數(shù)學(xué)研究課題空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題

1、數(shù)學(xué)研究課題-空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問題例1用兩個平行平面去截半徑為的球面，兩個截面圓的半徑為，兩截面間的距離為，求球的表面積分析：此類題目的求解是首先做出截面圖，再根據(jù)條件和截面性質(zhì)做出與球的半徑有關(guān)的三角形等圖形，利用方程思想計算可得解：設(shè)垂直于截面的大圓面交兩截面圓于，上述大圓的垂直于的直徑交于，如圖2設(shè)，則，解得說明：通過此類題目，明確球的有關(guān)計算問題需先將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，進一步熟悉有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識，熟練使用方程思想，合理設(shè)元，列式，求解例2自半徑為的球面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值分析：此題欲計算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個封閉的圖形內(nèi)進行計算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)

2、造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)解：以為從一個頂點出發(fā)的三條棱，將三棱錐補成一個長方體，則另外四個頂點必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑=說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中體積計算例3試比較等體積的球與正方體的表面積的大小分析：首先抓好球與正方體的基本量半徑和棱長，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系解：設(shè)球的半徑為，正方體的棱長為，它們的體積均為，則由，由得，即說明：突出相關(guān)的面積與體積公式的準(zhǔn)確使用，注意比較大小時運算上的設(shè)計例4設(shè)正四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的

3、表面積之比及體積之比分析：此題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個球的半徑為正四面體中心到頂點的距離設(shè)，正四面體的一個面的面積為依題意得，又即所以說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑例5半徑為的球內(nèi)接一個各棱長都相等的四棱錐求該四棱錐的體積分析：四棱錐的體積由它的底面積和高確定，只需找到底面、高與球半徑的關(guān)系

4、即可，解決這個問題的關(guān)鍵是如何選取截面，如圖所示解：棱錐底面各邊相等，底面是菱形棱錐側(cè)棱都相等，側(cè)棱在底面上射影都相等，即底面有外接圓底面是正方形，且頂點在底面上的射影是底面中心，此棱錐是正棱錐過該棱錐對角面作截面，設(shè)棱長為，則底面對角線，故截面是等腰直角三角形又因為是球的大圓的內(nèi)接三角形，所以，即高，體積說明：在作四棱錐的截面時，容易誤認為截面是正三角形，如果作平等于底面一邊的對稱截面（過棱錐頂點，底面中心，且與底面一邊平行），可得一個腰長為斜高、底為底面邊長的等腰三角形，但這一等腰三角形并不是外接球大圓的內(nèi)接三角形可見，解決有關(guān)幾何體接切的問題，如何選取截面是個關(guān)鍵解決此類問題的方法通常是

5、先確定多面體的棱長（或高或某個截面內(nèi)的元素）與球半徑的關(guān)系，再進一步求解例6在球面上有四個點、，如果、兩兩互相垂直，且求這個球的表面積分析：，因而求球的表面關(guān)鍵在于求出球的半徑解：設(shè)過、三點的球的截面半徑為，球心到該圓面的距離為，則由題意知、四點不共面，因而是以這四個點為頂點的三棱錐（如圖所示）的外接圓是球的截面圓由、互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又，所以也是的外心，所以為等邊三角形，且邊長為，是其中心，從而也是截面圓的圓心據(jù)球的截面的性質(zhì)，有垂直于所在平面，因此、共線，三棱錐是高為的球內(nèi)接正三棱錐，從而由已知得，所以，可求得，說明：涉及到球與圓柱、圓錐、圓臺切接問題，一般作其軸截面；涉及

6、到球與棱柱、棱錐、棱臺的切接問題，一般過球心及多面體中特殊點或線作截面，把空間問題化為平面問題，進而利用平面幾何的知識尋找?guī)缀误w元素間的關(guān)系例7已知棱長為3的正四面體，、是棱、上的點，且，求四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑分析：可用何種法求內(nèi)切球半徑，把分成4個小體積(如圖)解：設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，球心，外接球半徑，球心，連結(jié)、，則四面體各面的面積為，各邊邊長分別為，如圖，是直角三角形，其個心是斜邊的中點設(shè)中心為，連結(jié)，過作平面的垂線，必在此垂線上，連結(jié)、，在直角梯形中，又，解得：綜上，四面體的內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為說明：求四面體外接半徑的關(guān)鍵是確定其球心對此多數(shù)同學(xué)束手無策，而這主要是因

