正四面體的性質(zhì)及應(yīng)用

1、 正四面體的性質(zhì)及應(yīng)用正四面體是立體幾何中的基本幾何體，它蘊涵著極為豐富的線面的位置、數(shù)量關(guān)系在近年來各類考試中，正四面體倍受命題者青睞，命題者常以正四面體中的線面問題為載體，借以考察學生的數(shù)學思維能力和思維品質(zhì)因此，一線師生在教學過程中，應(yīng)對這個幾何體引起足夠的重視筆者在長期的教學中對正四面體進行了深入研究、潛心挖掘，得出了一些優(yōu)美、簡潔的結(jié)論下面給出正四面體的相關(guān)結(jié)論，并利用這些結(jié)論解決問題，以期能對同學們學習立體幾何有所啟示 一、理順正四面體性質(zhì)固本清源不妨設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，則存在著以下定理：定理1正四面體的3對異面棱均互相垂直，任意一對異面棱之間的距離均為； 定理2正四面體

2、的高為；定理3正四面體的內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，且有；略證：如圖1，易知正四面體的外接球心與內(nèi)切球心重合為點O，并且位于正四面體的高AH上，連結(jié)BO、CO、DO，易知，且，從而AO、BO、CO、DO兩兩所確定的平面將正四面體分割成四個形狀相同的正三棱錐：，且每一個小正三棱錐的高都是內(nèi)切球的半徑，于是有，即，亦即有，所以，故定理4正四面體的全面積為，體積為；定理5正四面體底面內(nèi)任一點O到三個側(cè)面的距離的之和；正四面體內(nèi)任意一點到四個側(cè)面的距離之和(仿定理3利用體積分割法易證)定理6正四面體的側(cè)棱與其底面所成的線面角大小為；定理7正四面體相鄰側(cè)面所成的二面角的大小為；略證：設(shè)相鄰兩個側(cè)面所成的

3、角為，由于四個側(cè)面的面積均相等，所以由射影面積公式知定理8設(shè)正四面體的側(cè)棱與底面所成的角為，相鄰兩個側(cè)面所成的二面角記為，則有 略證：如圖1所示，易知，由H為的中心，易知，從而定理9正四面體的外接球的球心與內(nèi)切球的球心O重合且為正四面體的中心；中心與各個頂點的四條連線中兩兩夾角相等，其大小為，此角即為化學中甲烷分子結(jié)構(gòu)式中的鍵位角 略證：如圖1，在三角形AOB中，由余弦定理可求得，于是同理可得定理10正四面體內(nèi)接于一正方體，且它們共同內(nèi)接于同一個球，球的直徑等于正方體的對角線二、運用正四面體性質(zhì)化繁為易1巧算空間距離例1一個球與正四面體的6條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則求此球的體積 分析

4、一：由定理10知，將正四面體嵌于正方體的內(nèi)部，然后再利用正四面體的棱與球相切，則該半徑與正方體的內(nèi)切半徑相等進行求解 解法一如圖2所示，將正四面體補成正方體，易知與正四面體的各棱相切的球即為正方體的內(nèi)切球 正四面體的棱長為a， 正方體的棱長為 正方體的內(nèi)切球半徑 分析二：根據(jù)正四面體的對稱性，結(jié)合定理1可知，該球的球心應(yīng)位于正四面體的中心，其直徑即為正四面體相對棱之間的距離 解法二 正四面體的棱長為a， 由定理1可知，相對棱間的距離為 即該球的半徑為 例2在棱長為2的正四面體木塊ABCD的棱AB上有一點P（），過P點要鋸出與棱AB垂直的截面，當鋸到某個位置時因故停止，這時量得在面ABD上鋸痕，

5、在面ABC上的鋸縫，求鋸縫MN的值解：如圖3，取AB的中點E，連結(jié)CE，DE，則為正四面體相鄰兩面的二面角的平面角，由條件知MPN也是正四體相鄰兩面的二面角的平面角，即NPMCED，由定理7可知，于是，在中，由余弦定理得， 2妙求空間角例3設(shè)P為空間一點，PA、PB、PC、PD是四條射線，若PA、PB、PC、PD兩兩所成的角相等，則這些角的余弦值為 解：如圖4，構(gòu)造正四面體ABCD，設(shè)P為四面體的中心，則PA、PB、PC、PD兩兩所成的角相等，設(shè)，由正四面體的性質(zhì)，可知余弦值為例4如圖5，在正四面體ABCD中，E、F分別為棱AD、BC的中點，連結(jié)AF、CE求異面直線直線AF和CE所成的角；求C

