四川省遂寧二中2012屆高三數(shù)學(xué)輔導(dǎo)資料（17） 向量的概念、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積

1、（17） 向量的概念及向量的基本運(yùn)算知識(shí)梳理1.平面向量的有關(guān)概念：（1）向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向線段來(lái)表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示.（3）模：向量的長(zhǎng)度叫向量的模，記作|a|或|.（4）零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向不確定.（5）單位向量：長(zhǎng)度為1個(gè)長(zhǎng)度單位的向量叫做單位向量.（6）共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規(guī)定零向量與任何向量共線.（7）相等的向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法：（1）定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的

2、加法.（2）法則：三角形法則；平行四邊形法則.（3）運(yùn)算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.3.向量的減法：（1）定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.（2）法則：三角形法則；平行四邊形法則.4.實(shí)數(shù)與向量的積：（1）定義：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，規(guī)定：|a|=|a|.當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)=0時(shí)，a與a平行.（2）運(yùn)算律：（a）=（）a，（+）a=a+a，（a+b）=a+b.5.向量的坐標(biāo)運(yùn)算：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則（4）設(shè)非零向量，則6.兩個(gè)重要定理：（1）向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充

3、要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=a，即bab=a（a0）.（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a=1e1+2e2.7.用向量表示三角形的各種心：（1）G為的重心，G為的重心，是BC邊上的中線上的任意向量，過(guò)重心。,即已知AD是中BC邊的中線。（2）P為的垂心。（3） P為的內(nèi)心。 向量所在直線過(guò)的內(nèi)心（是的角平分線所在直線）。（4）O為的外心。典例剖析【例1】在中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，若,則_；【例2】 如圖，G是ABC的重心，求證：+=0.【例3】 設(shè)、不共線，點(diǎn)P在AB上，求證：=+且+=1，、R

4、.【例4】 若a、b是兩個(gè)不共線的非零向量（tR）.（1）若a與b起點(diǎn)相同，t為何值時(shí)，a、tb、（a+b）三向量的終點(diǎn)在一直線上?（2）若|a|=|b|且a與b夾角為60°，那么t為何值時(shí)，|atb|的值最小?闖關(guān)訓(xùn)練1.若平面向量b與向量a=（1，2）的夾角是180°，且|b|=3，則b等于( )A.（3，6）B.（3，6） C.（6，3）D.（6，3）2.已知向量a=（3，4），b=（sin，cos），且ab，則tan等于( )A.B.C.D.3.若ABCD為正方形，E是CD的中點(diǎn)，且=a，=b，則等于( )A.b+aB.ba C.a+bD.ab4.e1、e2是不共線

5、的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，則a與b共線的充要條件是實(shí)數(shù)k等于( )A.0B.1C.2D.±15.（2009年山東，理7）設(shè)P是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，,則（ ）A.B.C.D.6.在四邊形ABCD中，等于（ ）A.B.C.D.7.設(shè)四邊形ABCD中，有=且|=|，則這個(gè)四邊形是（ ）A.平行四邊形B.矩形 C.等腰梯形D.菱形8.（2009寧夏海南卷文）已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）ABCDEF圖1A） （B） （C） （D）9.(2009湖南卷理)對(duì)于非0向量a,b, 則“”是“a/b”的 （ ）A充分不必要條件 B. 必要不充分條件C充分必要條件 D. 既不充分

6、也不必要條件10.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），則c=（ ）A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b11.（2009湖南卷文）如圖1， D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則（ ）A BC D 12.（2008廣東理8）在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)若，則（ ）ABCD13.（2009江西卷文）已知向量， ，若 則= 14（2009江西卷理）已知向量，若，則= 15.（2009湖南卷文）如圖2，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若，則 ， : 16.（2009遼寧卷文）在平面直角坐標(biāo)系xo

7、y中，四邊形ABCD的ABDC,ADBC,已知點(diǎn)A(2，0)，B（6，8），C(8,6),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi).17.l1、l2是不共線向量，且a=l1+3l2，b=4l1+2l2，c=3l1+12l2，若b、c為一組基底，求向量a.18.設(shè)兩向量e1、e2滿(mǎn)足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.19.已知向量a=2e13e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共線，向量c=2e19e2.問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)、，使向量d=a+b與c共線?20.如圖所示，D、E是ABC中AB、AC邊的中點(diǎn)，M、N

