立體體的的重重心心( (設(shè)設(shè)密密度度1 ) ). .六、求半徑為六、求半徑為a, ,高為高為h的均勻圓柱體對于過中心而垂的均勻圓柱體對于過中心而垂 直于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量直于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量 ( (設(shè)密度設(shè)密度)1 . .一、一、1 1、 22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2；練習題答案練習題答案 2 2、 2221020rrzdzrdrd, ,127 ； 3 3、 dv,