6、E與面BCD所成的角 解：連結(jié)FD，在平面AFD內(nèi)，過點E作EGAF交DF于點G則是異面直線AF與CE所成的角（或其補角）設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，可得，由余弦定理可求得 故異面直線AF與CE所成的角為由已知易知平面AFD平面BCD，在平面AFD內(nèi)，過點E作EHFD于點H，連結(jié)CH，則ECH為CE與平面BCD所成的角 EH為正四面體高的一半，由正四面體性質(zhì)的定理2知 CE與底面BCD所成的角為例5如圖6，正四面體ABCD的四個頂點在同一個球面上，CC1和DD1是該球的直徑，求面ABC與面AC1D1所成角的正弦值 解：由正四面體性質(zhì)定理10知正四面體內(nèi)接于一球，該正方體也內(nèi)接于此球，且正方體

7、的對角線為此球的直徑，如圖所示，即CC1、DD1為該球的直徑連結(jié)C1D1，交AB于點M，連結(jié)MC MCAB，MD1AB， CMD1為平面ABC與平面AC1D1所成的角設(shè)正方體棱長為a，在中， 平面ABC與平面ACD所成的角的正弦值為歸納反思：正四面體是立體幾何中一個重要的數(shù)學問題載體，在平時的學習過程中若能有意識地研究它、利用它，就能較好地培養(yǎng)我們數(shù)學思維的“方向感”和思路的“歸屬感”，有助于促進自己數(shù)學思維空間的拓展、數(shù)學品質(zhì)的提升1.在正四面體中，、分別是、的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是面；面面；面；面面2.正四面體中，與平面所成角的余弦值為3.如圖，正四面體的棱長為2，點，分別為棱，的

8、中點，則的值為A4BCD2選：4.以下說法三個數(shù)，之間的大小關(guān)系是；已知：指數(shù)函數(shù)過點，則；已知正四面體的邊長為，則其外接球的體積為；已知函數(shù)的值域是，則的值域是，；已知直線平面，直線在內(nèi)，則與平行其中正確的序號是5.在正四面體中，為的中點，則直線與所成角的余弦值為ABCD選：6.在正四面體中，、分別為棱、的中點，連接、，則異面直線和所成角的正弦值為ABCD選：【點評】本題考查空間點、線、面的位置關(guān)系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧本題易錯

9、點在于要看清是求異面直線和所成角的正弦值，而不是余弦值，不要錯選答案7.如圖所示，在正四面體中，是棱的中點，是棱上一動點，的最小值為，則該正四面體的外接球的體積是ABCD選：8.棱長為1的正四面體中，為棱上一點（不含，兩點），點到平面和平面的距離分別為，則的最小值為【考點】：基本不等式及其應(yīng)用【專題】31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；：空間位置關(guān)系與距離；：不等式【分析】設(shè)點是正三角形的中心，連接，作，垂足為點交于點，則點為的中點設(shè)，由，可得同理可得：代入利用基本不等式的性質(zhì)即可得出【解答】解：如圖所示，設(shè)點是正三角形的中心，連接，作，垂足為點交于點，則點為的中點設(shè)，同理可得：，當且僅當時取等號

10、故答案為：9.已知是正四面體棱的中點，是棱上異于端點，的任一點，則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)有（1）； （2）若為中點，則與所成角為；（3）平面平面； （4）存在點，使得過的平面與垂直A1個B2個C3個D4個【考點】：異面直線及其所成的角；：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；：直線與平面垂直；：平面與平面垂直【專題】14：證明題【分析】連接、，可證明出平面，從而，得（1）正確；取中點，連接、，利用三角形中位線定理證明出、所成的直角或銳角，就是異面直線、所成的角，再通過余弦定理，可以求出與所成角為，故（2）正確；根據(jù)（1）的正確結(jié)論：，結(jié)合平面與平面垂直的判定定理，得到（3）正確；對于（4），若存在點

11、，使得過的平面與垂直，說明存在的一個位置，使因此證明出“不論在線段上的何處，都不可能有”，從而說明不存在點，使得過的平面與垂直【解答】解：（1）連接、正中，為的中點同理，結(jié)合平面，而平面，故（1）是正確的；（2）取中點，連接、中，、分別是、的中點，、所成的直角或銳角，就是異面直線、所成的角設(shè)正四面體棱長為，在中，則中在中，即異面直線、所成的角是，故（2）正確；（3）由（1）的證明知：平面平面平面平面，故（3）正確；（4）若有，根據(jù)（1）的結(jié)論，因為、相交于點，所以平面中，可得是銳角，說明點在線段上從到運動過程中，的最大值是銳角，不可能是直角，因為平面，與不能垂直，以上結(jié)論與平面矛盾，故不論在線段上的何處，都不可能有因此不存在點，使得過的平面與垂直綜上所述，正確的命題為（1）（2）（3）故選：10.棱長為的正四面體中，給出下列命題：正四面體的體積為；正四面體的表面積為；內(nèi)切球與外接球的表面積的比為；正四面體內(nèi)的任意一點到四個面的距離之和均為定值上述命題中真命題的序號為【考點】：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；：棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；：空間位置關(guān)系與距離【分析】正四面體的高，體積為，計算即可判斷出正誤；正四面體的表面積為，即可判斷出正誤；分別設(shè)內(nèi)切球