8、分別是DE、BC的中點(diǎn)，已知=a，=b，試用a、b分別表示、和. 21.在ABC中，AMAB=13，ANAC=14，BN與CM交于點(diǎn)E，=a，=b，用a、b表示.（17） 向量的概念及向量的基本運(yùn)算知識(shí)梳理1.平面向量的有關(guān)概念：（1）向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向線段來(lái)表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示.（3）模：向量的長(zhǎng)度叫向量的模，記作|a|或|.（4）零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向不確定.（5）單位向量：長(zhǎng)度為1個(gè)長(zhǎng)度單位的向量叫做單位向量.（6）共線向量：方向相同或

9、相反的向量叫共線向量，規(guī)定零向量與任何向量共線.（7）相等的向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法：（1）定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.（2）法則：三角形法則；平行四邊形法則.（3）運(yùn)算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.3.向量的減法：（1）定義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.（2）法則：三角形法則；平行四邊形法則.4.實(shí)數(shù)與向量的積：（1）定義：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，規(guī)定：|a|=|a|.當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)=0時(shí)，a與a平行.（2）運(yùn)算律：（a）=（）a，（+）a=a+a，（

10、a+b）=a+b.5.向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則（4）設(shè)非零向量，則6.兩個(gè)重要定理：（1）向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=a，即bab=a（a0）.（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a=1e1+2e2.7.用向量表示三角形的各種心（1）G為的重心，G為的重心，是BC邊上的中線上的任意向量，過(guò)重心。,即已知AD是中BC邊的中線。（2）P為的垂心。（3） P為的內(nèi)心。 向量所在直線過(guò)的內(nèi)心（是的角平分線所在直線）。（4） O為的外心。典

11、例剖析【例1】在中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，若,則_；答案：解析：因，可知以、為鄰邊的四邊形為矩形，則,，又，所以【例2】 如圖，G是ABC的重心，求證：+=0.剖析：要證+=0，只需證+=，即只需證+與互為相反的向量.證明：以向量、為鄰邊作平行四邊形GBEC，則+=2.又由G為ABC的重心知=2，從而=2.+=2+2=0.評(píng)述：向量的加法可以用幾何法進(jìn)行.正確理解向量的各種運(yùn)算的幾何意義，能進(jìn)一步加深對(duì)“向量”的認(rèn)識(shí)，并能體會(huì)用向量處理問(wèn)題的優(yōu)越性.深化拓展此題也可用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明.【例3】 設(shè)、不共線，點(diǎn)P在AB上，求證：=+且+=1，、R.剖析：點(diǎn)P在AB上，可知與共線，得=t.再

12、用以O(shè)為起點(diǎn)的向量表示.證明：P在AB上，與共線.=t.=t（）.=+tt=（1t）+t.設(shè)1t=，t=，則=+且+=1，、R.評(píng)述：本例的重點(diǎn)是考查平面向量的基本定理，及對(duì)共線向量的理解及應(yīng)用.深化拓展本題也可變?yōu)?，不共線，若=+，且+=1，R，R，求證：A、B、P三點(diǎn)共線.提示：證明與共線.當(dāng)=時(shí)，=（+），此時(shí)P為AB的中點(diǎn)，這是向量的中點(diǎn)公式.【例4】 若a、b是兩個(gè)不共線的非零向量（tR）.（1）若a與b起點(diǎn)相同，t為何值時(shí)，a、tb、（a+b）三向量的終點(diǎn)在一直線上?（2）若|a|=|b|且a與b夾角為60°，那么t為何值時(shí)，|atb|的值最小?解：（1）設(shè)atb=ma（

13、a+b）（mR），化簡(jiǎn)得（1）a=（t）b.a與b不共線，t=時(shí)，a、tb、（a+b）的終點(diǎn)在一直線上.（2）|atb|2=（atb）2=|a|2+t2|b|22t|a|b|cos60°=（1+t2t）|a|2，t=時(shí)，|atb|有最小值|a|.評(píng)述：用兩個(gè)向量共線的充要條件，可解決平面幾何中的平行問(wèn)題或共線問(wèn)題.思考討論兩個(gè)向量共線與兩條線段在一條直線上是否一樣?闖關(guān)訓(xùn)練1.（2004年天津，理3）若平面向量b與向量a=（1，2）的夾角是180°，且|b|=3，則b等于( )A.（3，6）B.（3，6） C.（6，3）D.（6，3）解析：易知a與b方向相反，可設(shè)b=（，2

14、）（0）.又|b|=3=，解之得=3或=3（舍去）.b=（3，6）.答案：A2.（2004年浙江，文4）已知向量a=（3，4），b=（sin，cos），且ab，則tan等于( )A.B.C.D.解析：由ab，3cos=4sin.tan=.答案：A3.若ABCD為正方形，E是CD的中點(diǎn)，且=a，=b，則等于( )A.b+aB.ba C.a+bD.ab解析：=+=+=ba.答案：B4.e1、e2是不共線的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，則a與b共線的充要條件是實(shí)數(shù)k等于( )A.0B.1C.2D.±1解析：a與b共線存在實(shí)數(shù)m，使a=mb，即e1+ke2=mke1+me2.又e