7、本題圖形的背景較復(fù)雜若把該四面體單獨移出，則不參發(fā)現(xiàn)其球心在過各面三角形外心且與該三角形所在平面垂直的直線上，另還須注意其球心不一定在四面體內(nèi)部本題在求四面體內(nèi)切球半徑時，將該四面體分割為以球心為頂點，各面為底面的四個三棱錐，通過其體積關(guān)系求得半徑這樣分割的思想方法應(yīng)給予重視例8 球面上有三點、組成這個球的一個截面的內(nèi)接三角形三個頂點，其中，、，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑解：，是以為斜邊的直角三角形的外接

8、圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，得球的表面積為說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過兩個量求第三個量，也可能是抓三個量之間的其它關(guān)系，求三個量例如，過球表面上一點引三條長度相等的弦、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長度由條件可抓住是正四面體，、為球上四點，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過點、的截面圓半徑，所以得例9正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切求球的表面積與體積分析：球與正三棱錐四個面相切，實際上，球是正三棱錐的內(nèi)切球，球心到正三棱錐的四個面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的

9、距離，而點面距離?？梢杂玫润w積法解決解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個面的距離都是球的半徑是正三棱錐的高，即是邊中點，在上，的邊長為，可以得到由等體積法，得：，說明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點，本題利用球心到正三棱錐四個面的距離相等且為球半徑來求出，以球心的位置特點來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法比如：四個半徑為的球兩兩外切，其中三個放在桌面上，第四個球放在這三個球之上，則第四個球離開桌面的高度為多少？這里，四個球的球心這間的距離都是，四個球心構(gòu)成一個棱長為的正四面體，可以計算正四面體的高為，從而上面球離開桌面的高度為例10求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比分析：

10、首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；，例11正三棱錐的側(cè)棱長為，兩側(cè)棱的夾角為，求它的外接球的體積分析：求球半徑，是解本題的關(guān)鍵解：如圖，作底面于，則為正的中心底面，、三點共線，設(shè)，作于，在中，又，在中，說明：解決與球有關(guān)的接、切問題時，一般作一個適當(dāng)?shù)慕孛?，將問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，這類截面通常指圓錐的軸截面、球的大圓、多面體的對角面等，在這個截面中應(yīng)包括每個幾何體的主要元素，且這個截面必須能反映出體和體之間的主要位置關(guān)系和

11、數(shù)量關(guān)系例12 在球心同側(cè)有相距的兩個平行截面，它們的面積分別為和求球的表面積分析：可畫出球的軸截面，利用球的截面性質(zhì)，求球的半徑解：如圖為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，且若、分別為兩截面圓的圓心，則，設(shè)球的半徑為，同理，設(shè)，則在中，；在中，解得，球的表面積為幾何體與球切、接的問題1 球與柱體的切接規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.1.1 球與正方體如圖所示，正方體，設(shè)正方體的棱長為，為棱的中點，為球的球心.常見組合方式有三類：一是球為正方體的內(nèi)切球，截面圖為正方

12、形和其內(nèi)切圓，則；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則；三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形和其外接圓，則.通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.（1）正方體的內(nèi)切球，如圖1. 位置關(guān)系：正方體的六個面都與一個球都相切，正方體中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為，球的半徑為，這時有. （2）正方體的外接球，如圖2. 位置關(guān)系：正方體的八個頂點在同一個球面上；正方體中心與

13、球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為，球的半徑為，這時有.（3）正方體的棱切球，如圖3. 位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為，球的半徑為，這時有.例 1 棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ ）A B CD思路分析：由題意推出，球為正方體的外接球.平面截面所得圓面的半徑得知直線被球截得的線段就是球的截面圓的直徑.【解析】由題意可知，球為正方體的外接球.平面截面所得圓面的半徑直線被球截得的線段為球的截面圓的直徑.點評：本題考查球與正方體“接”的問題，利用球的截面

14、性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成為求球的截面圓直徑.1.2 球與長方體例 2自半徑為的球面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值思路分析：此題欲計算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個封閉的圖形內(nèi)進行計算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)【解析】以為從一個頂點出發(fā)的三條棱，將三棱錐補成一個長方體，則另外四個頂點必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑 =點評：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中體積計算.例 3已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（ ）.A. B. C. D.思路分析：正四棱柱也