15、1、e2不共線，k=±1.答案：D5.（2009年山東，理7）設(shè)P是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，,則（ ）A.B.C.D.【解析】:因?yàn)?，所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，所以應(yīng)該選B。答案：B6.在四邊形ABCD中，等于（ ）A.B.C.D.解析：=+=.答案：C7.設(shè)四邊形ABCD中，有=且|=|，則這個(gè)四邊形是（ ）A.平行四邊形B.矩形 C.等腰梯形D.菱形解析：=，DCAB，且DCAB.又|=|，四邊形為等腰梯形.答案：C8.（2009寧夏海南卷文）已知，向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】向量（31，2），（1,2），因?yàn)閮蓚€(gè)向量垂直，故有（31，2）&

16、#215;（1,2）0，即3140，解得：，故選.A。9.(2009湖南卷理)對(duì)于非0向量a,b, 則“”是“a/b”的 （A）A充分不必要條件 B. 必要不充分條件C充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】：A【解析】由，可得，即得，但，不一定有，所以“”是“的充分不必要條件。10.（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），則c=A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b【答案】B【解析】由計(jì)算可得故選B11.（2009湖南卷文）如圖1， D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則【 A 】ABCDEF圖1A BC D 解

17、: 得，故選A.或.12.（2008廣東理8）在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)若，則（ ）ABCD【解析】此題屬于中檔題.解題關(guān)鍵是利用平面幾何知識(shí)得出,然后利用向量的加減法則易得答案B.13.（2009江西卷文）已知向量， ，若 則= 答案： 【解析】因?yàn)樗?14（2009江西卷理）已知向量，若，則= 答案：【解析】15.（2009湖南卷文）如圖2，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若，則 ， . 圖2解:作,設(shè)，,由解得故16.（2009遼寧卷文）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形ABCD的邊ABDC,ADBC,已知點(diǎn)A(2，0)，B（6，8），C(8,6),則D點(diǎn)

18、的坐標(biāo)為_(kāi).【解析】平行四邊形ABCD中, (2,0)(8,6)(6,8)(0,2) 即D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)【答案】（0，2）17.l1、l2是不共線向量，且a=l1+3l2，b=4l1+2l2，c=3l1+12l2，若b、c為一組基底，求向量a.解：設(shè)a=1b+2c，即l1+3l2=1（4l1+2l2）+2（3l1+12l2），即l1+3l2=（4132）l1+（21+122）l2，解得1=，2=，故a=b+c.18.設(shè)兩向量e1、e2滿(mǎn)足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解：e12=4，

19、e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1，（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7.2t2+15t+70.7t.設(shè)2te1+7e2=（e1+te2）（0）2t2=7t=，=.當(dāng)t=時(shí)，2te1+7e2與e1+te2的夾角為.t的取值范圍是（7，）（，）.思考討論向量a、b的夾角為鈍角，則cosa，b0，它們互為充要條件嗎?培養(yǎng)能力19.已知向量a=2e13e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共線，向量c=2e19e2.問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)、，使向量d=a

20、+b與c共線?解：d=（2e13e2）+（2e1+3e2）=（2+2）e1+（3+3）e2，要使d與c共線，則應(yīng)有實(shí)數(shù)k，使d=kc，即（2+2）e1+（3+3）e2=2ke19ke2，由得=2.故存在這樣的實(shí)數(shù)、，只要=2，就能使d與c共線.20.如圖所示，D、E是ABC中AB、AC邊的中點(diǎn)，M、N分別是DE、BC的中點(diǎn)，已知=a，=b，試用a、b分別表示、和. 解：由三角形中位線定理，知DEBC.故=，即=a.=+=a+b+a=a+b，=+=+=a+ab=ab.探究創(chuàng)新21.在ABC中，AMAB=13，ANAC=14，BN與CM交于點(diǎn)E，=a，=b，用a、b表示.解：由已知得=，=.設(shè)=，R，則=+=+.而=，=+（）=+（）.=（）+.同理，設(shè)=t，tR，則=+=+t=+t（）=+t（）.=（）+t.（）+=（）+t.由與是不共線向量，得解得=+，即=a+b.評(píng)述：此題所涉及的量較多，且向量與向量之間的關(guān)系較為復(fù)雜，因此對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)確有一定困難.通過(guò)共