15、是長方體.由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為2，可得長方體的長、寬、高分別為2，2，4，長方體內(nèi)接于球，它的體對角線正好為球的直徑.【解析】正四棱柱也是長方體。由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為2，因此，長方體的長、寬、高分別為2，2，4，因為長方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑.長方體體對角線長為，故球的表面積為.故選C.點評：本題考查球與長方體“接”的問題，利用長方體的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成為求其體對角線.2 球與錐體的切接規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系

16、，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.2.1正四面體與球的切接問題 （1） 正四面體的內(nèi)切球，如圖4. 位置關(guān)系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有；（可以利用體積橋證明） （2） 正四面體的外接球，如圖5. 位置關(guān)系：正四面體的四個頂點都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有；（可用正四面體高減去內(nèi)切球的半徑得到）（3） 正四面體的棱切球，如圖6. 位

17、置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有 例 4設(shè)正四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比及體積之比思路分析：此題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的【解析】如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個球的半徑為正四面體中心到頂點的距離設(shè)，正四面體的一個面的面積為依題意得， 又即所以2.2其它棱錐與球的切接問題球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一

18、是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構(gòu)造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.球與一些特殊的棱錐進行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補形法等進行求解.例如，四個面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置.例5正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切求球的表面積與體積思路分析：此題求解的關(guān)鍵是搞清球

19、的半徑與正三棱錐的高及底面邊長的關(guān)系，由等體積法可得：，得到【解析】如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個面的距離都是球的半徑是正三棱錐的高，即是邊中點，在上，的邊長為， 可以得到 由等體積法， 得：， 點評：球心是決定球的位置關(guān)鍵點，本題利用球心到正三棱錐四個面的距離相等且為球半徑來求出，以球心的位置特點來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法例6若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是.思路分析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法.三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個

20、角，馬上構(gòu)造長方體，由側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型.【解析】此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個角，馬上構(gòu)造長方體，且側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，如圖1，則，那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對角線，故所求表面積是.(如圖1)圖2圖1點評：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中計算問題，這是解決幾何體與球切接問題常用的方法例7 已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，是球的直徑，且；則此棱錐的體積為（

21、）A. B. C. D.思路分析：的外接圓是球面的一個小圓，由已知可得其半徑，從而得到點到面的距離.由為球的直徑點到面的距離即可求得棱錐的體積.【解析】的外接圓半徑為，點到面的距離為球的直徑點到面的距離此棱錐的體積為選.點評：本題難度不大，主要是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將棱錐高應(yīng)用球的幾何性質(zhì)計算得到3 球與球相切問題對于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過準(zhǔn)確確定各個小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例8已知有半徑分別為2、3的球各兩個，且這四個球彼此相外切，現(xiàn)有一個球與此四個球都相外切，則此球的半徑為.思路分析：結(jié)合圖形，分析四個球

22、的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.設(shè)AB中點為E、CD中點為F，連結(jié)EF.在ABF中可得，在EBF中可得.由于對稱性可得第五個球的球心O在EF上，連結(jié)OA、OD.設(shè)第五個球的半徑為r，根據(jù)OE+OF=EF建立的方程.【解析】如圖：設(shè)四個球的球心分別為A、B、C、D，則AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.設(shè)AB中點為E、CD中點為F，連結(jié)EF.在ABF中求得BF=，在EBF中求得EF=.由于對稱性可得第五個球的球心O在EF上，連結(jié)OA、OD.設(shè)第五個球的半徑為r，則OA=r+3，OD=r+2，于是OE=，OF=，OE+OF=EF平方整理再平

23、方得解得或（舍掉），故答案為.點評：本題通過分析球心的位置，根據(jù)它們構(gòu)成的幾何體特征，轉(zhuǎn)化成平面幾何中三角形邊角關(guān)系，利用方程思想得解例9把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離思路分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和2【解析】四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點，則正四面體的高而第四個球的最高點到第四個球的球心距離為求的半徑1，且三個球心到桌面的距離都為1，故第四個球的最高點與桌面的距離為點評：本題難度不大，

24、主要是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將棱錐高應(yīng)用球的幾何性質(zhì)計算得到4 球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：.例10把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（）Al0cm B10 cmC10cm D30cm思路分析：根據(jù)題意球心O在圖中AP上，過O作BP的垂線ON垂足為N，ON=R，OM=R，由各個棱都為20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB=,設(shè)，在BPM中，由,得.在PAM中, 由,得.